Equazioni differenziali del primo ordine

—- Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali del primo ordine

Parte VI

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

1. y
− y

x =−x³y⁴, x
= 0 [

y = 3 7x⁴+ c

x³

−1/3^

2. y
+ x

x²− 1y = xy^1/2, x²− 1
= 0, y
0

determinando inoltre l’integrale y = y(x) tale che y(√

2) = 1/25. [

y = (x²− 1)² 25



3. y
− y

x = tan x

x³ y⁴, x
= 0 [

y = x(3 ln | cos x| + c)^−1/3



4. y
− y cotgx = √³y cos x [

y = ±



sin²x^2√³ sin x + c

3^

5. y
− y 6

 1

sin x − sin x = e^{√sin x}cosx

3 y⁻², 2xπ < x < π + 2kπ determinando inoltre l’integrale y = y(x) tale che y(π/4) = 0.

[



y(x) = ³



e^{√sin x} sin x −

√2 2



VI Tipo - Equazioni di Bernoulli E un’equazione della forma`

y
+ f (x)y = g(x)y^m, (1)

dove f (x) e g(x) sono funzioni note definite nello stesso intervallo I e ivi continue ed m `e una costante diversa da 0 e 1. (¹)

Posto y = t^1/(1−m), t = t(x), e conseguentemente y
= [1/(1− m)]t^m/(1−m)t
, la (1) diviene 1

1− mt^m/(1−m)t
+ f (x)t^1/(1−m)= g(x)t^m/(1−m). Dividendo ambo i membri per t^1/(1−m), si ottiene

1

1− mt
+ f (x)t = g(x), o anche

t
+ (1− m)f(x)t = (1 − m)g(x).

In tal modo l’equazione (1) `e stata ricondotta ad un’equazione differenziale lineare non omo- genea (V Tipo).

1Se m = 0 o m = 1, la (1) si riduce ad un’equazione lineare (I Tipo).