(*)Ponendo := ( 1 ) e := ( 1 ) ,simostrichevale (*)Usiamolestessenotazionidell’esercizioprecedente.Ricordiamoche Sideducacheesisteun’estensione : ( ) ( Ω ) lineareeisometrica,tale forma ( )= 1 ( ) con 0= econ per ( Ω ) .Introduciamol’insiemedeglizeri = (

Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi n. 6^†

Esercizio 1. Sia B = {Bt}t≥0 un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F, P). Introduciamo l’insieme degli zeri Z = Z(ω) ⊆ [0, ∞) del moto browniano, ponendo

Z(ω) := �

s∈ [0, ∞) : B^s(ω) = 0� . (a) Si mostri che, per ogni t > 0 fissato, q.c. t �∈ Z.

(b) Si deduca che q.c. Z ∩ (Q ∩ (0, ∞)) = ∅.

(c) Si mostri che q.c. Z è un insieme chiuso.

[Sugg.: Non serve fare nessun calcolo!]

(d) (*) Si mostri che q.c. Z ha misura di Lebesgue nulla.

[Sugg.: la misura di Lebesgue di un insieme C ⊆ [0, ∞) vale m(C) =�_∞

0 1C(s)ds.]

(e) Si mostri che q.c. 0 è un punto di accumulazione di Z, cioè esiste una successione di punti in Z che converge a 0.

[Sugg.: Si ricordino le proprietà del moto browniano.]

Esercizio 2.Sia B = {Bt}^t≥0un moto browniano reale. Definiamo la variabile aleatoria τ := τ_−a,b:= inf{s ≥ 0 : Bs�∈ (−a, b)}, per a, b > 0. Sappiamo che τ è un tempo d’arresto q.c. finito e inoltre

P�

Bτ =−a�

= b

a + b, P� Bτ = b�

= a

a + b. Ricordiamo che il processo Q = {Qt:= B_t²− t}t≥0è una martingala.

(a) Si ponga τn:= τ∧ n, per n ∈ N. Si spieghi perché τnè un tempo d’arresto.

(b) Si mostri che E(B²τn− τn) = 0per ogni n ∈ N.

(c) (*) Si mostri che E(B_τ²− τ) = 0.

(d) (*) Si mostri che E(τ) = ab.

Esercizio 3. (*) Usiamo le stesse notazioni dell’esercizio precedente. Ricordiamo che M ={Mt:= e^{γBt−12γ2t}}t≥0è una martingala, ∀γ ∈ R, e che sinh(x) :=¹₂(e^x− e^−x).

(a) Si mostri che E(Mτ) = 1, per ogni γ ∈ R.

(b) (*) Ponendo α := E(e^−12γ2τ1_{Bτ=−a})e β := E(e^−12γ2τ1_{Bτ=b}), si mostri che vale la relazione e^−γaα + e^γbβ = 1, per ogni γ ∈ R.

(c) (*) Sfruttando la simmetria γ → −γ, si deduca che E(e^−λτ) = sinh(√

2λ a) + sinh(√ 2λ b) sinh(√

2λ (a + b)) , ∀λ ≥ 0 .

†Ultima modifica: 23 maggio 2011.

2

Esercizio 4. Dato un moto browniano reale B = {Bt}^t≥0, si calcolino E�� �t

0BsdBs�2�

, E�� �t

0BsdBs� � �t

0g(s)dBs��

, E�

B1� �t

0B_s²dBs��

, dove g ∈ L²(R⁺).

[Sugg. Si usi l’isometria dell’integrale stocastico.]

Esercizio 5(Integrale di Wiener). (*) Sia B = {Bt}t≥0un moto browniano reale definito su uno spazio di probabilità (Ω, F, P). Vogliamo costruire l’integrale

J(f ) :=

�_∞

0

f (t)dBt

per integrandi deterministici, cioè per funzioni f : [0, ∞) → R in L²(R⁺).

Cominciamo a considerare il sottospazio S ⊆ L²(R⁺)delle funzioni semplici, cioè della forma f(s) =�k−1

i=0ci1_[ti,ti+1)(s)con 0 = t0 < t1 < . . . < tk <∞ e con ci ∈ R per i = 0, . . . , k− 1. Data f ∈ S di questa forma, poniamo

J(f ) :=

� _∞

0

f (s)dBs :=

k−1

�

i=0

ci(Bti+1− Bti) .

In questo modo J(f) è una variabile aleatoria reale definita su (Ω, F, P). Ricordiamo che S è un sottospazio vettoriale denso in L²(R⁺).

(a) Si mostri che per ogni f ∈ S si ha J(f) ∼ N(0, σ²), con σ²=�_∞

0 f (s)²ds.

(b) Si mostri che l’operatore J : S → L²(Ω)è lineare e isometrico.

[Le norme sugli spazi sono le solite: �f�²2:=�_∞

0 f (s)²ds e �X�²L²(Ω):= E(X²).]

(c) Si deduca che esiste un’estensione J : L²(R⁺)→ L²(Ω)lineare e isometrica, tale che E(J(f)) = 0 per ogni f ∈ L²(R⁺).

(d) (*) Si mostri che, per ogni f ∈ L²(R⁺), la variabile aleatoria J(f) è normale.

[Sugg. Si prenda una successione {fⁿ}n∈Ndi funzioni in S tale che fⁿ→ f in L²(R⁺). . . ] (e) Si concluda che J(f) ∼ N(0, σ²)con σ²=�_∞

0 f (s)²ds, per ogni f ∈ L²(R⁺).

(f) Si mostri che Cov(J(f), J(g)) =�_∞

0 f (s) g(s)ds, per ogni f, g ∈ L²(R⁺).

[Sugg. Polarizzazione.]

3

Soluzione 1. (a) P(t ∈ Z) = P(Bt= 0) = 0perché Bt∼ N(0, t).

(b) L’evento {Z ∩ (Q ∩ (0, ∞)) �= ∅} =�

t∈Q∩(0,∞){t ∈ Z} è unione numerabile di eventi con probabilità nulla, dunque ha probabilità nulla.

(c) Sappiamo che per q.o. ω la funzione t �→ Bt(ω)è continua, quindi l’insieme Z(ω) è chiuso, essendo controimmagine dell’insieme chiuso {0}.

(d) Per il teorema di Fubini, E(m(Z)) =�_∞

0 E(1Z(s))ds =�_∞

0 P(s∈ Z) ds = 0. Dato che m(Z) ≥ 0, segue che m(Z) = 0 q.c..

(e) Sappiamo che q.c. il moto browniano cambia segno infinite volte in ogni intorno destro dell’origine: per la continuità delle traiettorie, q.c. esiste una successione {tⁿ}ⁿ∈N={tⁿ(ω)}ⁿ∈Ntale che tn↓ 0 e B^tn = 0, cioè tn∈ Z.

Soluzione 2. (a) τnè il minimo dei due tempi d’arresto n e τ.

(b) Applicando il teorema d’arresto alla martingala Q, per il tempo d’arresto limitato τn, si ha che E(Q0) = E(Qτn), cioè 0 = E(B_τ²_n− τⁿ)

(c) Per n → ∞ si ha che q.c. (anzi per ogni ω ∈ Ω) τn→ τ. Ricordando che τ < ∞ q.c., segue che Bτn→ Bτ q.c.. Dato che |Bτn| ≤ max{a, b}, per convergenza dominata si ha E(Bτn)→ E(Bτ). Dato che τnè crescente, per convergenza monotona si ha E(τn)→ E(τ). Dal punto precedente si ha dunque che E(B²τ−τ) = limn→∞E(B²_τn− τn) = 0.

(d) Dal punto precedente e dalla legge di Bτ si ha che

E(τ ) = E(B_τ²) = a²P(Bτ =−a) + b²P(Bτ = b) = a²b a + b+ b²a

a + b = ab . Soluzione 3. (a) Per t ≤ τ si ha chiaramente Bt≤ max{a, b}, di conseguenza |M^τ∧t| ≤

e^{γ max{a,b}}. Dato che τ è q.c. finito, siamo nelle condizioni di applicare il teorema d’arresto e dunque E(Mτ) = E(M0) = 1.

(b) Si noti che

E(M_τ^γ) = E(e^{γBτ−12γ2τ}) = e^−γaE(e^−12γ2τ1_{Bτ=−a}) + e^γbE(e^−21γ2τ1_{Bτ=b}) , e dal punto precedente si ricava e^−γaα + e^γbβ = 1, per ogni γ ∈ R.

(c) Riscrivendo la relazione ricavata nel punto precedente per γ e −γ, abbiamo che

�e^−γaα + e^γbβ = 1 e^γaα + e^−γbβ = 1 . Con un po’ di algebra si ricava

α = sinh(γb)

sinh(γ(a + b)), β = sinh(γa) sinh(γ(a + b)), da cui

E(e^−12γ2τ) = α + β = sinh(γa) + sinh(γb) sinh(γ(a + b)) . Ponendo γ =√

2λsi ottiene la formula voluta.

4

Soluzione 4. Per l’isometria dell’integrale stocastico e il teorema di Fubini si ha E

�� � t 0

BsdBs

�2�

= E

� � t 0

B_s²ds�

=

� t 0

E(B_s²)ds = � t 0

sds = t² 2 . Analogamente

E

�� � t 0

BsdBs

�� � t 0

g(s)dBs

��

= E

� � t 0

Bsg(s)ds

�

=

�t 0

E(Bs) g(s)ds = 0 . Infine, sia T > max(t, 1) e scriviamo

B1=

� T 0

1_[0,1)(s)dBs,

� t 0

B_s²dBs=

� T 0

B_s²1_[0,t)(s)dBs. Ricordando che E((�T

0 XsdBs)(�T

0 YsdBs)) = E(�T

0 XsYsds), si ottiene E

� B1

� �t 0

B_s²dBs

��

= E

� �T 0

1[0,1)(s) B²_s1[0,t)(s)ds�

=

� T 0

E(B_s²) 1_[0,t∧1)(s)ds = � t∧1 0

sds = t²∧ 1 2 . Soluzione 5. (a) J(f) è normale per ogni f ∈ S, in quanto combinazione lineare delle

componenti del processo gaussiano {Bt}t≥0: J(f) ∼ N (µ, σ²)e resta da calcolare µe σ². Dato che E(Bt_i+1− B^ti) = 0segue che µ = 0. Per l’indipendenza degli incrementi del moto browniano si ha E((Bti+1− Bti)(Btj+1− Btj)) = 0per i �= j mentre E((Bt_i+1− B^ti)²) = ti+1− tⁱ, da cui

σ² =

k−1

�

i=0

c²i E((Bti+1− Bti)²) + 2 �

0≤i<j≤k−1

cicjE((Bti+1− Bti)(Btj+1− Btj))

=

k−1

�

i=0

c²_i(ti+1− ti) =

� _∞

0

f (s)²ds .

(b) La linearità è evidente, l’isometria è stata dimostrata nel punto precedente, in quanto �J(f)�²_L2(Ω)= E((J(f ))²) =�_∞

0 f (s)²ds = �f�²2per ogni f ∈ S.

(c) L’esistenza dell’estensione lineare e isometrica di J allo spazio L²(R⁺)segue dal teorema visto a lezione. Di conseguenza, data f ∈ L²(R⁺)e date {fn}n∈N∈ S tali che fn→ f in L²(R⁺), si ha J(fn)→ J(f) in L²(Ω)(infatti �J(fn)− J(f)�L²(Ω)=

�fn− f�2→ 0). Dato che la convergenza in L²(Ω)implica la convergenza dei valori attesi e dato che E(J(fn)) = 0per ogni n ∈ N, come dimostrato nel punto (a), segue che E(J(f)) = 0 per ogni f ∈ L²(R⁺).

(d) Come già osservato, date f ∈ L²(R⁺)e {fn}n∈N∈ S tali che fⁿ→ f in L²(R⁺), si ha J(fn)→ J(f) in L²(Ω). Abbiamo già mostrato che J(fn)è normale, per ogni n∈ N, dunque J(f) è normale in quanto limite in L²(Ω)di variabili normali.

(e) Segue direttamente dai due punti precedenti che J(f) ∼ N (µ, σ²), con µ = E(J(f )) = 0 e σ² = E(J(f )²) = �J(f)�²L²(Ω) = �f�²2 = �_∞

0 f (s)²ds, per ogni f ∈ L²(R⁺).

5

(f) Per il punto precedente si ha E(J(f + g)²) =�f + g�²2e E(J(f − g)²) =�f − g�²2, per cui

Cov(J(f ), J(g)) = E(J(f )J(g)) = 1 4

�E(J(f + g)²)− E(J(f − g)²)�

= 1 4

��f + g�²2− �f − g�²2

�

= 1 4

��f + g, f + g�L²(R⁺)− �f − g, f − g�L²(R⁺)

�

= �f, g�L²(R⁺) =

� _∞

0

f (t) g(t)dt .