Sugg. Fare un opportuno cambio di variabile v(x) = ...

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 11/09/2012 Esercizio 1 Determinare tutte le soluzioni (formula e intervallo massi- male di esistenza) del problema

½ y ⁰⁰ = 6x(y ⁰ + 3x)

− 3 y ⁰ (0) = 1.

Sugg. Fare un opportuno cambio di variabile v(x) = ...

Soluzione. Prima di tutto notiamo che, in x = 0, si ha y ⁰ (x) 6= −3x e che per continit`a questo deve valere in tutto un intorno di x = 0; quindi, se del caso, possiamo dividere per y ⁰ + 3x.

Ponendo v(x) = y ⁰ (x) + 3x, l’equazione diventa v ⁰ = 6xv

,

che `e un’equazione alle variabili separabili (ricordare v 6= 0), ma pu`o essere vista anche come equazione di Bernoulli, ed ha come integrale generale

v(x) = (x ² + k) ³ , k ∈ R, e quindi

y ⁰ (x) = (x ² + k) ³ − 3x.

La condizione inziale d`a k = 1 da cui, integrando y(x) = x ⁷

7 + 3

5 x ⁵ + x ³ − 3

2 x ² + x + k, k ∈ R.

Intervallo massimale di esistenza di tali soluzioni `e tutto R in quanto l’unico eventuale problema per l’equazione sarebbe y ⁰ (x) + 3x = 0, ma questo non accade mai perch´e y ⁰ (x) − 3x = (x ² + 1) ³ > 0.

Esercizio 2 Sia a ∈ R e si consideri il sistema autonomo

½ x ⁰ = y y ⁰ = a

i) Per a = −1, a = 0 e a = 1, rispettivamente, determinare gli eventuali punti di equilbrio e disegnare un grafico qualitativo delle orbite, con il loro verso di percorrenza. Discutere la stabilit`a dei punti di equilibrio.

1

ii) Nel caso a = 1, determinare tutti i punti per i quali, seguendo nel verso di percorrenza l’orbita per essi passante, si arriva all’origine.

iii) Determinare un eventuale a ∈ R in modo tale che, con riferimento al corrispondente sistema, l’orbita passante per (1, 1), quando seguita nel suo verso di percorrenza, porta all’origine.

Soluzione. Per ogni a, un integrale primo `e E(x, y) = −ax + y ²

2 . i)

a = 1. Non ci sono punti di equilibrio. Le orbite sono parabole con asse orizzontale coincidente con l‘asse x e rivolte nel senso delle x crescenti, di equazioni x = y ² /2 + c, e percorse in senso orario.

a = 0. I punti di equilibrio sono tutti e soli i punti dell’asse delle x. Le traiettorie sono rette orizzontali percorse nel senso crescente delle x se y > 0, in senso opposto altrimenti. Tutti i punti di equilibrio sono instabili.

a = 1. Non ci sono punti di equilibrio. Le orbite sono parabole con asse orizzontale coincidente con l‘asse x e rivolte nel senso delle x decrescenti, di equazioni x = −y ² /2 + c, e percorse in senso antiorario.

ii) Sono i punti della parabola di equazione x = y ² /2 tali che y ≤ 0.

iii) Poich´e l’integrale primo `e costante lungo le traiettorie, deve essere E(0, 0) = 0 = E(1, 1) = −a + 1

2 ,

e quindi a = 1/2. Quindi la traiettoria da percorrere dovrebbe essere un ramo della parabola di equazione x = y ² . D’altro canto, essendo a = 1/2 > 0, tale orbita `e percorsa in senso orario (le y devono crescere) e quindi non c’`e possibilit`a di arrivare all’origine partendo da (1, 1). Quindi un a come richiesto, non esiste.

2