➃- Esercizi di riepilogo e di complemento
Equazioni differenziali del primo ordine
Parte I
Integrare le seguenti equazioni differenziali e classificare le curve integrali:
1. y0= x + 1
·
y = (x + 1)2
2 + c
¸
2. y0= x − 1
y + 1, y + 1 6= 0. £
x2− y2− 2x − 2y + c = 0¤
3. y0= y + 1 £
y = cex− 1¤
4. y0= (1 − y2) sin2x, y(0) = 0.
·
y(x) = ex−sin x cos x− 1 ex−sin x cos x+ 1
¸
5. y0= 2xy
x2− 1, x2− 1 6= 0. £
y = c(x2− 1)¤
6. (x − 3)2y0 = x(y − 1), x 6= 3 £
c(x − 3)e−3/(x−3)+ 1¤ 7. y0= 2√
y, y(x0) = 0, (y > 0) [y = (x − x0)2, y = 0, . . . ]
I Tipo - Equazioni a variabili separabili
Le equazioni differenziali 1 - 7 rientrano nella categoria delle equazioni a variabili separabili, ossia di quelle equazioni che possono essere scritte in una delle seguenti forme
y0 = ϕ(x); y0 = ψ(y); y0 = ϕ(x)ψ(y);
y0 = ϕ(x)
ψ(y), ψ(y) 6= 0; y0 = ψ(y)
ϕ(x), ϕ(x) 6= 0,
dove ϕ(x) e ψ(y) sono funzioni note e continue nel corrispondente intervallo di definizione.
La forma di tali equazioni permette di isolare un primo membro che dipende solo dalla funzione y e/o dalle sue derivate, lasciando cos`ı un secondo membro che non dipende dalla y ma solo, al pi`u, dalla variabile x. A titolo d’esempio, integriamo l’equazione
y0= ϕ(x)
ψ(y), ψ(y) 6= 0. (1)
Riscrivendola nella forma
dy
dx = ϕ(x) ψ(y) e separando le variabili
ψ(y)dy = ϕ(x)dx si ottiene, integrando, Z
ψ(y) dy = Z
ϕ(x)dx,
che rappresenta l’integrale generale della (1). In modo analogo si procede per l’integrazione delle altre equazioni.
