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5/7/2011

Esercizio 1. Siano X1; X2; X3; X4; X5 delle v.a. indipendenti di media -1 e varianza 1.

i) Si calcoli la varianza di S5 = X1+ X2+ X3+ X4+ X5. ii) Minorare P (jS5+ 5j < 4).

iii) Calcolare E (X1+ 1)2X2X32 .

Esercizio 2.Si consideri la funzione f (x) che vale Ce x per x 1e 0 per x > 1.

i) Stabilire per quali valori di e di C è una densità di probabilità.

ii) Detta X una v.a. con tale densità, trovare una trasformazione Y = g (X) per cui Y sia una v.a. esponenziale di parametro .

iii) Calcolare quindi la funzione generatrice 'X(t), usando il punto prece- dente (o altre strade se non si è risolto tale punto), sottolineando per quali valori di t essa è ben de…nita.

iv) Calcolare P (X2 > 1).

Esercizio 3. Due giocatori giocano nel seguente modo. Uno dei due inizia lanciando due monete equilibrate. Se ottiene due teste, vince la par- tita, e il gioco termina. Se ottiene una testa solamente, tira nuovamente le monete. Se non ottiene alcuna testa, passa le monete all’altro giocatore, che continua il gioco con le stesse regole.

i) Modellizzare questo gioco con una catena di Markov, disegnarne il grafo, scriverne la matrice di transizione e classi…carne gli stati.

ii) Qual è la probabilità che il giocatore che inizia il gioco vinca?

iii) Determinare tutte le distribuzioni stazionarie della catena, usando ra- gionamenti strutturali.

Esercizio 4. Al termine di un corso frequentato da 16 persone, di cui 7 sono femmine, vengono formate 8 squadre da 2 persone ciascuna. Le squadre vengono formate in sequenza, una dopo l’altra, prendendo a caso 2 persone tra quelle disponibili.

i) Si consideri la prima squadra che viene formata. Che probabilità c’è che sia composta tutta da maschi?

ii) Senza ipotizzare ora nulla sulla prima squadra che viene formata, che probabilità c’è che la seconda sia composta da tutti maschi?

1

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1 Soluzioni

Esercizio 1. i)

V ar [S5] = 5 1 = 5 per l’indipendenza.

ii)

P (jS5+ 5j < 4) = 1 P (jS5+ 5j 4) 1 E jS5+ 5j2

16 = 1 5

16 = 0:687 5 iii)

E (X1+ 1)2X2X32 = E (X1+ 1)2 E [X2] E X32

= 1 ( 1) (1 + 1) = 2:

Esercizio 2. i) Dev’essere > 0altrimenti la funzione e quindi l’integrale diverge (a 1). Poi

Z 1 1

Ce xdx = C

e x 1

1= C

e per cui dev’essere C = e .

ii) La v.a. X assume valori in ( 1; 1], quindi X 1 assume valori in ( 1; 0], quindi (X 1) assume valori in [0; 1). Consideriamo allora la funzione g (x) = (x 1)e la v.a. Y = g (X). Vale

P (Y > t) = P ( (X 1) > t) = P (X 1 < t) = P (X < t + 1)

= e

Z 1 t 1

e xdx = e e (1 t) = e t per cui Y è esponenziale di parametro .

iii) Siccome Y = (X 1), vale X = Y + 1, quindi 'X(t) = ' Y +1(t) = et'Y ( t) =

+ tet per t > .

2

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iv)

P X2 > 1 = 1 P ( 1 X 1) = ::: = e 2 :

Esercizio 3. i) Possiamo de…nire la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4g, dove con lo stato 1 (risp. 2) indichiamo il caso in cui il primo (risp. secondo) giocatore deve e¤ettuare il prossimo lancio e con 3 (risp. 4) il caso in cui il primo (risp. secondo) giocatore ha vinto. Le probabilità di transizione si ottengono ricordando che, nel lancio di due monete, la probabilità di uscita di due teste è 1/4, di un testa è 1/2, di nessuna testa è 1/4. La matrice di transizione è la seguente:

P = 0 BB

@

1 2

1 4

1

4 0

1 4

1 2 0 14 0 0 1 0 0 0 0 1

1 CC A :

1 e 2 comunicano fra loro; 1 comunica con 3, ma da 3 si può solo restare in 3; 2 comunica con 4, ma da 4 si può solo restare in 4. di conseguenza f1; 2g è una classe irriducibile di stati (transitori).

1 comunica con 3, ma 3 non comunica con 1, quindi f3g è una classe ir- riducibile di stati (e 1 è transitorio, 3 è assorbente).

2 comunica con 4, ma 4 non comunica con 2, quindi f4g è un’altra classe irriducibile di stati (e 2 è transitorio, 4 è assorbente). 3 e 4 non comunicano fra loro. Quindi E = f1; 2g [ f3g [ f4g.

ii) Bisogna calcolare la probabilità 1 di arrivare nello stato 3 partendo da 1. Per poter svolgere questo calcolo, bisogna considerare l’insieme degli stati transitori. Quindi si ha

1 = p13+ p11 1+ p12 2

2 = p23+ p21 1+ p22 2 da cui

1 = 1 4 +1

2 1+ 1 4 2

2 = 0 + 1

4 1+1 2 2 cioè

2 1 = 1 + 2 2 2 = 1

3

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che ha per soluzione 1 = 23, 2 = 13.

iii) Tutte le distribuzioni invarianti hanno la forma (0; 0; 3; 4)in quanto i primi due stati sono transitori. Allo stato assorbente 3 è associata la misura invariante (0; 0; 1; 0) ed a 4 la (0; 0; 0; 1). Pertanto tutte le distribuzioni in- varianti sono le combinazioni convesse di queste due, ovvero

(0; 0; ; 1 ) con 2 [0; 1].

Esercizio 4. i) Come nel compito precedente,

9 2 16

2

= 0:3

ii) Sia X il numero di maschi nella prima squadra. Sia A l’evento “la seconda è composta da maschi”. Allora

P (A) = P (AjX = 0) P (X = 0) + P (AjX = 1) P (X = 1) + P (AjX = 2) P (X = 2)

=

9 2 14

2 7 2 16

2

+

8 2 14

2 9 1

7 1 16

2

+

7 2 14

2 9 2 16

2

= 0:3:

4

figura

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