Processi Stocastici 2011/12 – Esercizi sul moto Browniano - 2†
Esercizio 1. Sia B = {Bt}t 0 un moto browniano reale. Data una partizione ⇡ = {0 = t0 < t1 < . . . < tk = t} dell’intervallo [0, t], indichiamone il passo con |⇡| = max1ik(ti ti 1). Introducendo la variazione quadratica S⇡ =Pk
i=1(Bti Bti 1)2 di B relativa a ⇡, sappiamo che per |⇡| ! 0 si ha S⇡ ! t in L2. Più precisamente, abbiamo visto che esiste una costante 0 < c < 1 universale tale che
E⇥
(S⇡ t)2⇤
= cPk
i=1(ti ti 1)2.
Sia {⇡(n)}n2N una successione di partizioni ⇡(n)={0 = t(n)0 < t(n)1 < . . . < t(n)k
n = t}, tale che non solo |⇡(n)| ! 0 per n ! 1, ma anche P
n2N|⇡(n)| < 1.
(a) Si mostri che, per ogni " > 0,P
n2NP(|S⇡(n) t| > ") < 1.
[Sugg. Applicare un’opportuna disuguaglianza.]
(b) Si deduca che S⇡(n) ! t q.c. per n ! 1.
Esercizio 2. Siano B = {Bt}t2[0,1) e = { t}t2[0,1) due moti browniani reali indipen- denti, definiti su uno spazio di probabilità completo (⌦, F, P) (in particolare, le variabili aleatorie Bt e s sono indipendenti, per ogni s, t 0). Consideriamo il processo reale X ={Xt}t2[0,1) definito da
Xt := B2
3t 13t. (a) Si mostri che X è un processo gaussiano.
(b) Si mostri che X è un moto browniano reale.
Definiamo ora il processo reale Y = {Yt}t2[0,1) ponendo Yt := 2
3t+ B1
3t.
(c) Si mostri che, per ogni t 2 [0, 1), le variabili aleatorie Xte Yt sono scorrelate, cioè Cov(Xt, Yt) = 0. Esse sono indipendenti?
(d) Si mostri che, per ogni 0 < s < t < 1, le variabili aleatorie Xs e Yt non sono indipendenti.
[Sugg.: si considerino separatamente i due casi s < t2 e t2 s < t.]
(e) Si mostri che, per ogni (a, b) 2 R2 con a2+ b2 = 1, il processo Z = {Zt}t2[0,1)
definito da Zt:= aXt+ bYt è un moto browniano reale.
Esercizio 3. Sia {Bt}t2[0,1)un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (⌦,F, P). Per n 2 N e s, t > 0 fissati, introduciamo i seguenti eventi:
A := u7! Bu è derivabile in u = 0 =
⇢ 9 lim
u#0
Bu
u 2 ( 1, +1) , Cn,s := |Bs| ns , Dn,t := |Bu| nu , 8u 2 [0, t] .
Per questo esercizio non è possibile utilizzare né la legge del logaritmo iterato, né la non differenziabilità delle traiettorie del moto browniano.
†Ultima modifica: 13 giugno 2012.
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(a) Si mostri che, per ogni n 2 N fissato, si ha P(Cn,s)! 0 per s # 0 .
Facoltativo: si mostri che in effetti P(Cn,s)/(2nps)! 1/p
2⇡per s # 0 (con n fissato).
(b) Si spieghi perché per ogni s t vale l’inclusione di eventi Dn,t✓ Cn,s. (c) Si deduca che P(Dn,t) = 0, per ogni n 2 N e t > 0 .
(d) Si spieghi perché vale l’inclusione di eventi A ✓ S
n,k2N Dn, 1/k. (e) Si mostri che P(A) = 0 .
Esercizio 4. Sia B = {Bt}t 0 un moto browniano reale e definiamo le variabili
⌧a := inf{t 0 : Bt= a} , St := sup
0ut
Bu. Ricordiamo il principio di riflessione: P(St a) = P(⌧a t) = P(|Bt| a).
(a) Si ricavi la densità della variabile St.
[Si consideri innanzitutto la funzione di ripartizione di St.]
(b) Si mostri che vale la relazione P(⌧a t) = P(|B1| pat), per ogni a, t > 0.
(c) Si deduca che per ogni a 2 R si ha P(⌧a<1) = 1.
(d) Si determini la densità della variabile ⌧a. Quanto vale E(⌧a)? (e) (*) Si mostri in dettaglio come dal punto (b) segue che, q.c.,
lim sup
t!1 Bt = +1 , lim inf
t!1 Bt = 1 .
Esercizio 5. Sia B = {Bt}t 0 un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (⌦, F, P). Introduciamo l’insieme degli zeri Z = Z(!) ✓ [0, 1) del moto browniano, ponendo
Z(!) := s2 [0, 1) : Bs(!) = 0 . (a) Si mostri che, per ogni t > 0 fissato, q.c. t 62 Z.
(b) Si deduca che q.c. Z \ (Q \ (0, 1)) = ;.
(c) Si mostri che q.c. Z è un insieme chiuso.
[Sugg.: Non serve fare nessun calcolo!]
(d) (*) Si mostri che q.c. Z ha misura di Lebesgue nulla.
[Sugg.: la misura di Lebesgue di un insieme C ✓ [0, 1) vale m(C) =R1
0 1C(s)ds. Quindi m(Z) è una variabile aleatoria e si vuole mostrare che m(Z) = 0 q.c..]
(e) (*) Si mostri che q.c. 0 è un punto di accumulazione di Z, cioè esiste una successione di punti in Z che converge a 0.
[Sugg.: Si ricordino le proprietà delle traiettorie del moto browniano.]
