Corso di Laurea in Informatica - 15 giugno 2010 - Tema I Analisi Matematica complementi (6 cfu)
1) Stabilire il carattere delle seguenti serie
a) X∞ n=1
(n!)2
3 n2n; b) X∞ n=3
(−1)n
log(2n2− 1); c) X∞ n=4
n + sin(3n!) log(n6− 5) + 3n − 2e−n 2) Determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze, e calcolarne
la somma ∞
X
n=0
(−1)n(3x − 1)2n+1 (2n + 1)!
3-a) Determinare i punti stazionari e gli estremi della seguente funzione f (x, y) = x4+ y4− 4x3+ 4xy2+ 5
3-b) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto (1, 1, f (1, 1));
3-c) calcolare le derivate direzionali nel punto (1, 1) nella direzione della retta y + x + 2 = 0.
4) Siano A e B le seguenti regioni del piano A =©
(x, y) ∈ R2| x2+ y2 ≤ 4ª
, B =©
(x, y) ∈ R2| x ≥ yª . Disegnare A, B e A ∩ B , e calcolare i seguenti integrali
a) Z
A
x cos(e
√x2+y2) dx dy, b) Z
A∩B
e
√x2+y2 dx dy
Corso di Laurea in Informatica - 15 giugno 2010 - Tema II Analisi Matematica complementi (6 cfu)
1) Stabilire il carattere delle seguenti serie
a) X∞ n=1
(n!)3
2 n3n; b) X∞ n=3
(−1)n+1
log(n3− 4); c) X∞ n=2
2e−n− n
log(n4− 1) + 5n + sin(4n!) 2) Determinare centro e raggio di convergenza della serie di potenze, e calcolarne la somma ∞
X
n=0
(−1)n(4x − 1)2n+1 (2n + 1)!
3-a) Determinare i punti stazionari e gli estremi della seguente funzione f (x, y) = 4y3− 4x2y − 7 − y4− x4
3-b) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto (1, 1, f (1, 1));
3-c) calcolare le derivate direzionali nel punto (1, 1) nella direzione della retta y − x + 2 = 0.
4) Siano A e B le seguenti regioni del piano A =©
(x, y) ∈ R2| x2+ y2 ≤ 16ª
, B =©
(x, y) ∈ R2| x ≥ −yª . Disegnare A, B e A ∩ B , e calcolare i seguenti integrali
a) Z
A
y sin(e
√x2+y2) dx dy, b) Z
A∩B
e
√x2+y2 dx dy
2
