Capitolo 4 Rappresentazione geometrica e TCA

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Rappresentazione geometrica e TCA

4.1 Rappresentazione della geometria del dente

La geometria dei denti delle ruote spiroconiche, vista analiticamente nel capitolo 3, è descritta da equazioni complicate, pesanti da gestire. Per far fronte a questo problema, i codici di calcolo utilizzati per l’analisi di questo tipo di ingranaggi devono implementare modelli delle superfici dei denti computazionalmente più leggeri, al fine di contenere l’uso delle risorse del computer; la soluzione più diffusa consiste nel campionare un numero di punti sufficientemente rappresentativo di tali superfici con cui ricostruire la geometria del dente adoperando una qualche tecnica interpolatoria o approssimante (in modo analogo a quanto avviene nel reverse engineering). Questo modo di procedere è adottato anche dal programma Hypoid Face Milled, che si avvale di una superficie approssimante particolare, analoga ad una spline (ma di cui l’autore del software non ha rivelato la vera natura per motivi di “know-how”), che opera un fitting dei punti campionati sul modello teorico.

4.2 Confronto con la geometria generata dal software

Gleason

Al fine di esaminare le potenzialità di rappresentazione geometrica di Hypoid Face Milled, è importante confrontare i punti teorici (non sperimentali) campionati sui denti di una coppia spiroconica Gleason-Avio esistente con i corrispondenti campionati dal software della Ansol. La coppia in questione è denominata WP140 27-38; per il dente pignone e per il dente corona sono disponibili le coordinate dei punti teorici campionati dal software Gleason che ha generato la trasmissione. Tipicamente questi dati costituiscono l’input per le macchine da misura a coordinate (una Zeiss Ram nel caso in esame), che stimano l’errore tra le coordinate dei punti teorici e quelle dei punti rilevate dal palpatore.

Su ciascun fianco del dente, la griglia di campionamento adottata `e composta da 5 righe nel senso del profilo e da 9 colonne nel senso della fascia, per un totale di 45 punti sulla superficie di ogni fianco. Il sistema di riferimento usato dal software Gleason per esprimere le coordinate dei punti campionati ha le seguenti caratteristiche:

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- l’origine degli assi si trova nel vertice del cono primitivo;

- l’asse z ha direzione coincidente con l’asse della ruota (del pignone) ed `e orientato verso il vertice del cono primitivo; pertanto i valori della componente z sono negativi se la corona (il pignone) in questione ha un angolo primitivo (pitch angle) inferiore a 90◦_;

- gli assi x ed y, che con l’asse z formano una terna destrorsa, hanno direzioni radiali, con valori crescenti andando dalla punta verso il tallone della dentatura.

I dati Gleason-Zeiss a disposizione sono le coordinate cartesiane dei punti nel sistema di riferimento ora descritto e le componenti del versore normale alla superficie in ciascun punto. Sul generico dente, ogni punto `e identificato univocamente dall’intersezione di una circonferenza di asse z e raggio r =px2_{+ y}2 _{con la superficie in esame (fianco concavo}

o fianco convesso della ruota o del pignone).

Per valutare l’errore commesso dal software della Ansol nel rappresentare la generica superficie del dente si pu`o ragionare nel modo seguente:

a) si considera un punto qualunque fra quelli a disposizione (campionato sulla superficie in esame), contraddistinto da una coppia di valori (r, z), e con la circonferenza descritta da r e z si va ad intersecare la superficie corrispondente del dente generato da Hypoid Face Milled, identificando il punto omologo;

b) i due punti omologhi saranno separati, in generale, da una certa distanza angolare: allora, per portare il punto della superficie Gleason a combaciare con il corrispon-dente della superficie di Hypoid Face Milled sar`a sufficiente effettuare una rotazione opportuna;

c) una stima dell’errore, a questo punto, pu`o gi`a essere data dal valore della distanza fra gli altri punti omologhi.

4.2.1 Lato concavo del dente corona

Si consideri l’applicazione del precedente ragionamento alla superficie concava del dente ruota.

Per prima cosa, secondo l’esigenza espressa al punto a), `e necessario ottenere in qualche modo le coordinate del punto omologo nel sistema di riferimento cartesiano di Hypoid Face

Milled; per far questo si `e generato uno script in linguaggio Calyx che, prese in input le

coppie di valori (r, z) di ogni punto Gleason, restituisce in output i valori delle coordinate cartesiane del software di Sandeep (ed altri valori meno interessanti). Affinch´e lo script funzioni deve poter avere a disposizione la geometria prodotta dal codice (in particolare i files con estensione .msh).

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sistema di riferimento Gleason-Zeiss come quello di Sandeep, dal momento che quest’ulti-mo usa un asse z diretto in verso opposto. `E ora possibile calcolare l’angolo di cui ruotare una delle due superfici per far coincidere i punti di riferimento (v. punto b)): infatti, indicando con dH−G il modulo della distanza fra il punto di Hypoid Face Milled e il punto

Gleason, l’entit`a di tale angolo `e espressa da:

θ = 2 arcsin(dH−G)

2r , (4.1)

dove r `e il valore del raggio che contraddistingue i due punti omologhi.

Con le superfici cos`ı ”sincronizzate”, `e infine possibile calcolare la distanza fra tutti gli altri punti omologhi; questo risultato, definibile come error norm e riportato in Fig. 4.1, rappresenta effettivamente il valore assoluto dell’errore di posizione dei punti commesso dal codice della Ansol nel riprodurre il modello Gleason. Indicando con rHij e rGij rispet-tivamente il vettore posizione del generico punto campionato sulla superficie calcolata da

Hypoid Face Milled e quello del generico punto campionato sulla superficie calcolata da

Gleason, il grafico visualizza la norma euclidea del generico vettore rHij − rGij. Con il parametro i, variabile tra 1 e 5, ci si sposta in direzione del profilo, in senso crescente dal raccordo di piede verso il tip; con il parametro j, variabile tra 1 e 9, ci si muove in direzione della fascia (lead), in senso crescente dal toe verso l’heel.

Nella didascalia della figura `e riportato anche il valore massimo dell’error norm (il valore minimo `e praticamente nullo).

Fig. 4.1: Error norm sul fianco concavo del dente ruota – Max = 0.144152 µm

Con i dati a disposizione pu`o essere interessante rappresentare l’errore in maniera diversa, proiettando il vettore distanza fra punti corrispondenti sulle due superfici da

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confrontare in direzione della normale alla superficie Gleason; si pu`o definire normal error il seguente tipo di errore:

(rHij− rGij) ¦ nGij , (4.2)

dove con nGij `e stata indicata la normale locale uscente sulla superficie Gleason.

Si pu`o osservare facilmente che a valori negativi del normal error corrispondono punti della superficie del dente di Hypoid Face Milled che si trovano all’interno del volume del dente Gleason; accade ovviamente l’opposto nel caso in cui il normal error assuma valori positivi.

In Fig. 4.2`e riportato il grafico del normal error sul lato concavo del dente ruota, e in didascalia sono indicati i valori massimo e minimo dello stesso.

Fig. 4.2: Normal error sul fianco concavo del dente ruota – Max = 0.10503 µm ; Min = -0.0254911 µm

4.2.2 Lato convesso del dente corona

Ripetendo il procedimento seguito nel paragrafo precedente, per la superficie convessa del dente corona si ottengono i risultati riportati in Fig.4.3 sull’error norm e quelli in Fig.4.4 per quanto riguarda il normal error.

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Fig. 4.3: Error norm sul fianco convesso del dente ruota – Max = 0.136268 µm

Fig. 4.4: Normal error sul fianco convesso del dente ruota – Max = 0.0264164 µm ; Min = -0.09733339 µm

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4.2.3 Lato concavo del dente pignone

Si riportano direttamente i risultati in Fig.4.5 e in Fig. 4.6.

Si può osservare che l’errore commesso nella rappresentazione di questo lato del pigno-ne è di un ordipigno-ne di grandezza più elevato degli errori commessi pigno-nella rappresentaziopigno-ne delle superfici del dente ruota. È da notare inoltre che l’andamento degli errori sulla superficie concava del pignone è più ”regolare” di quello sulle superfici della ruota, è caratterizzato da una certa tendenza di cui non è chiara l’origine.

4.2.4 Lato convesso del dente pignone

Si riportano i risultati nelle Figg.4.7 e4.8.

Su questo lato si perde un po’ la regolarit`a presente sul fianco concavo e al contempo si assiste ad una riduzione dell’errore massimo, che si riattesta sul valore medio riscontrato sulle superfici della corona.

A conclusione di questa analisi delle modalit`a di rappresentazione geometrica del software

Hypoid Face Milled rispetto a quelle del software Gleason, si pu`o senz’altro asserire che

l’accuratezza nella riproduzione del modello è buona. L’errore medio (sia error norm che normal error) si attesta su valori attorno al decimo di micron, fatta eccezione per il punto sulla superficie concava del dente pignone contraddistinto dai valori i = 1 e j = 9, per il quale l’error norm supera i 2 µm ed il normal error è superiore ad 1 µm. Trattandosi di un punto localizzato sul raccordo (curvature elevate), può darsi che la capacità di rappresentazione della superficie approssimante di Hypoid Face Milled non sia elevata in quella zona, ma la si può ritenere senz’altro sufficiente.

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Fig. 4.5: Error norm sul fianco concavo del dente pignone – Max = 2.29985 µm

Fig. 4.6: Normal error sul fianco concavo del dente pignone – Max = 0.0568047 µm ; Min = -1.70725 µm

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Fig. 4.7: Error norm sul fianco convesso del dente pignone – Max = 0.182485 µm

Fig. 4.8: Normal error sul fianco convesso del dente pignone – Max = 0.122366 µm ; Min = -0.0545366 µm

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4.3 Confronto della TCA

L’obbiettivo principale della simulazione dell’ingranamento e del contatto `e la determina-zione dell’errore di trasmissione e del contatto esteso (bearing contact) che corrispondono all’insieme di parametri macchina e di geometria degli utensili riportati nei capitoli pre-cedenti.

Nel prossimo paragrafo `e riportata la teoria necessaria per la descrizione analitica della TCA. Si ricorda che i pedici 1 e p fanno riferimento al pignone, mentre i pedici 2 e g fanno riferimento alla corona.

Successivamente viene esposto il confronto fra la TCA valutata da Hypoid Face Milled e quella calcolata dal codice DIMNP.

4.3.1 Fondamenti teorici

La simulazione di ingranamento delle superfici dei denti viene effettuata nel sistema di coordinate fisso Sh, che `e rigidamente connesso con il carter della trasmissione. I sistemi

di riferimento mobile, come illustrato in Fig. (4.9), sono S1 ed S2 che sono rigidamente

connessi, rispettivamente, con il pignone e la ruota e sono quelli introdotti nei capitoli pre-cedenti. I sistemi di riferimento ausiliari Sb1e Sb2 sono utilizzati per descrivere le rotazioni

del pignone (rispetto a Sb1) e della corona (rispetto a Sb2). Gli errori di disallineamento

vengono simulati mediante lo spostamento dei sistemi di riferimento Sb1 e Sb2 rispetto a

Sh.

Gli errori di montaggio modellati sono i seguenti:

• ∆A1, spostamento lungo il proprio asse z1 del pignone. E’ positivo se il pignone

viene spostato fuori dall’ingranamento.

• ∆γ, variazione dell’angolo di progetto della trasmissione. E’ positivo se l’angolo attuale della trasmissione `e maggiore rispetto a quello di progetto.

• ∆E, minima distanza fra gli assi del pignone e della ruota nel caso in cui gli assi delle ruote siano sghembi.

• ∆A2, spostamento lungo il proprio asse z2 della corona. E’ positivo se la corona

viene spostata fuori dall’ingranamento.

Nel caso di una trasmissione in cui le ruote sono perfettamente allineate e dunque nella condizione di progetto, si considera che ∆A1, ∆γ, ∆E e ∆A2 sono tutti uguali a zero.

Durante l’ingranamento, le superfici del pignone e della ruota devono essere fra loro tangenti e ci`o impone che i loro vettori posizione ed i loro versori normali coincidano per ogni coppia di valori (φ1, φ2) degli angoli di rotazione del pignone e della corona.

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Fig. 4.9: Sistemi di riferimento applicati per la simulazione dell’ingranamento: (a) illustrazione della rotazione del pignone; (b) illustrazione dello spostamento ∆A1; (c) illustrazione degli spostamenti ∆A2 e ∆E e dell’errore angolare ∆γ; (d) illustrazione della rotazione della ruota.

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Le superfici del pignone e della corona sono rappresentate, nel sistema di riferimento Sh, come segue

r_h(1)(θp, ψ1, φ1) = Mhb1Mb11(φ1) r1(θp, ψ1) (4.3)

r(2)_h (θg, ψ2, φ2) = Mhb2Mb22(φ2) r2(θg, ψ2). (4.4)

Nelle precedenti equazioni le matrici di passaggio fra i sistemi di riferimento adottati sono Mb11 = M3(−φ1, {0, 0, 0}), S1 7→ Sb1,

Mhb1 = M1(0, {0, 0, ∆A1}), Sb17→ Sh,

(4.5)

per il montaggio del pignone e

Mb22 = M3(φ2, {0, 0, 0}), S2 7→ Sb2,

Mhb2 = M2(−(γ +∆γ), {−∆A2sin(γ +∆γ), ∆E, ∆A2cos(γ +∆γ)}), Sb27→ Sh,

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per il montaggio della ruota.

I versori normali alle superfici del pignone e della ruota sono rappresentati, nel sistema di riferimento Sh, rispettivamente dalle seguenti equazioni

n(1)_h (θp, ψ1, φ1) = Lhb1Lb11(φ1) n1(θp, ψ1) (4.7)

n(2)_h (θg, ψ2, φ2) = Lhb2Lb22(φ2) n2(θg, ψ2). (4.8)

Nelle precedenti espressioni, le matrici di passaggio fra vettori liberi sono Lb11 = R3(−φ1), S1 7→ Sb1, Lhb1 = I, Sb1 7→ Sh, (4.9) per il pignone e Lb22 = R3(φ2), S2 7→ Sb2, Lhb2 = R2(−(γ +∆γ)), Sb27→ Sh, (4.10) per la ruota.

La condizione di tangenza continua fra il pignone e la ruota `e rappresentata dalle seguenti equazioni

r(1)_h (θp, ψ1, φ1) − r(2)h (θg, ψ2, φ2) = 0 (4.11)

n(1)_h (θp, ψ1, φ1) − n(2)h (θg, ψ2, φ2) = 0. (4.12)

Le superfici Σ1 e Σ2 sono rappresentate in Sh ciascuna da tre parametri. I primi due

rappresentano le coordinate parametriche che descrivono la posizione di un punto sulla superficie. Il terzo `e il parametro di moto che controlla la rotazione della superficie intorno al proprio asse.

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Le equazioni (4.11) e (4.12) impongono che le superfici Σ1 e Σ2 abbiano vettori

posi-zioni e versori normali coincidenti nei loro punti di tangenza. L’equazione (4.11) fornisce tre equazioni scalari, mentre la (4.12) ne fornisce due dato a causa del vincolo di modulo unitario dei versori normali. Dunque, il sistema precedente fornisce in totale 5 equazioni scalari in 6 incognite. Tuttavia, l’angolo di rotazione del pignone φ1 viene considerato

come un parametro di input che controlla la posizione dell’ingranaggio, perci`o il sistema risulta di 5 equazioni in 5 incognite. L’angolo φ1 di rotazione del pignone viene fatto

variare nel range φ ∈ [−π/N1, π/N1]. I parametri (θp, ψ1) per il pignone, i parametri

(θg, ψ2) e l’angolo di rotazione φ2 per la ruota, sono determinati risolvendo il sistema

precedente.

Il sistema precedente pu`o essere riscritto nella forma                f1(θp, ψ1, φ1, θg, ψ2, φ2) = 0 f2(θp, ψ1, φ1, θg, ψ2, φ2) = 0 · · · = 0 f5(θp, ψ1, φ1, θg, ψ2, φ2) = 0, (4.13)

dove fi ∈ C1 (cfr. [9] and [10]). L’obbiettivo della TCA `e quello di trovare, dalle (4.13),

le seguenti funzioni

{θp(φ1), ψ1(φ1), θg(φ1), ψ2(φ1), φ2(φ1)} ∈ C1. (4.14)

Secondo il teorema di Dini sulle funzioni implicite, le funzioni (4.14) esistono nell’intorno di un punto

P0 _{= (θ}0

p, ψ10, φ01, θg0, ψ20, φ02) (4.15)

se le seguenti condizioni sono rispettate: (i) le funzioni fi ∈ C1 (i=1,..,5), (ii) il

siste-ma (4.13) `e soddisfatto nel punto P0_{, e (iii) il seguente Jacobiano `e diverso da zero in P}0_,

ossia si ha che J(P0_{) =} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂f1 ∂θp ∂f1 ∂ψ1 ∂f1 ∂θg ∂f1 ∂ψ2 ∂f1 ∂φ2 ∂f2 ∂θp ∂f2 ∂ψ1 ∂f2 ∂θg ∂f2 ∂ψ2 ∂f2 ∂φ2 ... ... ... ... ... ∂f5 ∂θp ∂f5 ∂ψ1 ∂f5 ∂θg ∂f5 ∂ψ2 ∂f5 ∂φ2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ P0 6= 0. (4.16)

Poichè nel nostro caso tutte le condizioni richieste sono rispettate per tutti i punti di cam-pionamento, il sistema è risolubile in tutti i punti dell’arco di ingranamento ed è possibile determinare i percorsi di contatto sulle superfici dei denti. Questi sono rappresentati per il sulla superficie di pignone e corona, nei sistemi di riferimento S1 e S2, dalle seguenti

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La funzione degli errori di trasmissione, che costituisce il generico tratto elementare del grafico di moto, `e definita come segue

∆φ2(φ1) = φ2(φ1) −

N1

N2

φ1 (4.19)

e rappresenta l’errore angolare ∆φ2 di rotazione della corona rispetto alla condizione di

superfici ingrananti coniugate, per ogni angolo φ1 di rotazione del pignone.

Pu`o essere definita anche da

∆φ1(φ2) = φ1(φ2) −

N2

N1

φ2 (4.20)

e in questo caso rappresenterebbe l’errore angolare ∆φ1 di rotazione del pignone rispetto

alla condizione di superfici ingrananti coniugate, per ogni angolo φ2 di rotazione della

ruota. Si ricorda che una certa forma dell’errore di trasmissione `e imposta in fase di progetto degli ingranaggi spiroconici per ottenere benefici sulla qualit`a dell’ingranamento (v. ad esempio [9], [10],[11]).

4.3.2 Confronto sulla funzione errore di trasmissione

Per la valutazione dell’errore di trasmissione e del bearing contact `e stata presa a rife-rimento un coppia di denti della trasmissione Avio WP140 27-38 e sono state estratte 7 posizioni relative d’ingranamento. Precisiamo che il pignone, sinistro, `e il membro con-duttore e ruota in senso antiorario; pertanto, il carico si trasmette fra i lati concavi dei denti pignone ed i lati convessi dei denti corona

Prima di condurre l’analisi `e stato necessario sincronizzare le superfici di Hypoid Face

Mil-led con quelle prodotte dal codice DIMNP e scegliere una posizione di riferimento dalla

quale partire per valutare l’errore di trasmissione; inoltre, poich´e quest’ultimo `e espresso dal codice ANSol secondo la relazione 4.20 e dal codice DIMNP secondo la 4.19, si sono dovuti processare i risultati (mediante operazioni non difficili ma laboriose) in modo da ricondurre i due output nella stessa forma dell’equazione 4.20. La figura 4.10 li riporta entrambi.

Gli errori commessi sono apparsi piuttosto evidenti, ma `e importante analizzarne le cause:

• innanzitutto, le superfici dei denti del codice ANSol non sono quelle teoriche (adot-tate dal codice DIMNP durante tutta l’analisi), ma sono il risultato di un’interpo-lazione mediante superfici polinomiali particolari di un insieme di punti campionati sul modello teorico;

• Hypoid Face Milled non accetta in input una coppia motrice nulla, quindi anche le

microdeformazioni causate dalla coppia – seppur modestissima – in ingresso possono alterare la funzione di trasmissione;

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3.24 3.26 3.28 3.32 3.34 3.36 3.38 2 rad 0.00005 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 1rad

Fig. 4.10: Errori di trasmissione del codice DIMNP (in rosso) e di Hypoid Face Milled (in nero).

• altra fonte d’errore importante `e rappresentata dall’incertezza dei dati di cui si dispone per la sincronizzazione delle superfici dei due modelli nella configurazione iniziale. Si tratta di un’incertezza dell’ordine del decimillesimo di radiante, ma ha un peso non trascurabile, dato l’ordine di grandezza dell’errore di trasmissione e le dimensioni in gioco.

4.3.3 Confronto sul bearing contact

Per bearing contact, nella TCA rigida, s’intende l’insieme dei punti di contatto proiettati circolarmente (assieme alla relativa superficie del dente) su di un piano passante per l’asse della ruota considerata.

I risultati ottenuti per il dente ruota sono riportati in figura 4.11.

Come si vede, nonostante gli errori che caratterizzano l’errore di trasmissione, la po-sizione del bearing contact è stata stimata praticamente allo stesso modo dai due codici. Le fonti d’errore precedentemente elencate non sono abbastanza “forti” da influenzare sostanzialmente il bearing contact. Si può notare infine che, mentre il codice DIMNP dà in output una linea, Hypoid Face Milled riproduce un’areola: questo accade perché la coppia motrice data in ingresso a quest’ultimo non è nulla.

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(a) Bearing contact del codice DIMNP Z R Contact Pressure 0.000E+000 6.250E-009 1.250E-008 1.875E-008 2.500E-008 3.750E-008 5.000E-008 7.500E-008 1.000E-007

(b) Bearing contact di Hypoid Face Milled