Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi n. 6
†Esercizio 1. Sia B = {Bt}t≥0 un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F, P). Introduciamo l’insieme degli zeri Z = Z(ω) ⊆ [0, ∞) del moto browniano, ponendo
Z(ω) := �
s∈ [0, ∞) : Bs(ω) = 0� . (a) Si mostri che, per ogni t > 0 fissato, q.c. t �∈ Z.
(b) Si deduca che q.c. Z ∩ (Q ∩ (0, ∞)) = ∅.
(c) Si mostri che q.c. Z è un insieme chiuso.
[Sugg.: Non serve fare nessun calcolo!]
(d) (*) Si mostri che q.c. Z ha misura di Lebesgue nulla.
[Sugg.: la misura di Lebesgue di un insieme C ⊆ [0, ∞) vale m(C) =�∞
0 1C(s)ds.]
(e) Si mostri che q.c. 0 è un punto di accumulazione di Z, cioè esiste una successione di punti in Z che converge a 0.
[Sugg.: Si ricordino le proprietà del moto browniano.]
Esercizio 2.Sia B = {Bt}t≥0un moto browniano reale. Definiamo la variabile aleatoria τ := τ−a,b:= inf{s ≥ 0 : Bs�∈ (−a, b)}, per a, b > 0. Sappiamo che τ è un tempo d’arresto q.c. finito e inoltre
P�
Bτ =−a�
= b
a + b, P� Bτ = b�
= a
a + b. Ricordiamo che il processo Q = {Qt:= Bt2− t}t≥0è una martingala.
(a) Si ponga τn:= τ∧ n, per n ∈ N. Si spieghi perché τnè un tempo d’arresto.
(b) Si mostri che E(B2τn− τn) = 0per ogni n ∈ N.
(c) (*) Si mostri che E(Bτ2− τ) = 0.
(d) (*) Si mostri che E(τ) = ab.
Esercizio 3. (*) Usiamo le stesse notazioni dell’esercizio precedente. Ricordiamo che M ={Mt:= eγBt−12γ2t}t≥0è una martingala, ∀γ ∈ R, e che sinh(x) :=12(ex− e−x).
(a) Si mostri che E(Mτ) = 1, per ogni γ ∈ R.
(b) (*) Ponendo α := E(e−12γ2τ1{Bτ=−a})e β := E(e−12γ2τ1{Bτ=b}), si mostri che vale la relazione e−γaα + eγbβ = 1, per ogni γ ∈ R.
(c) (*) Sfruttando la simmetria γ → −γ, si deduca che E(e−λτ) = sinh(√
2λ a) + sinh(√ 2λ b) sinh(√
2λ (a + b)) , ∀λ ≥ 0 .
†Ultima modifica: 23 maggio 2011.
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Esercizio 4. Dato un moto browniano reale B = {Bt}t≥0, si calcolino E�� �t
0BsdBs�2�
, E�� �t
0BsdBs� � �t
0g(s)dBs��
, E�
B1� �t
0Bs2dBs��
, dove g ∈ L2(R+).
[Sugg. Si usi l’isometria dell’integrale stocastico.]
Esercizio 5(Integrale di Wiener). (*) Sia B = {Bt}t≥0un moto browniano reale definito su uno spazio di probabilità (Ω, F, P). Vogliamo costruire l’integrale
J(f ) :=
�∞
0
f (t)dBt
per integrandi deterministici, cioè per funzioni f : [0, ∞) → R in L2(R+).
Cominciamo a considerare il sottospazio S ⊆ L2(R+)delle funzioni semplici, cioè della forma f(s) =�k−1
i=0ci1[ti,ti+1)(s)con 0 = t0 < t1 < . . . < tk <∞ e con ci ∈ R per i = 0, . . . , k− 1. Data f ∈ S di questa forma, poniamo
J(f ) :=
� ∞
0
f (s)dBs :=
k−1
�
i=0
ci(Bti+1− Bti) .
In questo modo J(f) è una variabile aleatoria reale definita su (Ω, F, P). Ricordiamo che S è un sottospazio vettoriale denso in L2(R+).
(a) Si mostri che per ogni f ∈ S si ha J(f) ∼ N(0, σ2), con σ2=�∞
0 f (s)2ds.
(b) Si mostri che l’operatore J : S → L2(Ω)è lineare e isometrico.
[Le norme sugli spazi sono le solite: �f�22:=�∞
0 f (s)2ds e �X�2L2(Ω):= E(X2).]
(c) Si deduca che esiste un’estensione J : L2(R+)→ L2(Ω)lineare e isometrica, tale che E(J(f)) = 0 per ogni f ∈ L2(R+).
(d) (*) Si mostri che, per ogni f ∈ L2(R+), la variabile aleatoria J(f) è normale.
[Sugg. Si prenda una successione {fn}n∈Ndi funzioni in S tale che fn→ f in L2(R+). . . ] (e) Si concluda che J(f) ∼ N(0, σ2)con σ2=�∞
0 f (s)2ds, per ogni f ∈ L2(R+).
(f) Si mostri che Cov(J(f), J(g)) =�∞
0 f (s) g(s)ds, per ogni f, g ∈ L2(R+).
[Sugg. Polarizzazione.]
