➇- Esercizi di riepilogo e di complemento
Equazioni differenziali del primo ordine
Parte V
Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:
1. y02− 6yy0+ 8y2= 0 [y = ce2x, y = ce4x]
2. y03− 4x2y0 = 0 [y = c, y = x2+ c, y = −x2+ c]
3. y0− xy = x3 [y = cex2/2− x2− 2]
4. xy0− y − x3 = 0, x 6= 0 [y =x3
2 + cx]
5. y0+ y cos x = sin x cos x [y = ce− sin x+ sin x − 1]
6. y0− y tgx = x2 [y = 1
cos x(x2sin x + 2x cos x − 2 sin x + c)]
7. y0+ xy − x = 0 [y = ce−x2/2+ 1]
V Tipo - Equazioni lineari omogenee e non omogenee
Le equazioni lineari omogenee sono equazioni riducibili alla forma
y0+ f (x)y = 0, (1)
essendo f (x) funzione nota di x definita e continua in un intervallo I. La (1) `e un’equazione a variabili separabili (I Tipo) e il suo integrale generale `e
y = c e−Rf (x)dx,
dove l’integrale rappresenta una qualunque primitiva di f (x). Le equazioni lineari non omo- genee sono equazioni del tipo
y0+ f (x)y = g(x), (2)
essendo f (x), g(x) funzioni note, definite in un comune intervallo I e ivi continue.
Per l’integrazione della (2) si pu`o seguire il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Consideriamo l’equazione omogenea associata alla (2) y0+ f (x)y = 0 il cui integrale generale `e
y = c eRf (x)dx. (3)
Nel secondo membro della (3) supponiamo c non pi`u costante, bems`ı funzione derivabile di x, e vediamo di determinare c in modo che la (3) soddisfi la (2). Derivando i due membri della (3) rispetto ad x, si ottiene
c0 = g(x) ef (x)dx da cui
c = Z
g(x)eRf (x)dx+ c1, (4)
dove l’integrale rappresenta una qualunque primitiva di g(x)eRf (x)dx. Pertanto, l’integrale generale della (2) `e:
y = e−Rf (x)dx
· Z
g(x)eRf (x)dx+ c1
¸
. (5)
