Frizione idraulica: modello nello spazio degli stati Si consideri il seguente modello idraulico sempliﬁcato di una frizione:

(1)

1.3. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica 1.3 1

Frizione idraulica: modello nello spazio degli stati

Si consideri il seguente modello idraulico semplificato di una frizione:

P Pressione di alimentazione

Q Portata volumetrica nella valvola Kv Costante di prop. della valvola Cm Capacit`a idraulica del cilindro P1 Pressione all’interno del cilindro A Sezione del pistone

xm Schiacciamento della molla a tazza x Posizione del pistone

˙x Velocit`a del pistone mp Massa del pistone

b Attrito lineare del pistone Km Rigidit`a della molla

Fm Forza della molla sul pistone

˙xd Velocit`a di spostamento dei dischi frizione

Valvola (Kv) m_p

b, A

Km

P

1 2

3 4

5 6

R = 0 x

P1

Cm

Q_x

Q

Il corrispondente modello dinamico POG `e il seguente:

P

Q ^-

K_v

?

? -

1

Valvola

-

6

1 s

6

1 Cm

6

P1

-

2

Cilindro

V

A

Q_x

- A ^-F_x

3

-

1?

s

1?

mp

˙x?

-

4

Pistone p

6

b

6

F_b

- -

Attrito

-

6

1 s

6

Km

6

F_m

-

5

Molla a tazza xm

˙xd

6

Le sezioni indicate a tratteggio nello schema POG rappresentano delle sezioni

“reali” del sistema fisico attraverso le quali fluisce una potenza il cui valore `e pari al prodotto delle variabili che caratterizzano la sezione tratteggiata dello schema a blocchi.

Zanasi Roberto - Sistemi di Controllo Veicolo - 2002/03 1. MODELLISTICA

(2)

Descrizione del sistema nello spazio degli stati

• Le equazioni che caratterizzano il sistema sono le seguenti:⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

Q = Kv(P − P1) C_m ˙P1 = Q − Qx

mp¨x = Fx − Fb − Fm

F_b = b ˙x

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

Fm = Kmxm

F_x = A P1

Qx = A ˙x

˙xm = ˙x − ˙xd

Quando le equazioni vengono scritte in modo “non organizzato” non `e facile capire qual `e l’ordine dinamico del sistema e se sono state scritte tutte le equazioni necessarie per la completa definizione del sistema.

• Se il sistema `e lineare, uno dei modi migliori per passare dallo schema a blocchi POG al corrispondente modello dinamico nello spazio degli stati `e quello di prendere come variabili di stato le variabili di potenza che caratterizzano le uscite degli elementi dinamici presenti all’interno del sistema. Nel caso in esame il vettore di stato x e il vettore degli ingressi u sono i seguenti:

x =

P1 ˙x Fm

T

, u =

P ˙xd

T

• `E inoltre opportuno che le variabili di stato siano ordinate all’interno del vettore x secondo l’ordine con cui si susseguono gli elementi dinamici all’interno dello schema POG.

• Siccome il sistema `e lineare, il vettore x delle variabili di potenza `e legato al vettore q delle variabili energia da equazioni costitutive che sono lineari:

q =

⎡

⎣ V p xm

⎤

⎦ =

⎡

⎣ CmP1

mp˙x

1 K_mFm

⎤

⎦ =

⎡

⎣ Cm 0 0 0 mp 0 0 0 _K¹_m

⎤

⎦

⎡

⎣ P1

˙x Fm

⎤

⎦ = L x

• La matrice diagonale L, denominata matrice energia, `e caratterizzata solo dai coeﬃcienti energia delle equazioni costitutive degli elementi fisici.

• L’energia Ea accumulata nel sistema `e una funzione quadratica definita positiva della sola matrice energia L e del vettore di stato x:

Ea = 1

2 ˙x L x

(3)

• Le equazioni dinamiche del sistema fisico si ottengono semplicemente scri- vendo L ˙x = ˙q, dove ˙q sono le variabili presenti all’ingresso degli integratori espresse come combinazione lineare del vettore di stato x e del vettore di ingresso u: ˙q = A x + B u. Nel caso in esame si ha che:

⎡

⎣C_m 0 0 0 mp 0 0 0 _K¹_m

⎤

⎦

L

⎡

⎣ ˙P1

˙F¨x_m

⎤

⎦

˙x

=

⎡

⎣−Kv −A 0 A −b −1

0 1 0

⎤

⎦

A

⎡

⎣P1

˙x Fm

⎤

⎦

x +

⎡

⎣Kv 0

0 0

0 −1

⎤

⎦

B

P

˙xd

u Scritto in forma vettoriale, il sistema assume la forma:

L ˙x = A x + B u

• Si noti che procedendo in questo modo la matrice A assume una forma particolare: riscrivendo la matrice A come somma della sua parte simmetrica As = (A + A^T)/2 e della sua parte emisimmetrica Aw = (A − A^T)/2:

A =

⎡

⎣ −Kv −A 0

A −b −1

0 1 0

⎤

⎦ =

⎡

⎣ −Kv 0 0

0 −b 0

0 0 0

⎤

⎦

As

+

⎡

⎣ 0 −A 0

A 0 −1

0 1 0

⎤

⎦

Aw

= As + Aw

ci si accorge che:

1) la matrice simmetrica As `e funzione dei soli parametri statici del sistema:

Kv e b. La potenza Pd dissipata nel sistema `e una funzione quadratica della sola matrice As e del vettore di stato x:

P_d = x^T As x

2) la matrice emisimmetrica Aw `e funzione soltanto dai parametri di “colle- gamento” tra i vari elementi dinamici del sistema: blocco di connessione A e sezione 5. La matrice A_w rappresenta una ridistribuzione dell’energia all’interno del sistema, infatti la forma quadratica basata sulla matrice Aw

`e sempre nulla:

0 = x^T Awx

(4)

• Il calcolo del vettore ˙q = A x + B u, e quindi delle matrici A e B, risulta particolarmente agevole se dallo schema POG originario si tolgono gli elementi dinamici lasciando in evidenza le variabili di potenza e gli ingressi ˙qi dei vari integratori:

P

Q ^-

Kv

?

- -

6

˙q1

P1

6

- A Qx

- A ^-Fx_-

˙q?2

˙x

?

-

6

b

6

Fb

- -

-

6

˙q3

Fm

6

- ˙xd

L ˙x = ˙q =

⎡

⎣˙q1

˙q3

⎤

⎦ =

⎡

⎣−Kv −A 0 A −b −1

0 1 0

⎤

⎦

A

⎡

⎣P1

˙x Fm

⎤

⎦

x +

⎡

⎣K_v 0

0 0

0 −1

⎤

⎦

B

P

˙xd

u

• Moltiplicando a sinistra questa equazione per la matrice L⁻¹‘si porta il sistema nella forma “classica” utilizzata nell’analisi dei sistemi dinamici:

˙x = L ⁻¹A

A

x + L ⁻¹B

B

u ⇔ ˙x = A x + B u

• In questo casi la variabile di uscita di interesse, y = Fm, coincide con la terza componente del vettore di stato:

y = Fm =

0 0 1 ⎡

⎣P1

˙x F_m

⎤

⎦ = C x

• Si noti che se si opera la trasformazione q = L x (cio`e x = L⁻¹q) nello spazio degli stati, il sistema in oggetto pu`o essere descritto in modo equivalente nel seguente utilizzando le variabili energia q:

˙q = A L⁻¹q + B u

• Sarebbe la forma più appropriata, ma l’uso delle variabili energia q come variabili di stato non è la più frequente.