INGEGNERIA PER L’AMBIENTE E IL TERRITORIO 02-03-2011
prova scritta di Geometria
ICognome. . . Nome. . . Matricola . . . .
Griglia di valutazione
Esercizio 1 2 3 4 5 Totale
Punteggio
UTEMPO A DISPOSIZIONE:2 ore
1 . Calcolare la matrice inversa di
A =
⎛
⎝ 2 0 −1/2
0 4 1
3 0 −1
⎞
⎠
punti4
2 . Dati i vettori di V3
−
→v1 = (−1, 2k − 1, 1), −→v2 = (k, 2, k), −→v3 = (k + 1, k − 1, k), a) stabilire per quali valori reali di k sono linearmente dipendenti;
b) determinare la dimensione dello spazio vettoriale generato dai tre vettori al variare dik.
punti4
3 . Discutere, senza risolvere, il sistema lineare
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
kx − 2y + kz = − k 17 (k + 12)x + y + 3z = 0
4x + 2y + z = 1 punti10
4 . Calcolare la distanza tra la retta
r : 2x − 5y − 4z + 15 = 0, x − 2z = 0 e la retta
s : 6x − 4y + 3z − 3 = 0, 2x + z − 1 = 0.
punti8
5 . Definire i concetti di indipendenza lineare e di sistema di generatori per un generico spazio vettoriale V finitamente generato. Dare un esempio di sistema di generatori (che non sia una base) nel caso in cuiV = R3 e nel caso in cuiV = R3[x].
punti8
