MECCANICA RAZIONALE
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
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aSessione, appello unico, 25 giugno 2014
LEGENDA. Il numero che compare a sinistra di ogni domanda `e il pun- teggio massimo assegnato alla risposta completa e corretta. Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate. Tutte le risposte ai quesiti devono essere riportate sulla cartella intestata a sei facciate. Si deve consegnare solo la cartella a sei facciate contenente il presente te- sto. Eventuali fogli di brutta copia NON devono essere consegnati. La soglia per la sufficienza `e 18/30. Tempo a disposizione: 150 minuti.
1. Enunciare e dimostrare il teorema di Huygens-Steiner sulla trasposizio- [5]
ne dei momenti di inerzia.
2. Una trave AD di massa M e lunghezza ` `e posizionata orizzontalmente [6]
lungo l’asse x; si assuma xA= 0. La trave poggia nei punti B e C tali che 0 < xB < xC < `. Sull’estremo D dell’asta agisce un carico −qˆey (q > 0).
(a) Determinare la condizione di equilibrio della trave facendo uso del teorema sul centro di pressione.
(b) Determinare le reazioni di appoggio in B e C e utilizzarle per spiegare la condizione di equilibrio di cui sopra.
3. Dimostrare che in presenza di un piccolo coefficiente di attrito statico [7]
le posizioni di equilibrio di un punto vincolato ad una curva formano piccoli intervalli che si aprono attorno alle posizioni di equilibrio ideale (si assuma che la componente normale della forza attiva non si annulli nelle posizioni di equilibrio ideale).
4. Nel piano x, y, si consideri una lastra circolare piana di raggio R, omo- [8]
genea, centrata nell’origine O = (0, 0), con tre fori quadrati di la- to R/2 centrati rispettivamente in C1 = (−R/2, 0), C2 = (R/2, 0) e C3 = (0, R/2). Sia ρ la densit`a di massa della lastra.
(a) Fare un disegno accurato della lastra.
(b) Calcolare la posizione del baricentro G della lastra.
(c) Determinare la terna centrale di inerzia della lastra.
(d) Calcolare il momento di inerzia della lastra rispetto all’asse (O, ˆez).
5. Su un piano inclinato di angolo α (rispetto a terra) un punto materiale [9]
di massa m `e collegato ad un punto fisso O (del piano) da una molla ideale di costante elastica k. Sul sistema agisce la gravit`a.
(a) Determinare la posizione di equilibrio del punto materiale e la reazione che il piano esercita su di esso, in assenza di attrito punto- piano.
(b) Determinare le posizioni di equilibrio del punto materiale nel caso in cui il contatto punto-piano sia caratterizzato da un coefficiente di attrito statico fs.
(c) Determinare il moto (posizione al tempo t) del punto materiale nel caso in cui esso parta da fermo in O, in assenza di attrito punto-piano.
(d) Calcolare, nelle condizioni del punto precedente, la reazione vin- colare in O.
