Derivate nel senso delle distribuzioni

Metodi Matematici per l’Ingegneria 4. Esercizi su distribuzioni

Derivate nel senso delle distribuzioni

Calcolare f ⁰ e f ⁰⁰ nel senso delle distribuzioni delle seguenti funzioni (pu` o essere utile disegnare un grafico approssimato di f e f ⁰ ove possibile).

1. f (x) = χ _{(−π/2,π/2)} (x) sin x.

2. f (x) = χ ₍₋

2

,π) (x) sin x.

3. f (x) = χ _(−1,1) (x) (x − 1)(x + 4).

4. f (x) = min{−1 + |x|, 0} χ _(0,+∞) (x).

5. f (x) = χ _(−1,1) (x) (x ² − 1) ² . Di questa calcolare anche f ⁰⁰⁰ . 6. f (x) = χ _(0,π) (x) cos x.

7. f (x) = χ _(−1,1) (x) (x − 1)(x ² − 1).

8. f (x) = min{−1 + log(1 + x ² ), 0} χ _(0,+∞) (x).

9. f (x) = max{1 − x ² , 0} χ _(0,1) (x).

10. f (x) = min{−1 + x ⁴ , 0} χ _(0,+∞) (x).

11. f (x) = (x ² − 1) ² χ _(−1,1) (x).

12. f (x) = (x ³ − 3x) χ _(−1,1) (x).

Convergenza nel senso delle distribuzioni

Calcolare il limite di f _h nel senso delle distribuzioni per h → +∞ (H= funzione di Heaviside).

13. f _h (x) = H(x + h) cos ² (hx).

14. f _h (x) = H(x + h)| sin(hx)| + δ _h . 15. f _h (x) = h(δ _1/h − δ _−1/h ) + δ _h . 16. f _h (x) = h ² (δ _1/h

− δ _−1/h

) + hδ _h .

1

17. f h (x) = (H(x − h) − H(2h − x))| cos(hx)|.

18. f _h (x) = h ² δ _h + | cos(h ² x)|.

19. f _h (x) =  

 sin ² (hx) cos(hx)    . 20. f _h (x) =

 sin(hx) cos(hx)    . 21. f h (x) =

 sin(hx) cos

 x h

   . 22. f _h (x) = sin(hx) cos  x

h

 . 23. f _h (x) = cos(hx) sin  x

h

 . 24. f h (x) = h max{1 − h|x|, 0}.

25. f _h (x) = h ² χ _(0,1/h) (x) − h ² χ _(−1/h,0) (x) + sin hx

26. f _h (x) = sin(hx)e ^−x

^/h . Calcolare il limite anche di f _h ²

27. Dire se le seguenti successioni di funzioni convergono per quasi ogni x ∈ R, in L ¹ (R) o nel senso delle distribuzioni:

f n (x) = √

n e ^−nx

, g n (x) = e ^−nx

, h n (x) = e ^−(x−n)

. 28. Per ogni h ∈ N sia f h (x) = min{h|x|, 1}.

(a) Calcolare f _h ⁰ e f _h ⁰⁰ nel senso delle distribuzioni;

(b) Calcolare i limiti di f _h ⁰ e f _h ⁰⁰ nel senso delle distribuzioni per h → +∞.

29. Per ogni h ∈ N sia f h (x) = χ _(−∞,h) (x) cos(2πhx).

(a) Calcolare f _h ⁰ e f _h ⁰⁰ nel senso delle distribuzioni;

(b) Calcolare il limite di f _h ⁰ nel senso delle distribuzioni per h → +∞.

30. Per ogni h ∈ N sia

f h (x) =  max{hx + 1, 0} se x ≤ 0

−1 se x ≥ 0.

(a) Calcolare f _h ⁰ e f _h ⁰⁰ nel senso delle distribuzioni;

(b) Calcolare il limite di f _h ⁰ nel senso delle distribuzioni per h → +∞.

31. Per ogni h ∈ N sia f h (x) = χ _(−∞,h) (x) sin(2πhx).

(a) Calcolare f _h ⁰ e f _h ⁰⁰ nel senso delle distribuzioni;

(b) Calcolare il limite di f _h ⁰ nel senso delle distribuzioni per h → +∞.

32. Verificare che le soluzioni y degli esercizi da 8 a 14 sulle trasformate di Laplace risolvono le relative equazioni differenziali nel senso delle distribuzioni (ovvero, calcolando y ⁰ e y ⁰⁰ nel senso delle distribuzioni le equazioni diventano delle identit` a)

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