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UNIVERSITÀ DI PISA
Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale
Corso di Laurea Magistrale in
INGEGNERIA EDILE E DELLE COSTRUZIONI CIVILI Tesi di Laurea
Comportamento del palo singolo in depositi sabbiosi liquefacibili.
Anno Accademico 2018/2019 Relatori:
Prof. Ing. Diego Carlo Lo Presti Prof. Ing Nunziante Squeglia Ing. Stefano Stacul Ph.D.
Candidato: Federico Pagnini
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Sommario
Premessa ... 9
1. Interazione cinematica palo-terreno ... 11
1.1 Formulazioni semplificate per la stima del momento flettente in testa al palo 13 1.1.1 Metodo di Margason e Holloway ... 13
1.1.2 Metodo di Di Laora e Rovithis ... 14
1.1.3 Metodo di Stacul e Squeglia ... 15
1.1.4 Metodo di Dobry e O’Rourke ... 15
1.1.5 Metodo di Mylonakis ... 17
1.1.6 Metodo di Di Laora, Mandolini e Mylonakis ... 18
1.2 Formulazioni semplificate in caso di liquefazione ... 20
1.2.1 Il fenomeno della liquefazione ... 20
1.2.2 Interazione palo-terreno in depositi liquefacibili ... 22
2. Presentazione dello studio ... 28
2.1 Spessori liquefacibili ... 29
2.2 Caratteristiche degli input sismici ... 30
3. Materiali e metodi ... 37
3.1 Plaxis 2D ... 37
3.1.1 Condizioni al contorno ... 37
3.1.2 Comportamento Undrained (A), (B), (C) e Drained ... 39
3.1.3 L’elemento Embedded Beam ... 40
3.1.4 Fasi dell’analisi ... 42
3.2 Hardening Soil ... 44
3.2.1 Relazione iperbolica per prove triassiali drenate standard ... 45
4
3.2.3 Deformazioni plastiche volumetriche per stati di tensione triassiale .. 50
3.2.4 Parametri dell’Hardening Soil ... 53
3.2.5 Moduli di rigidezza 𝑬𝟓𝟎𝒓𝒆𝒇, 𝑬𝒐𝒆𝒅𝒓𝒆𝒇, 𝑬𝒐𝒆𝒅𝒓𝒆𝒇 ed esponente 𝒎 54 3.2.6 Superficie limite di plasticizzazione dell’Hardening Soil ... 56
3.3 Hardening Soil with Small strain stiffness (HSSmall) ... 58
3.3.1 Descrizione della rigidezza per piccole deformazioni con la legge iperbolica semplice ... 59
3.3.2 Applicazione della relazione di Hardin-Drnevich nel modello Hardening Soil 60 3.3.3 Carico iniziale (o vergine) e cicli di scarico-ricarico ... 63
3.3.4 Parametri del modello ... 64
3.3.5 I parametri G0 e γ0.7 ... 66
3.4 Il modello PM4Sand ... 69
3.4.1 Grandezze base di sforzi e deformazioni ... 69
3.4.2 Concetti di base della teoria dello stato critico ... 70
3.4.3 Bounding, dilatanza, superifici critiche e di plasticizzazione ... 71
3.4.4 Inversione del carico e posizione iniziale della superficie di plasticizzazione (back-stress) ... 74
3.4.5 Parte elastica del modello ... 74
3.4.6 Componenti plastiche del modello ... 75
3.4.7 Avvisi per il corretto utilizzo del modello ... 88
4. Modello FEM 2D ... 89
4.1 Geometria ... 89
4.2 Condizioni al contorno ... 89
4.3 Discretizzazione dei modelli ... 90
5
4.3.2 Modello con spessore liquefacibile di 6m ... 90
4.3.3 Modello con spessore liquefacibile di 10m ... 91
4.4 Calibrazione dei modelli costitutivi ... 92
4.4.1 Calibrazione dell’HSSmall ... 92
4.4.2 Calibrazione del PM4Sand ... 93
5. Risultati delle analisi ... 95
5.1 Calcolo delle tensioni geostatiche in Fase 1 ... 95
5.2 Calcolo delle tensioni geostatiche in Fase 2 ... 98
5.3 Risultati della Fase 3 relativa al PM4Sand con DR = 30% ... 100
5.3.1 Accelerogrammi scalati a 0,1 [g] ... 101
5.3.2 Accelerogrammi scalati a 0,25 [g] ... 116
5.4 Risultati della Fase 3 relativa al PM4Sand con DR = 50% ... 131
5.4.1 Accelerogrammi scalati a 0,1 [g] ... 131
5.4.2 Accelerogrammi scalati a 0,25 [g] ... 131
5.4.3 Quadro riassuntivo ... 146
6. Confronto con RSPile ... 148
6.1 Formulazione delle curve p-y ... 148
6.1.1 Curve p-y secondo (Rollins, Gerber, Lane, & Ashford, 2005) ... 148
6.1.2 Curve p-y secondo (Reese, Cox, & Koop, 1974) ... 149
6.2 Analisi di dettaglio ... 151 Coyote 0,1g 6m ... 152 Coyote 0,25g 6m ... 152 Kocaeli 0,1g 6m ... 153 Kocaeli 0,25g 6m ... 153 Loma Gilroy 0,1g 6m ... 154 Loma Gilroy 0,25g 6m ... 154
6 Northridge 0,1g 6m ... 155 Northridge 0,25g 6m ... 155 Whittier Narrows 0,1g 6m ... 156 Whittier Narrows 0,25g 6m ... 156 Coyote 0,1g 10m ... 157 Coyote 0,25g 10m ... 157 Kocaeli 0,1g 10m ... 158 Kocaeli 0,25g 10m ... 158 Loma Gilroy 0,1g 10m ... 159 Loma Gilroy 0,25g 10m ... 159 Northridge 0,1g 10m ... 160 Northridge 0,25g 10m ... 160 Whittier Narrows 0,1g 10m ... 161 Whittier Narrows 0,25g 10m ... 161 6.3 Grafici riassuntivi ... 162
7. Confronto con le formule semplificate ... 163
7.1 Formulazione di Di Laora & Rovithis ... 163
7.1.1 Scelta dei parametri a, n, GsD ... 164
Coyote 0,1g ... 165 Coyote 0,25g ... 166 Kocaeli 0,1g ... 167 Kocaeli 0,25g ... 168 Loma Gilroy 0,1g ... 169 Loma Gilroy 0,25g ... 170 Northridge 0,1g ... 171 Northridge 0,25g ... 172
7
Whittier Narrows 0,1g ... 173
Whittier Narrows 0,25g ... 174
7.2 Formulazione di Stacul & Squeglia ... 175
Coyote 0,1g ... 176 Coyote 0,25g ... 177 Kocaeli 0,1g ... 178 Kocaeli 0,25g ... 179 Loma Gilroy 0,1g ... 180 Loma Gilroy 0,25g ... 181 Northridge 0,1g ... 182 Northridge 0,25g ... 183 Whittier Narrows 0,1g ... 184 Whittier Narrows 0,25g ... 185 7.3 Grafici riassuntivi ... 186
7.4 Formulazione di (Dobry, Abdoun & Goh, 2003) ... 187
8. Conclusioni ... 188
8.1 Effetto dei parametri caratteristici degli input sismici ... 188
8.1.1 Periodo Medio dell’input sismico (Tm) ... 188
8.1.2 Periodo Predominante dell’input sismico (Tp) ... 189
8.1.3 Intensità di Arias dell’input sismico ... 190
8.2 Effetto del profilo stratigrafico ... 191
8.2.1 Coyote ... 192
8.2.2 Kocaeli ... 194
8.2.3 Loma Gilroy ... 196
8.2.4 Northridge2 ... 198
8 8.3 Confronto tra analisi FEM e metodi semplificati ... 202
8.3.1 Confronto tra Plaxis 2D e RSPile ... 202 8.3.2 Confronto tra Plaxis 2D e le formule semplificate di Di Laora e Rovithis
204
8.3.3 Confronto tra Plaxis 2D e la formula semplificata di Stacul e Squeglia 205
8.3.4 Confronto tra Plaxis 2D ed il metodo dell’equilibrio limite ... 206 Bibliografia ... 207
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Premessa
Le fondazioni su pali sono spesso utilizzate per supportare edifici o ponti e per consolidare fondazioni superficiali con scarsa capacità portante. Sono anche utilizzati in terreni sabbiosi poco addensati o in terreni argillosi poco consistenti per limitare i cedimenti.
In molti casi i pali sono impiegati per resistere alle sole azioni assiali, tuttavia questo approccio trascura gli effetti dei carichi laterali di tipo statico, dinamico o cinematico. Durante un terremoto se le sabbie si trovano sotto al livello di falda possono perdere la loro resistenza a causa dell’incremento della pressione interstiziale che può arrivare ad annullare le tensioni di contatto tra i grani con conseguente innesco del fenomeno della liquefazione.
La liquefazione, in molti casi è stata la causa di ingenti danni o persino del crollo di strutture. In molti casi si è riscontrata la formazione di cerniere plastiche nei pali a diverse profondità degli stessi, in particolare: in testa, alla metà dello strato liquefacibile e alla profondità dell’interfaccia tra uno strato liquefacibile e uno non liquefacibile.
La liquefazione produce, di fatto, la quasi totale perdita di resistenza del terreno e di conseguenza si annulla anche il supporto laterale che il terreno fornisce ai pali. In questo modo, la porzione di palo contenuta all’interno dello strato liquefatto entra a far parte della sovrastruttura alterandone i periodi propri di vibrazione. In particolare, si riduce la rigidezza della sovrastruttura e di conseguenza aumenta il periodo proprio. Questo può aumentare le sollecitazioni flettenti sui pali, specialmente se il nuovo periodo fondamentale raggiunge un valore prossimo al periodo predominante dell’input sismico.
Tutti i metodi di progettazione, come il JRA (2002), il NEHRP (2000) e l’EC8 (EN 1998-1 2005), sono per lo più orientati ad un approccio basato sulle forze e sono focalizzati sul prevenire la rottura a flessione a causa dei carichi laterali.
Di fatto questi codici considerano il palo come una trave caricata lateralmente che può raggiungere la rottura a flessione, trascurando per esempio altri meccanismi come
10 l’instabilità per carico di punta (Buckling). Specialmente in caso di pali tubolari in acciaio o di pali snelli di piccolo diametro in calcestruzzo, il palo può essere visto come un’asta caricata di punta e soggetta a carico laterale ma senza supporto laterale in caso di terreno liquefatto. La rottura per flessione è un meccanismo stabile e dipende dalla resistenza a flessione del palo, mentre la rottura per instabilità è un meccanismo instabile che si manifesta improvvisamente e che dipende principalmente dalle proprietà geometriche del palo (ad esempio il rapporto di snellezza).
In un metodo di progettazione basato sulle forze il carico da terremoto è spesso modellato come una forza statica equivalente proporzionale alla massa della struttura e al valore dell’accelerazione spettrale associata al periodo fondamentale della struttura. L’incremento di quest’ultimo causa una riduzione della domanda sismica e mette di conseguenza in evidenza le carenze del metodo orientato alle forze in caso di liquefazione. Per questa ragione, può essere più affidabile valutare il comportamento di una struttura fondata su pali impiegando altri approcci.
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1. Interazione cinematica palo-terreno
Il sistema palo-fondazione-struttura vibra sotto l’azione sismica come un sistema accoppiato. In teoria dovrebbe essere analizzato come tale; di fatto un’analisi di questo tipo non è realizzabile nella pratica ingegneristica. La maggior parte dei programmi di analisi strutturale non permettono di introdurre la fondazione su pali direttamente nel modello. Di conseguenza le rigidezze alla testa dei pali sono calcolate analizzando la fondazione su pali senza il contributo delle masse della sovrastruttura.
L’analisi viene generalmente condotta per il palo singolo e la rigidezza di gruppo è valutata utilizzando fattori di interazione, di solito statici, oppure parametri che tengono in conto degli effetti di gruppo.
Di solito le analisi sismiche di una fondazione su pali sono condotte applicando le sollecitazioni alla testa dei pali derivanti da un’analisi della sovrastruttura con vincoli rigidi. L’approccio più utilizzato per lo studio dei pali è quello in cui si utilizza un modello di trave su suolo elastico alla Winkler. Le molle utilizzate possono essere lineari o non lineari. L’API (American Petroleum Institute), fornisce specifiche linee guida per lo sviluppo delle curve non lineari carico-spostamento (p-y) in funzione delle proprietà del terreno per calibrare le molle non lineari.
(Murchinson & O'Neill, 1984) sostengono che i modelli (p-y) alla Winkler non siano molto affidabili in quanto l’analisi statica trascura molti importanti fattori che influenzano la risposta sismica del sistema terreno-palo-struttura, come l’interazione inerziale struttura-fondazione. Questa interazione amplifica il comportamento non lineare del terreno e riduce la rigidezza in testa al palo.
Sono generalmente trascurati anche i momenti cinematici che si generano a causa della pressione di contatto tra palo e terreno. I momenti cinematici possono essere valutati con analisi dinamiche non lineari al passo e possono raggiungere valori molto elevati. Infine, sono trattati in maniera molto approssimativa anche gli effetti delle sovrapressioni interstiziali e della eventuale liquefazione.
Un modello più raffinato è quello della trave su suolo elastico con molle dinamiche alla Winkler (Beam on Dynamic Winkler Foundation) in cui alla molla è accoppiato
12 uno smorzatore. Per l’applicazione di questo metodo è sufficiente un programma che svolga un’analisi monodimensionale sfruttando delle curve p-y apposite. Il maggiore problema è dovuto al fatto che non si è riusciti a trovare delle curve che tengano conto in maniere fedele di tutti i fattori e che siano valide in maniera universale.
Di seguito è riportata una sintetica descrizione dei principali modelli semplificati per la stima del momento flettente nel palo in testa e, in caso di terreno stratificato, alla profondità dell’interfaccia tra i due strati.
In questo studio ci occuperemo dell’interazione palo-terreno in quanto non è presenta la sovrastruttura. Dunque, entreranno in gioco solamente gli effetti cinematici e non ci occuperemo degli effetti inerziali derivanti dalla sovrastruttura.
Un lavoro di riferimento che considera gli effetti inerziali della sovrastruttura è quello di (Tokimatsu, Suzuki, & Sato, Effects of dynamic soil-pile structure interaction on pile stresses, 2005).
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1.1 Formulazioni semplificate per la stima del momento flettente in testa al palo
Lo scopo di molte recenti ricerche è quello di fornire formulazioni semplificate per la stima della sollecitazione flessionale in testa al palo e in corrispondenza dell’interfaccia tra due strati di terreno in depositi stratificati, in quanto questi due punti sono quelli in cui si verificano i valori massimi della sollecitazione.
1.1.1 Metodo di Margason e Holloway
L’approccio più semplice per l’analisi dell’interazione cinematica è quello in cui si assume che il palo segua il moto del terreno in condizioni di free-field, trascurando quindi completamente l’interazione palo-terreno. Il momento flettente sul palo è quindi calcolato a partire dalla curvatura derivante dagli spostamenti orizzontali del terreno.
Questo approccio è stato suggerito da (Margason & Holloway, 1977) ed è consigliato in alcune normative progettuali. Il momento flettente a qualsiasi profondità z può essere valutato con la relazione
𝑀(𝑧, 𝑡) = 𝐸 𝐼 1 𝑅(𝑧, 𝑡)
(1.1)
In cui 𝐸 𝐼 è la rigidezza flessionale del palo e 1 𝑅(𝑧, 𝑡)⁄ è la curvatura lungo la verticale. Nel caso particolare di terreno omogeneo la curvatura è funzione dell’accelerazione al piano campagna in condizioni di campo libero (free-field).
1 𝑅(𝑧, 𝑡)=
𝑎 𝑉
(1.2)
La formulazione della stima del momento flettente resta valida anche nel caso di deposito stratificato se la profondità dell’interfaccia è superiore alla profondità critica, ℎ , definita dall’equazione:
ℎ = 1.25𝐷 𝐸 𝐸
14 In cui 𝐸 è il modulo di Young dello strato superficiale. Tuttavia, quando la profondità dell’interfaccia è minore di ℎ , la flessione alla testa del palo è fortemente influenzata dalla presenza dell’interfaccia stessa. Maggiore il rapporto 𝑉 /𝑉 e meno profonda l’interfaccia, maggiore sarà l’influenza dell’interfaccia.
1.1.2 Metodo di Di Laora e Rovithis
Di Laora e Rovithis hanno studiato il problema dell’interazione cinematica palo-terreno, modellando il terreno come un materiale viscoelastico lineare e considerando il modulo di taglio continuamente variabile con la profondità secondo la legge:
𝐺(𝑧) = 𝐺 𝑎 + (1 − 𝑎)𝑧 𝐷
(1.4)
In cui 𝑎 = (𝐺 ⁄𝐺 ) / e 𝑛 sono fattori adimensionali, mentre 𝐺 e 𝐺 sono rispettivamente il modulo di taglio al piano campagna e alla profondità di un diametro. Si riportano le relazioni per la stima del momento flettente alla testa del palo:
𝑀 = 𝐸 𝐼 1 𝑅 , = 𝐸 𝐼 𝑎 𝜌 𝐺 (𝑧 ) (1.5) 𝑀 = 𝐸 𝐼 1 𝑅 , = 𝐸 𝐼 𝛾 (𝑧 ) 𝑧 (1.6)
Nelle equazioni (1.4) e (1.5) (1 𝑅⁄ ) , è la curvatura efficace del terreno che rappresenta il meccanismo di interazione. Questa può essere valutata una volta definita una profondità efficace (𝑧 ), che può essere stimata con un procedimento iterativo riportato in (Di Laora & Rovithis, Kinematic bending of fixed-head piles in non-homogeneous soil, 2015). 𝐺 (𝑧 ) e 𝛾 (𝑧 ) rappresentano rispettivamente il modulo di taglio e la deformazione a taglio, di un profilo omogeneo fittizio che induce sollecitazioni di natura cinematica pressoché equivalenti a quelle indotte dal profilo di terreno con modulo di taglio continuamente variabile con la profondità. La profondità efficace può essere presa pari alla metà della lunghezza attiva 𝐿 del palo calcolata con la relazione in forma chiusa riportata in (Karatzia & Mylonakis, 2016):
15 𝐿 = 𝐷 1 − 𝑎 ⎩ ⎨ ⎧ 𝑎 + 5 16(𝑛 + 4)(1 − 𝑎) 𝜋 2 𝐸 𝐸 − 𝑎 ⎭ ⎬ ⎫ (1.7)
Tuttavia, non esiste una formulazione semplificata per la stima della domanda cinematica in testa al palo in un deposito con due strati in cui la profondità dell’interfaccia sia minore della profondità critica.
1.1.3 Metodo di Stacul e Squeglia
Stacul e Squeglia, considerando un deposito bi-strato (deposito composto da due strati con elevato contrasto di rigidezza), hanno modellato il terreno come un materiale viscoelastico e sono giunti alla seguente formula per la stima del momento in testa:
𝑀 = 𝐸 𝐼 𝑎 𝜌
𝑅𝐹 𝐺 ,
(1.8)
In cui 𝑅𝐹 è il fattore di riduzione che può essere cautelativaente posto pari a
(1,25𝑑(𝐸 /𝐸 , ) , )/ℎ (1.9)
Dove 𝐺 , e 𝐸 , sono i moduli di taglio e di Young mobilitati dello strato più superficiale ed ℎ è la profondità dell’interfaccia tra i due strati con elevato contrasto di rigidezza.
Per i dettagli si faccia riferimento a (Stacul & Squeglia, 2020).
1.1.4 Metodo di Dobry e O’Rourke
(Dobry & O'Rourke, 1983) hanno sviluppato un metodo per determinare il momento flettente all’interfaccia tra due strati di terreno modellando il palo come una trave su suolo elastico alla Winkler (Beam on Winkler Foundation) e assumendo che:
- Il suolo in ogni strato sia omogeneo, isotropo, lineare elastico e caratterizzato dal modulo di taglio (G1 e G2);
- Entrambi gli strati sono spessi abbastanza perché gli effetti di bordo non influenzino la risposta all’interfaccia;
16 - C’è perfetto contatto tra palo e terreno;
- Ogni strato è soggetto a un campo di sforzi statico uniforme, τ, che genera deformazioni di tagli costanti (𝛾 = 𝜏/𝐺 , 𝛾 = 𝜏/𝐺 );
- Gli spostamenti sono piccoli.
L’espressione esplicita del momento flettente all’interfaccia è:
𝑀 = 1,86 𝐸 𝐼 ⁄ (𝐺 ) / 𝛾 𝐹 (1.10)
In cui F è funzione adimensionale del rapporto tra i due moduli di taglio definita come:
𝐹 = (1 − 𝑐 )(1 + 𝑐 ) (1 + 𝑐)(𝑐 + 1 + 𝑐 + 𝑐 ) (1.11) In cui: 𝑐 = 𝐺 𝐺 / (1.12)
Gli autori suggeriscono di calcolare la massima deformazione da taglio 𝛾 nel primo strato da una analisi di risposta sismica in condizioni di free-field. In alternativa, se è specificata la massima accelerazione in superficie, come accade quando è disponibile una zonazione sismica, la massima deformazione a taglio può essere valutata con l’espressione approssimata suggerita da (Seed & Idriss, 1982):
𝛾 =𝑟 𝜌 𝐻 𝑎 , 𝐺
(1.13)
In cui 𝜌 e 𝐻 sono rispettivamente la densità e lo spessore dello strato superiore e 𝑟 è un fattore di profondità che tiene conto della flessibilità del terreno e che in prima analisi può essere assunto pari a:
𝑟 = 1 − 0.015𝑧 (1.14)
In cui z è la profondità espressa in metri a partire dal piano campagna. Si faccia attenzione che questa equazione non è utilizzabile se lo spessore dello strato superficiale supera i 15 metri.
17 1.1.5 Metodo di Mylonakis
Un ulteriore metodo semplificato per la valutazione del momento cinematico alla profondità dell’interfaccia tra due strati è stato sviluppato da (Mylonakis, 2001). A Mylonakis va il merito di aver introdotto il concetto di trasmissibilità. Questo metodo è profondamente diverso da quello di (Nikolau, Mylonakis, Gazetas, & Tazoh, 2001) in quanto non si basa su una curva che inviluppa i risultati numerici, ma sull’analisi di risposta di un modello meccanicistico. Le assunzioni fondamentali sono le stesse di (Dobry & O'Rourke, 1983), quindi:
- Il suolo in ogni strato è omogeneo, isotropo e lineare elastico, caratterizzato ognuno dal modulo di taglio G1 e G2;
- Entrambi gli strati sono spessi a sufficienza perché gli effetti di bordo all’infuori degli strati non influenzino la risposta all’interfaccia;
- Il palo è lungo, verticale e lineare elastico; - C’è perfetto contatto tra palo e terreno;
- Ogni strato è soggetto ad un campo di sforzo statico uniforme, 𝜏, che genera deformazioni di taglio costanti (𝛾 = 𝜏 𝐺⁄ , 𝛾 = 𝜏 𝐺⁄ );
- Gli spostamenti sono piccoli.
Le migliorie rispetto al metodo di (Dobry & O'Rourke, 1983) sono:
- L’azione sismica è uno spostamento armonico imposto al Bedrock;
- Si tiene conto sia dello smorzamento del materiale che dello smorzamento geometrico;
- Gli strati sono spessi ma non senza bordi.
Il momento massimo può essere espresso dalla relazione:
𝑀 = 𝐸 𝐼 𝜀 ⁄𝛾 𝜑
𝑟 𝛾
(1.15)
In cui 𝛾 è la deformazione a taglio di picco nello strato superiore alla quota dell’interfaccia, 𝑟 è il raggio della sezione del palo e 𝜀 𝛾⁄ è la trasmissibilità ed è una sorta di stima dell’aliquota di deformazione del terreno trasferita al palo. Nella quale entrano in gioco la rigidezza del terreno (𝑘 ) secondo (Kavvadas & Gazetas, 1993).
𝜀 𝛾 = 1 2𝑐 (𝑐 − 𝑐 + 1) 𝐻 𝑑 3 𝑘 𝐸 / 𝐻 𝑑 − 1 𝑐(𝑐 − 1) − 1 (1.16)
18 𝑘 = 𝛿𝐸 (1.17) 𝛿 = 3 1 − 𝜐 𝐸 𝐸 / 𝐿 𝑑 / 𝐻 𝐻 / 𝐺 𝐺 / (1.18)
𝐻 è lo spessore dello strato più in profondità e 𝜐 è il coefficiente di Poisson.Il coefficiente 𝜑 è un fattore di amplificazione che tiene conto dell’effetto della natura dinamica dell’eccitazione sulla funzione di trasferimento delle deformazioni. Come evidenziato da (Mylonakis, 2001), questo coefficiente è di solito inferiore a 1,25. In uno studio preliminare questo coefficiente può essere posto pari a 1 senza particolari implicazioni. Se l’eccitazione sismica è applicata a una certa profondità dal piano campagna, Mylonakis suggerisce di effettuare un’analisi di risposta sismica in condizioni di free-field per stimare la deformazione a taglio di picco 𝛾 .
1.1.6 Metodo di Di Laora, Mandolini e Mylonakis
Nel caso di terreno con due strati, nel lavoro di (Di Laora, Mandolini, & Mylonakys, Insight on kinematic bending of flexible piles in layered soil, 2012), in cui ci si concentra sulla stima del momento flettente alla profondità dell’interfaccia terreno-terreno, viene proposta una formula per la stima della trasmissibilità avente la seguente forma: 𝜀 𝛾 = 𝜒 − 1 2 ℎ 𝑑 + 𝐸 𝐸 . (𝑐 − 1) . (1.19)
Questa formula è sostanzialmente composta da due contributi: il primo, negativo, che va a rappresentare l’influenza della risposta sismica del deposito, in cui entra in gioco lo spessore dello strato più superficiale; il secondo, positivo, che va a rappresentare l’influenza dello strato inferiore avente rigidezza maggiore (effetto vincolo). Essendo poi il termine 𝑐 espresso dalla relazione (1.10), si nota che se il modulo di taglio dei due strati è molto simile, al limite uguale, il secondo termine va a 0. Se poi il rapporto ℎ 𝑑⁄ tende a ∞, il primo termine scompare e resta il solo termine positivo.
𝜒 è invece un coefficiente di regressione che è stato stimato essere vicino all’unità (0,93). Il coefficiente serve a tenere conto del fatto che le analisi sono state condotte
19 con armoniche semplici con frequenza uguale a quella di risonanza, mentre gli input sismici sono segnali complessi. Confrontando i risultati ottenuti con quelli di analisi FEM in cui sono stati presi in esame una serie di accelerogrammi registrati con diverso contenuto in frequenza, si è visto che era necessario tale fattore correttivo proprio per tener conto del contenuto in frequenza di input sismici reali.
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1.2 Formulazioni semplificate in caso di liquefazione
Nei modelli semplificati proposti in precedenza, una delle ipotesi fondamentali, è che gli spostamenti siano piccoli. Con l’instaurarsi della liquefazione le deformazioni e gli spostamenti rientrano nel campo delle grandi deformazioni e quindi l’ipotesi non è più valida. Altra ipotesi è l’impiego di un materiale lineare seppur visco-elastico. Anche questa ipotesi non rispecchia assolutamente la realtà dei fatti in quanto il materiale che raggiunge anche solo una parziale liquefazione presenta una significativa riduzione del modulo di taglio e dunque non presenta un comportamento lineare.
1.2.1 Il fenomeno della liquefazione
In presenza di terreni saturi, lo scuotimento sismico genera delle sovrapressioni interstiziali che, se non possono dissiparsi in maniera sufficientemente veloce, si accumulano con il progredire dell’evento sismico e possono portare all’annullamento delle tensioni di contatto tra i grani. Questo fenomeno è detto liquefazione, e quando questo avviene il terreno perde la sua resistenza e diventa un fluido.
Il fenomeno può essere spiegato considerando che la resistenza a taglio 𝝉 per terreni privi di coesione è data dalla legge di Coulomb (con c’=0):
𝜏 = 𝜎′ 𝑡𝑎𝑛𝜑′
Dove 𝜎′ è la tensione efficace iniziale e 𝜑′ è l’angolo di attrito. In accordo con la formula di Terzaghi la tensione efficace è data da:
𝜎′ = 𝜎 − 𝑝
In cui 𝜎 è la tensione totale verticale e 𝑝 è la pressione interstiziale. Quando la sovrappressione interstiziale 𝛥𝑝 aumenta durante il terremoto, l’equazione diventa:
𝜎 = 𝜎 − (𝑝 + 𝛥𝑝 )
Il che significa che la tensione efficace tende a ridursi progressivamente finché può arrivare ad annullarsi completamente assieme alla resistenza a taglio del terreno.
21 Un parametro molto rappresentativo dello stato in cui si trova il materiale durante l’azione sismica, è il rapporto di sovrapressione interstiziale, indicato con 𝑟 (𝑡), che è definito come:
𝑟 (𝑡) =𝜎′ − 𝜎 (𝑡) 𝜎′
(1.20)
In cui 𝜎′ è la tensione verticale efficace geostatica e 𝜎 (𝑡) è la tensione verticale efficace all’istante 𝑡. È chiaro che un valore prossimo a 1 sta a significare il raggiungimento della liquefazione a seguito dell’annullamento della tensione efficace. Per valutare il rischio di una potenziale liquefazione del deposito in esame è necessario identificare la predisposizione, che è data dalle caratteristiche del deposito come ad esempio il diametro e la forma delle particelle, le caratteristiche plastiche, ed i fattori scatenanti che dipendono dalla magnitudo, dalla durata significativa e dall’accelerazione di picco del terremoto. Per stabilire se un deposito possa, o meno, liquefare si può procedere in maniera semi-empirica o con analisi dinamiche non lineari utilizzando modelli costitutivi avanzati.
22 1.2.2 Interazione palo-terreno in depositi liquefacibili
La moltitudine di fattori che influenzano il comportamento dei pali di fondazione in caso di liquefazione vengono tenuti in conto in vari studi in cui sono stati realizzati dei codici di calcolo ad hoc, per lo più basati sull’utilizzo delle curve (p-y).
Una panoramica esauriente sui meccanismi di rottura dei pali in caso di liquefazione è riportata in (Bhattacharya & Madabhushi, 2008), in cui sono riportati i più importanti concetti derivanti dagli studi effettuati dopo il terremoto di Kobe del 1995:
- I terremoti comportano carichi laterali sui pali sostanzialmente per due motivi: o Le forze d’inerzia provenienti dalla sovrastruttura che si trasferiscono alla testa dei pali, che con l’instaurarsi della liquefazione si riducono; o Le forze d’interazione cinematica che agiscono lungo la porzione di
palo a contatto con il terreno liquefatto.
- Sotto carichi ciclici, la sovrapressione interstiziale cresce e va a ridurre la rigidezza del terreno. Va a ridursi anche la resistenza del terreno ai movimenti laterali del palo. La resistenza agli spostamenti orizzontali del palo è espressa con delle molle p-y che vanno a degradarsi con la liquefazione. Nel lavoro di (Liu & Dobry, 1995) si sono stimati i valori dei coefficienti di degrado delle curve p-y statiche che moltiplicati per esse forniscono i valori delle p-y dinamiche;
- Molto spesso, i pali sono utilizzati per trasferire il carico ad un terreno con caratteristiche meccaniche migliori in profondità. In condizioni statiche non c’è il problema dell’instabilità per via del confinamento offerto dal terreno, mentre in caso di liquefazione il terreno perde la sua capacità di confinamento; - Nel lavoro di (Tokimatsu, Suzuki, & Sato, Effects of dynamic soil-pile structure interaction on pile stresses, 2005), in cui sono stati realizzati dei modelli in scala su tavola vibrante, è stata studiata l’influenza della differenza tra il periodo proprio del deposito e della sovrastruttura sulla risposta di un sistema palo-terreno-struttura, al fine di verificare come le azioni di natura inerziale e quelle di natura cinematica tendano a sovrapporsi. Indicando con Tg il periodo del deposito e con Tb quella della struttura si è ottenuto che:
o Per Tb>Tg, le forze cinematiche tendono a non essere in fase con quelle inerziali e dunque la massima sollecitazione si avrà in una condizione intermedia;
o Per Tb<Tg, le forze cinematiche e quelle inerziali tendono ad essere in fase e dunque la massima sollecitazione si avrà in corrispondenza del massimo delle due.
- Per stimare il massimo momento dovuto agli effetti combinati delle forze inerziali e cinematiche, (Tokimatsu, Suzuki, & Sato, Effects of dynamic soil-pile structure interaction on soil-pile stresses, 2005) e (Tokimatsu & Suzuki, Effect
23 of inertial and kinematic interactions on seismic behaviour of pile foundations based on large shaking table tests, 2005) suggeriscono quanto segue:
o Tb>Tg, il massimo momento nel palo può essere stimato con una combinazione SRSS (Square Root of the Sum of Squares) dei momenti derivanti dalle forze d’inerzia e dalle forze cinematiche;
o Tb<Tg, il massimo momento nel palo può essere calcolato con una somma algebrica della componente inerziale e di quella cinematica. Gli approcci progettuali per la prevenzione del collasso per flessione dei pali sono attualmente due:
- Metodo orientato alle forze o Metodo dell’equilibrio limite, in cui si stima la pressione laterale agente sul palo e si verifica la resistenza o la deformazione indotta su questo;
- Metodo orientato agli spostamenti o Metodo della deformazione sismica, in cui si valuta prima lo spostamento del terreno in condizioni di free-field e successivamente il profilo di spostamento viene applicato al palo.
Per il metodo dell’equilibrio limite si faccia riferimento a (Abdoun, 1997) e (He, et al., 2006). In questi lavori si suggerisce di assumere un valore di 10kPa (Abdoun, 1997) e un valore compreso tra 20 e 40kPa (He, et al., 2006) per la pressione agente sulla porzione di palo immersa nello strato liquefatto.
(Dobry, Abdoun, & Goh, Single piles in lateral spreads: field bendig moment evaluation, 2003) hanno proposto un metodo dell’equilibrio limite semplificato per il calcolo del massimo momento flettente:
𝑀 = (0.5 ∙ 𝐴 ∙ 𝐻 + 𝐴 ∙ 𝐻 )𝑝 (1.21)
In cui 𝐴 e 𝐻 sono l’area e la lunghezza del palo all’interno dello spessore liquefacibile, 𝐴 e 𝐻 sono l’area e lo spessore della struttura di collegamento, 𝑝 è la pressione limite del terreno liquefatto. Nell’applicazione di tale formula in questa tesi, il temine 𝐴 ∙ 𝐻 non verrà considerato in quanto lo studio farà riferimento al caso di palo singolo privo di struttura di collegamento in testa. Dunque la formula può essere scritta come:
24 Per quanto riguarda il metodo delle curve p-y, il modello più comune è quello di trave su letto di molle alla Winkler riassumibile nella nota equazione:
𝐸𝐽𝑑 𝑦
𝑑𝑥 + 𝐸 ∙ 𝑦 = 𝐹
(1.23)
In cui 𝑦 è lo spostamento laterale, 𝑥 è la distanza sull’asse del palo, 𝐸𝐽 è la rigidezza flessionale del palo, 𝐸 è il modulo elastico del terreno, 𝐹 è la forza applicata sul palo per unità di lunghezza.
Di solito l’equazione viene risolta numericamente per ricavare una relazione tra la reazione del terreno e lo spostamento laterale del palo del tipo:
𝑝 = 𝐸 ∙ 𝑦 (1.24)
Le curve generate con questo metodo si basano sui seguenti parametri: - 𝑝: resistenza laterale del terreno;
- 𝑝 : resistenza laterale ultima del terreno; - 𝑦: spostamento laterale del palo;
- 𝑦 : 2,5𝜀 𝑑;
- 𝜀 : deformazione corrispondente a un carico pari al 50% del carico a rottura in una prova triassiale non drenata;
- 𝑑: diametro del palo.
Nella norma AIJ (Architectural Insitute of Japan) l’equazione differenziale è:
𝐸𝐽𝑑 𝑦
𝑑𝑧 = −𝑘 ∙ 𝐵 (𝑦 − 𝑦 )
(1.25)
In cui 𝑧 è la profondità, 𝑦 è lo spsostamento, 𝑦 è lo spostamento del terreno, 𝐸𝐽 è la rigidezza flessionale del palo.
Il coefficiente di reazione del sottofondo 𝑘 è dato da:
𝑘 = 𝑘 2𝛽
1 + 𝑦𝑦
(1.26)
In cui 𝑘 = 80 ∙ 𝐸 ∙ 𝐵 . , 𝐸 = 0.7𝑁 espresso in [MN/m2] e N è il valore numerico di colpi in una prova penetrometrica dinamica SPT. 𝛽 è il fattore di scala per terreni liquefatti e vale generalmente 1 per sabbie non liquefatte e 0.1 per sabbie liquefatte.
25 𝐵 è il diametro del palo in [cm], 𝑦 = (𝑦 − 𝑦 ) è lo spsotamento relativo palo-terreno, 𝑦 è un valore di riferimento per 𝑦 , preso di solito pari all’1% del diametro del palo. Alcuni approfondimenti sul parametro 𝛽 possono essere trovati in (Ishihara, 1997) e (Ishihara & Cubrinovsky, Problems associated with liquefaction and lateral spreading during earthquakes, 1998). Altri metodi per ricavare le curve p-y si possono trovare in (Wilson, Boulanger, & Kutter, 2000) e in (Goh & O'Rourke, 1999).
In (Maheshwari & Sarkar, 2011) è stato condotto uno studio parametrico mediante un codice FEM su piattaforma MATLAB, i cui risultati possono essere riassunti come segue:
- Un incremento dell’intensità del carico aumenta l’effetto della non linearità della rigidezza dinamica del sistema palo-terreno. La rigidezza massima normalizzata si riduce, nello studio, del 35% con un carico incrementato di 3 volte;
- L’ampiezza dell’accelerazione alla base prima di tutto influenza la risposta sismica del sistema palo-terreno per frequenze più basse. A queste frequenze, i fattori di interazione cinematica aumentano del 40% quando l’ampiezza dell’eccitazione viene raddoppiata;
- L’effetto dell’interazione di gruppo è più pronunciato per terreni soffici. L’effetto della non linearità è maggiore per terreni soffici, sia che si consideri la generazione di sovrapressione interstiziale, sia che non si consideri;
- Una volta che il terreno è liquefatto, l’effetto della rigidezza relativa tra palo e terreno perde di valore per la rigidezza dinamica del sistema palo-terreno. Tuttavia, questo non avviene quando non si ha liquefazione;
- Per il particolare modello utilizzato nello studio, l’interazione terreno-palo-struttura incrementa il periodo della terreno-palo-struttura e tende a diminuire la risposta massima. È l’effetto dell’interazione inerziale della sovrastruttura;
- La non linearità del terreno incrementa la risposta della sovrastruttura, specialmente nel campo delle basse frequenze. L’aumento delle sovrapressioni che portano fino alla liquefazione del terreno generano un significativo incremento della risposta della struttura;
Lo studio condotto da (Lombardi & Bhattacharya, Modal analysis of pile-supported structures during liquefaction, 2014), che mostra i risultati ottenuti da quattro modelli in scala su tavola vibrante in merito all’analisi modale, riporta le seguenti conclusioni: - Le frequenze naturali dei sistemi analizzati dipendono fortemente dalle sovrapressioni che si sviluppano nel terreno. Nello specifico, le frequenze naturali si abbassano significativamente con l’inizio della liquefazione. A
26 liquefazione completa, la frequenza si può ridurre di più della metà del valore iniziale, misurato prima della liquefazione;
- Lo smorzamento del sistema aumenta notevolmente all’aumento delle sovrapressioni. Con la completa liquefazione è stato misurato un valore dello smorzamento pari al 20%;
- La liquefazione del terreno causa la riduzione dello spettro di risposta, in particolar modo per le basse frequenze;
- Con la completa liquefazione le forze inerziali agenti sul sistema si possono ridurre considerevolmente a causa degli effetti combinati della riduzione dell’accelerazione spettrale e dell’allungamento del periodo fondamentale di vibrazione del sistema;
- I risultati ottenuti da analisi semplificate, nelle quali i pali sono modellati come colonne senza ritegni orizzontali e con vincolo fisso ad una certa profondità, hanno mostrato che la profondità del vincolo fisso aumenta all’incirca linearmente con l’aumento della sovrapressione interstiziale. Tuttavia, nonostante l’aumento della profondità del vincolo fisso, il massimo momento flettente diminuisce con l’instaurarsi della liquefazione;
- Infine, il massimo momento flettente stimato a partire dalle misurazioni delle deformazioni da taglio è stato confrontato con risultati provenienti da analisi numeriche. I modelli numerici sono stati realizzati su SAP2000, e l’interazione palo-terreno è stata modellata utilizzando molle non lineari distribuite su tutta la lunghezza del palo. Il confronto ha messo in luce una notevole affinità tra i due gruppi di risultati.
Dagli studi brevemente riportati sopra si evince che c’è una notevole incertezza sull’affidabilità dei modelli semplificati che, quasi sempre, sono basato sull’impiego delle curve p-y. Uno degli scopi di questa tesi è proprio quello di effettuare un raffronto con questi modelli semplificati utilizzando RSPile che è un software che analizza l’interazione palo-terreno mediante lo schema di trave su suolo elastico alla Winkler. Per completezza, si cita anche il lavoro di (Tokimatsu, Suzuki, & Sato, Effects of dynamic soil-pile structure interaction on pile stresses, 2005) in cui viene proposto un modello di analisi pseudo-statico che viene confrontato con i risultati provenienti da modelli su tavola vibrante. Il modello di analisi numerica è basato sulla trave su suolo elastico alla Winkler utilizzando le curve p-y. Gli autori si sono concentrati sugli effetti delle forze cinematiche e inerziali sulle caratteristiche della sollecitazione dei pali. Gli esperimenti su tavola vibrante sono stati condotti considerando sia terreni asciutti che terreni saturi. L’analisi pseudo-statica impiegata tiene conto degli effetti della pressione del terreno sull’area laterale dei pali e ha portato alle seguenti evidenze:
27 - Se il periodo naturale della sovrastruttura è inferiore a quello del terreno, le forze cinematiche tendono a essere in fase con le forze inerziali incrementando le sollecitazioni sui pali. La massima sollecitazione sul palo si ha quando sono massime sia le forze d’inerzia che gli spostamenti del suolo e agiscono nella stessa direzione;
- Se il periodo naturale della sovrastruttura è maggiore di quello del terreno, le forze cinematiche tendono ad essere fuori fase rispetto a quelle inerziali contrastando l’incremento delle sollecitazioni. Il massimo sforzo sul palo tende a verificarsi quando sia le forze d’inerzia che gli spostamenti del terreno non si verificano allo stesso momento;
- Il momento flettente e la deformazione del palo stimati con l’analisi pseudo-statica sono molto simili ai valori misurati sia nel caso di terreni asciutti che in quelli di terreni saturi. Questo suggerisce che l’analisi pseudo-statica è promettente per stimare sollecitazioni e deformazioni dei pali con un ragionevole grado di accuratezza.
Tuttavia, nel nostro studio non è presente la sovrastruttura e dunque non ci occuperemo delle forze inerziali del sistema.
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2. Presentazione dello studio
Le formule semplificate viste sopra sono piuttosto recenti e si basano sempre su ipotesi semplificative che trascurano molti fattori. Le analisi dinamiche non lineari eseguite in questo studio utilizzando un modello costitutivo avanzato di formulazione estremamente recente (PM4Sand) permettono di non dover fare ipotesi semplificative ma richiedono un notevole onore computazionale.
In questo studio si cerca di valutare l’influenza di alcuni fattori sul comportamento del palo singolo:
- Spessore dello strato liquefacibile (che sarà posto pari a 2, 6 e 10 [m]); - Caratteristiche degli input sismici;
- Accelerazione di picco degli input sismici alla base; - Densità relativa del deposito.
I risultati di queste analisi saranno poi confrontati con quelli provenienti da alcune delle formulazioni semplificate riportate al capitolo precedente. In particolare si farà riferimento a RSPile, che utilizza la formulazione di (Rollins, Gerber, Lane, & Ashford, 2005) per sabbie liquefatte e la formulazione di (Reese, Cox, & Koop, 1974) per le sabbie non liquefatte; useremo poi la formula semplificata di (Dobry, Abdoun, & Goh, Single piles in lateral spreads: field bendig moment evaluation, 2003) per valutare il momento all’interfaccia tra lo strato liquefacibile e lo strato non liquefacibile; la formula di (Di Laora & Rovithis, Kinematic bending of fixed-head piles in non-homogeneous soil, 2015) e quella di (Stacul & Squeglia, 2020) per la valutazione del momento in testa. In particolare, per le ultime due formule, si vuole vedere se queste hanno validità anche nel campo delle grandi deformazioni e con un forte contrasto di rigidezza all’interfaccia tra lo strato liquefacibile e quello non liquefacibile.
29
2.1 Spessori liquefacibili
Si riportano di seguito le rappresentazioni estratte da Plaxis 2D. Si distingue lo strato liquefacibile (bordò) dal resto del modello (verde) non liquefacibile. I modelli costitutivi utilizzati sono il PM4Sand per lo strato liquefacibile e l’HSSmall per il resto del deposito, al quale quindi si impedisce di liquefare. Alla base è presente una striscia (ocra) che rappresenta il Bedrock per il quale si è utilizzato un legame elastico lineare.
Figura 1. Spessore liquefacibile di 2 [m]
Figura 2. Spessore liquefacibile pari a 6 [m]
30
2.2 Caratteristiche degli input sismici
La scelta degli accelerogrammi da utilizzare nello studio è stata fatta in base ad alcuni parametri rappresentativi, quali:
- Contenuto in frequenza; - Periodo predominante; - Intensità di Arias; - Durata significativa.
Si ritiene utile riportare una breve descrizione dei parametri appena citati.
Il Contenuto in frequenza descrive come varia l’ampiezza del moto sismico in relazione alle frequenze contenute nel segnale. Per valutarlo si utilizza lo Spettro di Ampiezza di Fourier che riporta in ascissa le frequenze (o i periodi) e in ordinata le ampiezze delle singole armoniche con cui viene approssimato l’accelerogramma naturale. Per la stima di parametri che descrivono il contenuto in frequenza di un input sismico si può fare riferimento a (Rathje, Abrahamson, & Bray, 1998) in cui si suggerisce di utilizzare il Periodo medio Tm, definito come:
𝑇 =
∑ 𝑐 𝑓1 ∑ 𝑐
(2.1)
In cui i 𝑐 sono le ampiezze di Fourier dell’intero acclerogramma e 𝑓 sono le frequenze della Trasformata Discreta di Fourier (DTF) tra 0,25 e 20Hz.
Gli altri parametri che vengono descritti da (Rathje, Abrahamson, & Bray, 1998) sono il Periodo predominante Tp, che è definito come il periodo per il quale si verifica la massima accelerazione spettrale in uno spettro di risposta in accelerazione calcolato con uno smorzamento del 5%, e il Periodo predominante spettrale smorzato T0. Gli autori ritengono che questi ultimi due siano meno rappresentativi del contenuto in frequenza di un accelerogramma.
L’Intensità di Arias fornisce una misura dell’intensità della scossa di terremoto in funzione dell’accelerazione. È definita come:
𝐼 (𝑡) = 𝜋
2𝑔 [𝑎(𝑡)] 𝑑𝑡
31 In cui 𝑔 è l’accelerazione di gravità e 𝑎(𝑡) è l’accelerazione espressa come funzione del tempo. Ha le dimensioni di una velocità ed è espressa solitamente in [m/s].
L’intensità di Arias è utile anche per la definizione della Durata significativa che viene definita in modi diversi da vari autori. Ad esempio, secondo la formulazione proposta da (Bolt, 1969) la durata significativa del sisma viene assunta pari alla somma degli intervalli di tempo in cui l’accelerazione ha superato il valore dell’accelerazione di soglia, solitamente posto pari a 0,05 [g]. La definizione che, invece, fornisce il manuale di DeepSoil, utilizzato per estrarre i parametri dei vari input sismici, imposta la durata significativa pari all’intervallo di tempo tra l’istante in cui si supera il 5% dell’intensità di Arias e quello in cui si raggiunge il 95% della stessa.
Di seguito sono riportati gli accelerogrammi utilizzati nello studio nella loro forma originale; il grafico dell’andamento dell’intensità di Arias, in cui sono evidenziati con linee tratteggiate verticali verde e rossa l’inizio e la fine della durata significativa; lo Spettro di Fourier ricavato con DeepSoil v6.1.
Per questo studio sono stati scalati tutti gli accelerogrammi sulla base dei valori di picco delle accelerazioni. Tutti gli accelerogrammi sono stati normalizzati a 0,1 [g] e a 0,25 [g]. Facendo questa operazione, tutti i parametri prima elencati restano invariati ad eccezione dell’Intensità di Arias che, dipendendo dal quadrato dell’accelerazione in funzione del tempo, aumenta o diminuisce. In questo modo risulta più chiara l’influenza dei suddetti parametri sulle sollecitazioni indotte sul palo. Nella tabella sottostante si riportano i valori di: Magnitudo, PGA [g], Periodo medio [s], Periodo predominante [s], Durata significativa [s], Intensità di Arias [m/s] per l’accelerogramma naturale, scalato a 0,1 [g] e a 0,25 [g].
Tabella 1. Valori caratteristici degli accelerogrammi
M PGA Tm Tp Dur. I.A. I.A.0,1 I.A.0,25
Coyote 5,7 0,124 0,454 0,443 6,91 0,12141 0,07891 0,4932 Kocaeli 7,4 0,218 0,300 0,164 11,02 0,28904 0,06036 0,37723
Loma 6,9 0,170 0,463 0,238 12,62 0,44225 0,1526 0,95372 Northridge 6,7 0,098 0,560 0,443 7,96 0,1039 0,1072 0,67002 Whittier 6,0 0,186 0,149 0,164 8,33 0,26121 0,0754 0,47124
32
Tm Tp Dur.
Sig.
I.A. I.A.0,1 I.A.0,25 0,454 0,443 6,91 0,12141 0,07891 0,4932 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0 5 10 15 20 25 [g ] [s] Coyote 3.80 10.71 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 5 10 15 20 25 [m /s ] [s]
Intensità di Arias e Durata significativa
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 Am pi ez za d i F ou rie r [ g-s] Frequenza [Hz]
33
Tm Tp Dur.
Sig.
I.A. I.A.0,1 I.A.0,25 0,300 0,164 11,0151 0,28904 0,06036 0,37723 -0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0 5 10 15 20 25 30 [g ] [s] Kocaeli 9.80 20.81 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 5 10 15 20 25 30 [m /s ] [s]
Intensità di Arias e Durata significativa
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 Am pi ez za d i F ou rie r [ g-s] Frequenza [Hz]
34
Tm Tp Dur.
Sig.
I.A. I.A.0,1 I.A.0,25 0,463 0,238 12,62 0,44225 0,1526 0,95372 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0 5 10 15 20 25 30 35 40 [g ] [s] Loma Gilroy 3.49 16.11 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 5 10 15 20 25 30 35 40 [m /s ] [s]
Intensità di Arias e Durata significativa
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 Am pi ez za d i F ou rie r [ g-s] Frequenza [Hz]
35
Tm Tp Dur.
Sig.
I.A. I.A.0,1 I.A.0,25 0,560 0,443 7,96 0,1039 0,1072 0,67002 -0.12 -0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 [g ] [s] Northridge 5.13 13.09 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0 5 10 15 20 25 30 35 40 [m /s ] [s]
Intensità di Arias e Durata significativa
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 Am pi ez za d i F ou rie r [ g-s] Frequenza [Hz]
36
Tm Tp Dur.
Sig.
I.A. I.A.0,1 I.A.0,25 0,149 0,164 8,33 0,26121 0,0754 0,47124 -0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0 5 10 15 20 25 30 35 40 [g ] [s] Whittier Narrows 1.96 10.29 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 5 10 15 20 25 30 35 40 [m /s ] [s]
Intensità di Arias e Durata significativa
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0 5 10 15 20 25 30 35 Am pi ez za d i F ou rie r [ g-s] Frequenza [Hz]
37
3. Materiali e metodi
Nelle prossime sezioni ci occuperemo della descrizione dei contenuti salienti del codice FEM Plaxis 2D, della costruzione del modello FEM e dei legami costitutivi utilizzati nel presente studio evidenziandone le peculiarità e le circostanze in cui possono essere impiegati. Verranno descritti tre legami costitutivi quali Hardening Soil, Hardening Soil with Small strain stiffness e PM4Sand. In questo studio sono stati utilizzati solamente gli ultimi due ma è necessario riportare anche l’Hardening Soil, in quanto l’HSSmall è una variante di quest’ultimo.
3.1 Plaxis 2D
Plaxis è un codice di calcolo FEM in cui è possibile inserire i modelli costitutivi avanzati appena elencati ed eseguire analisi non lineari al passo utilizzando accelerogrammi registrati.
Per una completa descrizione del funzionamento si rimanda al Manuale di Plaxis 2D. Si richiamano qui solo alcuni aspetti necessari alla corretta modellazione e alla comprensione del modello realizzato.
3.1.1 Condizioni al contorno
Per un corretto funzionamento del modello è necessario inserire le condizioni al contorno rispettando le indicazioni fornite dal manuale di Plaxis. In particolare ci soffermeremo sulla corretta modellazione delle condizioni di campo libero (free-field) e sulla corretta modellazione della condizione compliant base alla base del modello per l’assegnazione dell’input sismico.
Per quanto riguarda la condizione free-field, questa serve a simulare la propagazione delle onde nella parte più lontana con minima riflessione sul bordo. Gli elementi per il free-field possiedono le stesse caratteristiche del terreno all’interno della mesh. Il moto di free-field è trasferito dagli elementi di free-field al dominio principale applicando forze normali e di taglio equivalenti. Dal programma vengono aggiunti due smorzatori, in direzione normale e tangenziale, per ogni nodo del bordo laterale del modello, in
38 modo da assorbire le onde che si propagano dalla parte interna. La condizione di free-field deve essere selezionata per entrambi i lati del modello e si deve fare attenzione a generare gli elementi di interfaccia, altrimenti il free-field non sarà realizzato.
Figura 4. Condizione di free-field al bordo del modello
Per quanto riguarda invece la condizione compliant base, questa è disponibile solo per la base del modello e simula la propagazione delle onde sismiche nel terreno con una riflessione minima sul contorno inferiore. In un contorno compliant base, deve essere considerata solo la componente delle onde che va verso l’alto (upward) e dal momento che nel nostro studio sono stati impiegati accelerogrammi non deconvoluti, cioè si sono utilizzate le registrazioni in corrispondenza dell’affioramento roccioso (outcrop) in superficie senza effettuare un’analisi monodimensionale con SHAKE o DeepSoil che fornisse l’effettivo accelerogramma in profondità, è stato necessario considerare solamente metà dell’input sismico, sottraendo quindi la componente delle onde che si propagherebbe verso il basso (downward).
Figura 5. Schema dell'input sismico
Come indicato nel manuale di Plaxis, si è interposto un layer di spessore pari a 1 [m] tra la compliant base e il terreno. Inoltre, dal momento che è previsto di utilizzare un
39 materiale non drenato per la simulazione della liquefazione, il manuale raccomanda di realizzare due relativamente piccole colonne di terreno drenato ai bordi del modello in quanto sia la condizione di free-field che la condizione compliant base, sono definite in riferimento alle tensioni efficaci e quindi non possono tener conto delle sovrapressioni che si genererebbero in un materiale non drenato.
3.1.2 Comportamento Undrained (A), (B), (C) e Drained
Esistono tre diverse condizioni di drenaggio assegnabili ai modelli costitutivi1: - Undrained (A): simula il comportamento non drenato utilizzando i valori
efficaci di rigidezza e resistenza. La sovrapressione è generata ma potrebbe essere non accurata a seconda del legame costitutivo. La resistenza a taglio non drenata non è un parametro di input ma di output e deve essere confrontato a posteriori con risultati noti.
- Undrained (B): simula il comportamento non drenato utilizzando i valori efficaci per la rigidezza e quelli non drenati per la resistenza. L’analisi è eseguita in termini di tensioni efficaci. La sovrapressione viene generata ma potrebbe essere molto inaccurata. La resistenza al taglio non drenata è un parametro di input.
- Undrained (C): simula il comportamento non drenato utilizzando i valori totali di tensione con i parametri non drenati. Viene utilizzato un modulo di Young e un coefficiente di Poisson non drenati e la resistenza a taglio è quella non drenata cu con φ=0. Tipicamente si usa un valore leggermente minore di 0,5 per Poisson (0,5 produrrebbe una singolarità nella matrice di rigidezza). Il difetto di questa opzione è che non si distinguono le tensioni totali dalle sovrapressioni. Non vengono dunque generate le sovrapressioni e la resistenza a taglio non drenata è un parametro di input.
- Drained: simula il comportamento drenato del terreno. Non vengono generate le sovrapressioni.
Il tipo di drenaggio viene preso in considerazione per analisi plastiche o dinamiche.
40 3.1.3 L’elemento Embedded Beam
L’elemento finito Embedded Beam (lett. Trave Immersa) è un particolare elemento beam di Plaxis che genera delle interfacce palo-terreno.
È pensato per rappresentare una fila di pali nella direzione fuori dal piano del modello. L’idea di base è che questo elemento non sia all’interno della mesh, ma sovrapposto ad essa.
Questo richiede che sia fornita anche la spaziatura (Lspacing) tra i pali nella direzione ortogonale al piano del modello (5 [m] nel nostro caso).
Figura 6. Rigidezze equivalenti degli elementi di interfaccia di una embedded beam
Le formule per il calcolo delle rigidezze equivalenti sono date da:
𝑅 = 𝐼𝑆𝐹 𝐺 𝐿 (3.1) 𝑅 = 𝐼𝑆𝐹 𝐺 𝐿 (3.2) 𝐾 = 𝐼𝑆𝐹 𝐺 𝐿 (3.3) In cui: 𝐼𝑆𝐹 = 2,5 𝐿 𝐷
, Fattore di rigidezza assiale per la superficie laterale
(3.4)
𝐼𝑆𝐹 = 2,5 𝐿 𝐷
, Fattore di rigidezza laterale per la superficie laterale
41 𝐼𝑆𝐹 = 25 𝐿
𝐷
, Fattore di rigidezza alla
base del palo
(3.6)
𝐷 è il diametro del palo.
Il manuale avverte che questo elemento è adatto ai tipi di palo che generano un ridotto disturbo nel terreno circostante a seguito dell’installazione. Dunque, non è l’elemento più adatto per studiare un palo di fondazione. Tuttavia, avendo il PM4Sand una formulazione valida solo per stati di tensione e deformazione piani, è stato necessario utilizzare questo elemento poiché il più adatto fra quelli disponibili e confronti preliminari con altri codici di calcolo hanno rivelato che la embedded beam si comporta in maniera sufficientemente corretta per questo tipo di problema.
42 3.1.4 Fasi dell’analisi
L’analisi viene suddivisa in 3Fasi:
- Fase 1: viene analizzato il modello in cui è presente solo il deposito calcolando lo stato tensionale in condizioni geostatiche (analisi statica);
- Fase 2: viene installato il palo e, partendo dalle tensioni calcolate in Fase 1, si calcolano le nuove tensioni variate a causa dell’installazione (analisi statica); - Fase 3: viene applicata la sollecitazione sismica alla base (analisi dinamica). Le prime due fasi non necessitano di ulteriori spiegazioni, in quanto fanno riferimento alla ben nota teoria delle tensioni efficaci facilmente reperibile in letteratura.
Per la Fase 3 invece si rimanda a (Zienkiewicz & Taylor, 1991), (Kramer, 1996), (Ghosh & Madabhushi, 2005) e al manuale di Plaxis 2D per una descrizione completa della soluzione del problema dinamico.
L’equazione base per descrivere il movimento sotto l’azione di un carico dinamico è:
𝑀𝑢̈ + 𝐶𝑢̇ + 𝐾𝑢 = 𝐹 (3.7)
In cui 𝑀 è la matrice di massa, 𝑢 il vettore degli spostamenti, 𝐶 la matrice dei coefficienti di smorzamento, 𝐾 è la matrice di rigidezza e 𝐹 è il vettore dei carichi. Qui la teoria è basata sulle assunzioni dell’elasticità lineare. Tuttavia, di principio, tutti i modelli in Plaxis possono essere utilizzati per le analisi dinamiche. Il comportamento del terreno può essere sia drenato che non drenato. In quest’ultimo caso, viene aggiunta alla matrice di rigidezza 𝐾 la compressibilità dell’acqua, come avviene per il calcolo statico.
Nella matrice 𝑀 si tiene in conto la massa di tutti i materiali (terreno, acqua e costruzioni) e in Plaxis è una matrice assemblata.
La matrice 𝐶 rappresenta lo smorzamento dei materiali. Nella realtà questo è dovuto all’attrito o a deformazioni irreversibili. Se si assume un comportamento elastico si può comunque tenere in conto lo smorzamento in riferimento alla formulazione di Rayleigh in cui la matrice 𝐶 è scritta come combinazione lineare delle matrici 𝑀 e 𝐾 mediante i coefficienti 𝛼 e 𝛽 :
43
𝐶 = 𝛼 𝑀 + 𝛽 𝐾 (3.8)
Nei modelli costitutivi utilizzati in questo studio, è calcolato esplicitamente lo smorzamento per deformazioni plastiche. I coefficienti di Rayleigh devono comunque essere impostati per avere uno smorzamento per quei valori delle deformazioni tipiche del campo elastico che si hanno nei primi istanti dell’input sismico.
44
3.2 Hardening Soil
Al contrario di un modello elastico perfettamente plastico, la superficie di plasticizzazione per un modello a plasticità incrudente non è fissa nello spazio delle tensioni principali, ma può espandersi a causa delle deformazioni plastiche.
Si possono distinguere due tipi principali di incrudimento, chiamati Incrudimento indotto da deformazioni a taglio plastiche e Incrudimento indotto da deformazioni volumetriche plastiche. L’incrudimento da deformazioni a taglio plastiche è utilizzato per modellare deformazioni irreversibili dovute a carichi deviatorici primari (Primary loading). L’incrudimento da deformazioni volumetriche plastiche è utilizzato per modellare deformazioni plastiche irreversibili dovute alla compressione primaria in condizioni edometriche o isotrope. Nel modello Hardening Soil sono contenuti entrambi i tipi di incrudimento.
L’Hardening Soil è un modello avanzato che serve per simulare il comportamento di differenti tipo di terreno, sia soffici che rigidi (Schanz, Vermeer, & Bonnier, The hardening soil model: Formulation and verification, 1998). Quando soggetto ad un carico deviatorico primario, il terreno mostra una riduzione della rigidezza e, contemporaneamente, uno sviluppo di deformazioni plastiche irreversibili. Nel caso particolare di una prova triassiale drenata, la relazione che si osserva tra la deformazione assiale e lo sforzo deviatorico può essere ben approssimata da un’iperbole. Una relazione di questo tipo è stata formulata prima da (Kondner, 1963) e successivamente utilizzata in un ben noto modello iperbolico (Chang & Duncan, 1970). Il modello Hardening Soil tuttavia supera di gran lunga il modello iperbolico. Primo, perché utilizza la teoria plastica piuttosto che quella elastica, secondo, perché utilizza la dilatanza del terreno, e terzo, perché introduce un limite di deformazione. Alcune caratteristiche base del modello sono:
- Rigidezza che dipende dallo stato di sforzo secondo una legge di potenza (esponente 𝑚);
- Deformazione plastica dovuta al carico deviatorico primario (governata dal parametro 𝐸 );
- Deformazione plastica dovuta alla compressione primaria (governata dal parametro 𝐸 );
45 - Rottura secondo il criterio di Mohr-Coulomb (parametri 𝑐, 𝜑, 𝜓)
Un aspetto fondamentale di questo modello è la dipendenza della rigidezza dallo stato tensionale. Ad esempio, in condizioni edometriche di sforzo e deformazione, il modello impiega la relazione: 𝐸 = 𝐸 (𝜎/𝑝 ). Nel caso particolare di terreni soffici è realistico porre 𝑚 = 1. In queste situazioni c’è anche una semplice relazione tra l’indice di compressione modificato 𝜆∗, come si fa nei modelli per terreni soffici, ed il modulo di compressione edometrica.
𝐸 = ∗ 𝜆∗ =
( )
In cui 𝑝 è la pressione di riferimento. Qui si considera un modulo edometrico tangente per una particolare pressione di riferimento 𝑝 . Quindi, la rigidezza per carico primario è riferita all’indice di compressione modificato 𝜆∗ o all’indice di compressione standard 𝜆 del modello Cam Clay.
Similmente, il modulo di scarico-ricarico fa riferimento all’indice di rigonfiamento modificato 𝜅∗ o all’indice di rigonfiamento standard 𝜅 del modello Cam Clay. Esiste una relazione approssimata:
𝐸 ≈ ∗ 𝜅∗ =
( ) Questa relazione si applica utilizzando 𝑚 = 1.
3.2.1 Relazione iperbolica per prove triassiali drenate standard
L’idea di base per la formulazione dell’Hardening Soil è una relazione iperbolica tra le deformazioni verticali, 𝜀 , e la tensione deviatorica, 𝑞, durante il carico triassiale primario.
La legge che lega 𝑞 a 𝜀 è esprimibile come: −𝜀 = 1
𝐸 𝑞 1 − 𝑞 𝑞⁄
46 In cui qa è il valore asintotico della resistenza a taglio e Ei il modulo di rigidezza iniziale. Ei è collegato a E50 dalla relazione:
𝐸 = 2𝐸 2 − 𝑅
(3.10)
Questa relazione è rappresentata in figura 3:
Figura 7. Relazione iperbolica tensione-deformazione per carico primario in una prova triassiale drenata standard
Il parametro E50 è il modulo di rigidezza dipendente dalla tensione di confinamento per carico primario ed è dato dall’equazione:
𝐸 = 𝐸 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝜎′ 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑝 𝑠𝑖𝑛𝜑
(3.11)
In cui 𝐸 è il valore di riferimento del modulo di rigidezza corrispondente alla pressione di confinamento di riferimento pref. In Plaxis, viene utilizzato un valore di default di 100 [kPa]. La rigidezza effettiva dipende dalla tensione principale minore, 𝜎′ , che è la pressione di confinamento in una prova triassiale. Da notare che 𝜎′ è negativa se di compressione. La dipendenza dalla tensione è fornita dall’esponente 𝑚. Per simulare un comportamento logaritmico a compressione, come osservato per le argille soffici, 𝑚 deve essere posto pari all’unità. (Janbu, 1963) indica valori di 𝑚 intorno a 0,5 per sabbie e limi Norvegesi, mentre (Soos, 1990) riporta valori appartenenti al range 0,5 – 1.
47 La tensione deviatorica ultima, 𝑞 , e la grandezza 𝑞 , nell’equazione (3.9) sono definite come: 𝑞 = (𝑐 𝑐𝑜𝑡𝜑 − 𝜎 ) 2𝑠𝑖𝑛𝜑 1 − 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑞 = 𝑞 𝑅 (3.12)
Si ricorda che 𝜎′ è di solito negativa. La relazione riportata sopra per 𝑞 è ricavata dal criterio di rottura di Mohr – Coulomb, che coinvolge i parametri di resistenza 𝑐 e 𝜑. Non appena 𝑞 = 𝑞 , viene raggiunto il criterio di rottura e inizia la plasticità perfetta come descritto dal modello di Mohr – Coulomb.
Il rapporto tra 𝑞 e 𝑞 è fornito dal rapporto di rottura (failure ratio) 𝑅 , che deve ovviamente essere minore o al più uguale a 1. Solitamente si pone 𝑅 = 0,9, valore suggerito nel manuale di Plaxis.
Per percorsi scarico-ricarico, viene impiegato un altro modulo di rigidezza dipendente dallo stato tensionale:
𝐸 = 𝐸 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝜎′ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑝 𝑠𝑖𝑛𝜑
(3.13)
In cui 𝐸 è il modulo di Young di riferimento per scarico-ricarico, corrispondente alla pressione di riferimento 𝑝 . In molti casi pratici è opportuno impostare 𝐸 = 3𝐸 ; questa è l’impostazione di default di Plaxis.
3.2.2 Approssimazione dell’Hardening Soil con la legge iperbolica
Per comodità, si assume 𝜎 = 𝜎 con 𝜎 tensione principale maggiore. Per stati generali di stress, 𝑞 può essere sostituita con 𝑞 dove:
𝑞 = 𝜎 + (𝛼 − 1)𝜎 − 𝛼𝜎′
𝛼 =3 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 3 − 𝑠𝑖𝑛𝜑
(3.14)
Per di più, si assume che 𝑞 < 𝑞 , come è anche indicato in figura 7. Si deve anche fare attenzione al fatto che le tensioni e le deformazioni di compressione sono assunte negative. Per approfondimenti si faccia riferimento a (Schanz, Vermeer, & Bonnier,
48 The hardening soil model: Formulation and verification, 1998). In questa sezione si mostrerà che questo modello fornisce virtualmente la curva iperbolica tensione-deformazione della figura 7 quando si considera un percorso di carico di una prova triassiale drenata standard. Consideriamo però prima le corrispondenti deformazioni plastiche. Queste si basano su una funzione di incrudimento da taglio di espressione:
𝑓 = 𝑓̅ − 𝛾 (3.15)
In cui 𝑓̅ è funzione dello stato tensionale e 𝛾 è funzione delle deformazioni plastiche:
𝑓̅ = 2 𝐸 𝑞 1 − 𝑞 𝑞⁄ − 2𝑞 𝐸 𝛾 = − 2𝜀 − 𝜀 ≈ −2𝜀 (3.16)
Con 𝑞, 𝑞 , 𝐸 e 𝐸 definiti dalla (3.9) alla (3.13), mentre l’indice 𝑝 è utilizzato per identificare deformazioni plastiche. Per terreni duri, le variazioni volumetriche plastiche (𝜀 ) tendono ad essere relativamente piccoli e questo consente l’approssimazione 𝛾 ≈ −2𝜀 . La definizione vista sopra di 𝛾 verrà utilizzata in seguito.
Un aspetto fondamentale della definizione di 𝑓̅ è che rispecchia la ben nota formula iperbolica, eq. (3.9). Per verificare quest’affermazione, dobbiamo considerare il carico primario, nel senso che questo implica la condizione di plasticizzazione 𝑓 = 0. Per il carico primario si ha quindi 𝑓̅ = 𝛾 e segue dall’equazione (3.15) che:
𝜀 ≈1 2𝑓̅ = 1 𝐸 𝑞 1 − 𝑞 𝑞⁄ − 𝑞 𝐸 (3.17)
In aggiunta alle deformazioni plastiche, il modello considera le deformazioni elastiche. Le deformazioni plastiche si sviluppano solamente nel carico primario, mentre le deformazioni elastiche si hanno sia durante il carico primario che durante la fase di scarico – ricarico. Per i percorsi di carico delle prove triassiali drenate con 𝜎′ = 𝜎′ = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, il modulo elastico di Young 𝐸 si mantiene costante e le deformazioni elastiche sono date dalle equazioni:
−𝜀 = 𝑞
𝐸 −𝜀 = −𝜀 = −𝜈
𝑞 𝐸
