Equazioni differenziali del primo ordine

➅ - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali del primo ordine

Parte III

Integrare le seguenti equazioni differenziali:

1. y ⁰ = x ² + y ²

xy , (xy 6= 0) [ y

= 2x

log |cx|]

2. y ⁰ = x + y

x − y , (x − y 6= 0) [ |c| p

x

+ y

= e

]

3.

 

 

 



y ⁰ = y

p x ² + y ² + x , (x ² + y ² > 0)

y(1) = √

3 [ y = √

2x + 1]

III Tipo - Equazioni omogenee (G. Manfredi) Le due equazioni precedenti sono della forma

y ⁰ = A(x, y)

B(x, y) , B(x, y) 6= 0, (1)

essendo A(x, y), B(x, y) funzioni omogenee (o positivamente omogenee) dello stesso grado n di omogeneit`a definite nello stesso insieme E. Poich´e, supposto x 6= 0,

A(x, y) = x ⁿ ϕ ³ y x

´

, B(x, y) = x ⁿ ψ ³ y x

´ ,

la (1) diviene

y ⁰ = ϕ( ^y _x )

ψ( ^y _x ) = f ³ y x

´ , ossia

dy = f ³ y x

´

dx. (2)

Posto y/x = z(x), si ha y = xz, dy = xdz+zdx e sostituendo nella (2) si perviene all’equazione a variabili separabili (I Tipo) xdz + zdx = f (x)dx, nella funzione incognita z.

Denotato con φ(x, z, c) = 0 l’integrale generale di quest’ultima equazione, l’integrale gen- erale della (1) `e φ(x, y/x, c) = 0. La (1) `e un caso particolare dell’equazione y ⁰ = ϕ ³ y

x

´

, detta

di tipo omogeneo, la quale si risolve eseguendo la sostituzione indicata per la (2).