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1) Nel gruppo GL(2, C

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Academic year: 2021

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(1)

ALGEBRA 2 — 2005/2006 Prof.ssa Elisabetta Strickland 2a prova di esonero — 20/01/2006

. . . .

1) Nel gruppo GL(2, C) , si consideri il sottogruppo H generato dalle matrici

0 i i 0

 e

 0 1

−1 0

 . (a) Determinare l’ordine di H .

(b) Verificare che in H esiste un unico elemento g che ha periodo 2 .

(c) Detto K il sottogruppo di H generato dall’elemento g di cui al punto (b), si dica se K `e normale in H , e se K `e normale in GL(2, C) .

2) Si studi il gruppo I(Q) degli automorfismi interni del gruppo dei quaternioni

Q := { 1 , −1 , i , −i , j , −j , k , −k } .

3) Dimostrare che un gruppo di ordine 18 non `e semplice.

4) Sia f (x) := 3 x4 − 2 x3 − 3 x + 2 ∈ Q[x] .

(a) Determinare il campo di spezzamento di f (x) su Q . (b) Determinare il gruppo di Galois di f (x) .

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