UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE unit`a 2 Prof. Marco Degiovanni Anno Accademico 2006/2007

Facolt` a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE unit` a 2

Prof. Marco Degiovanni

Anno Accademico 2006/2007

1 Spazi di Sobolev 5

1 Alcuni complementi sugli spazi L

. . . . 5

2 Prime propriet` a degli spazi di Sobolev . . . . 9

3 Teoremi di immersione . . . . 30

4 Teoremi di compattezza . . . . 41

2 Equazioni ellittiche in forma di divergenza 47 1 Formulazione debole . . . . 47

2 L’alternativa di Fredholm . . . . 51

3 Il principio del massimo debole . . . . 54

4 Regolarit` a delle soluzioni deboli . . . . 62

Elenco dei simboli 69

Indice analitico 70

3

Spazi di Sobolev

1 Alcuni complementi sugli spazi L

Nel seguito, per ogni p ∈ [1, ∞], la norma canonica di L

verr` a denotata con k k

, mentre il prodotto scalare canonico di L

verr` a denotato con ( | )

.

(1.1) Teorema Sia E un sottoinsieme L

−misurabile di R

e sia 1 < p ≤ ∞.

Allora per ogni successione (u

) limitata in L

(E) esistono u ∈ L

(E) ed una sottosuccessione (u

) tali che

∀f ∈ L

(E) : lim

k

Z

E

f u

dL

= Z

E

f u dL

, kuk

≤ lim inf

h

ku

k

.

Dimostrazione. Trattiamo soltanto il caso p = 2. A meno di passare ad una prima sottosuccessione che denotiamo ancora con (u

), possiamo supporre che esista

lim

ku

k

= lim inf

h

ku

k

.

Sia {f

: j ∈ N} un sottoinsieme numerabile denso in L

(E). Poich´ e 

   Z

E

u

f

dL

≤ ku

k

kf

k

, si ha che

Z

E

u

f

dL



` e una successione limitata in R. Sia ν

: N → N strettamente crescente tale che

Z

E

u

f

dL



sia convergente in R.

5

Poich´ e

    Z

E

u

f

dL

≤ ku

k

kf

k

, si ha che anche

Z

E

u

f

dL



` e una successione limitata in R. Sia η : N → N strettamente crescente tale che

Z

E

u

f

dL



sia convergente in R. Allora, posto ν

= ν

◦ η, si ha che ν

: N → N `e strettamente crescente ed (u

) ` e una sottosuccessione di (u

). Procedendo ricorsivamente, si costruisce una successione (ν

) di funzioni strettamente crescenti da N in N tali che

Z

E

u

f

dL



h∈N

sia convergente in R e tali che (u

) sia una sottosuccessione di (u

). Se poniamo ν(h) = ν

(h), risulta che ν : N → N `e strettamente crescente e, per ogni j ∈ N, risulta

∀h ≥ j : ν(h) = ν

(η

(h)) per una certa η

: N → N strettamente crescente. Ne segue che

Z

E

u

f

dL



` e convergente in R per ogni j ∈ N.

Se f ∈ L

(E) ed ε > 0, sia f

tale che

 sup

h

ku

k



kf − f

k

< ε 4 . Sia poi h ∈ N tale che

    Z

E

u

− u

f

dL

< ε 2 per ogni h, k ≥ h. Allora per ogni h, k ≥ h risulta

    Z

E

u

− u

f dL

≤     Z

E

u

− u

f

dL

+ +

    Z

E

u

− u

(f − f

) dL

≤

≤     Z

E

u

− u

f

dL

+ +

u

− u

kf − f

k

≤

≤     Z

E

u

− u

f

dL

+ +

 u

+ u



kf − f

k

< ε ,

per cui

Z

E

u

f dL



` e di Cauchy, quindi convergente in R.

Se definiamo ϕ

∈ L

(E)

ponendo

∀f ∈ L

(E) : hϕ

, f i = Z

E

f u

dL

,

si ha che (hϕ

, f i) ` e convergente in R per ogni f ∈ L

(E). Da un corollario del Teorema di Banach-Steinhaus segue che esiste ϕ ∈ L

(E)

tale che

∀f ∈ L

(E) : lim

h

hϕ

, f i = hϕ, f i . Dal Teorema di F. Riesz segue che esiste u ∈ L

(E) tale che

∀f ∈ L

(E) : hϕ, f i = Z

E

f u dL

. Pertanto risulta

∀f ∈ L

(E) : lim

h

Z

E

f u

dL

= Z

E

f u dL

. Inoltre per ogni f ∈ L

(E) con kf k

≤ 1 si ha

|hϕ, f i| = lim

h

|hϕ

, f i| ≤ lim

h

kϕ

kkf k

≤ lim

h

kϕ

k . Ne segue

kϕk ≤ lim

h

kϕ

k , ossia

kuk

≤ lim

h

ku

k

= lim inf

h

ku

k

e la dimostrazione ` e completa.

(1.2) Teorema Sia E un sottoinsieme L

−misurabile di R

e siano p ∈]1, ∞], q ∈ [1, p[, r ∈ [1, ∞[ tali che

1 r + 1

p = 1 q .

Sia a ∈ L

(E) e sia (u

) una successione limitata in L

(E) e convergente L

−q.o. ad u.

Allora u ∈ L

(E) e risulta

lim

kau

− auk

= 0 .

Dimostrazione. Il caso p = ∞, quindi r = q, pu` o essere trattato facilmente con il Teorema della convergenza dominata.

Sia 1 < p < ∞. Per il Lemma di Fatou, risulta Z

E

|u|

dL

≤ lim inf

h

Z

E

|u

|

dL

< +∞ ,

da cui u ∈ L

(E). Inoltre dalla Disuguaglianza di H¨ older segue che au

, au ∈ L

(E).

D’altronde, per ogni ε > 0, si ha

|au

− au|

≤ 2

|au

|

+ 2

|au|

=

= 2

|ε

a ε u

|

+ 2

|au|

≤

≤ 2

q

r ε

|a|

+ 2

q

p ε

|u

|

+ 2

|au|

. Applicando il Lemma di Fatou alla successione

2

q

r ε

|a|

+ 2

q

p ε

|u

|

+ 2

|au|

− |au

− au|

, si ottiene

2

q r ε

Z

E

|a|

dx + 2

q p ε

Z

E

|u

|

dx + 2

Z

E

|au|

dx ≤

≤ lim inf

h

Z

E

 2

q

r ε

|a|

+ 2

q

p ε

|u

|

+ 2

|au|

− |au

− au|

 dx ≤

≤ Z

E

h 2

q

r ε

|a|

+ 2

|au|

i

dx + 2

q

p ε

sup

h∈N

Z

E

|u

|

dx+

− lim sup

h

Z

E

|au

− au|

dx , da cui

lim sup

h

Z

E

|au

− au|

dx ≤ 2

q p ε

 sup

h∈N

Z

E

|u

|

dx

 . Per l’arbitrariet` a di ε, si conclude che

lim

Z

E

|au

− au|

dx = 0 , da cui la tesi.

(1.3) Corollario Sia E un sottoinsieme L

−misurabile di R

con L

(E) < +∞, sia p ∈]1, ∞] e sia (u

) una successione limitata in L

(E) e convergente L

−q.o. ad u.

Allora u ∈ L

(E) e ku

− uk

→ 0 per ogni q ∈ [1, p[.

Dimostrazione. Si tratta del caso particolare del Teorema (1.2) in cui a(x) = 1.

Chiaramente esiste r ∈ [1, ∞[ tale che 1 r + 1

p = 1 q e risulta a ∈ L

(E), perch´ e L

(E) < +∞.

2 Prime propriet` a degli spazi di Sobolev

Nel seguito di questo capitolo, Ω denoter` a un aperto in R

.

(2.1) Definizione Denotiamo con W

(Ω) l’insieme delle u ∈ L

(Ω) per cui esistono w

, . . . , w

∈ L

(Ω) tali che

∀j = 1, . . . , n, ∀f ∈ C

(Ω) : − Z

Ω

D

f u dL

= Z

Ω

f w

dL

.

Per ogni u ∈ C

(Ω) si ha (col solito abuso di notazione) u ∈ L

(Ω) e D

u ∈ L

(Ω).

Dalla formula di Gauss-Green si deduce che u ∈ W

(Ω) con w

= D

u. Risulta quindi C

(Ω) ⊆ W

(Ω) ⊆ L

(Ω) .

Se u ∈ W

(Ω) e ˆ w

, . . . , ˆ w

, ˜ w

, . . . , ˜ w

∈ L

(Ω) sono tali che

∀f ∈ C

(Ω) : − Z

Ω

D

f u dL

= Z

Ω

f ˆ w

dL

,

∀f ∈ C

(Ω) : − Z

Ω

D

f u dL

= Z

Ω

f ˜ w

dL

, risulta

∀f ∈ C

(Ω) : Z

Ω

f ( ˆ w

− ˜ w

) dL

= 0 . Ne segue ˆ w

(x) = ˜ w

(x) per L

−q.o. x ∈ Ω, ossia ˆ w

= ˜ w

in L

(Ω).

Le funzioni w

sono quindi univocamente determinate come elementi di L

(Ω).

Esse si denotano col simbolo D

u e si chiamano derivate parziali di u nel senso delle distribuzioni. Se u ∈ C

(Ω), la notazione introdotta ` e consistente con quella classica.

(2.2) Teorema Sia (%

) una successione regolarizzante in C

(R

) e sia u ∈ W

(R

).

Allora per ogni j = 1, . . . , n si ha

D

(R

u) = R

(D

u) .

Dimostrazione. Per definizione di derivata distribuzionale, risulta D

(R

u) (x) =

Z

u(y) (D

%

) (x − y) dL

(y) = − Z

u(y)D

(%

(x − y)) dL

(y) =

= Z

D

u(y)%

(x − y) dL

(y) = R

(D

u)(x) , da cui la tesi.

(2.3) Definizione Per ogni p ∈ [1, ∞] poniamo W

(Ω) := n

u ∈ W

(Ω) : u, D

u, . . . , D

u ∈ L

(Ω) o . Pi` u in generale, poniamo W

(Ω; R

) :=



W

(Ω)



.

Si verifica facilmente che W

(Ω) ` e un sottospazio vettoriale di L

(Ω) e che per ogni j = 1, . . . , n l’applicazione

W

(Ω) → L

(Ω) u 7−→ D

u

`

e lineare. Inoltre 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ implica W

(Ω) ⊆ W

(Ω).

(2.4) Lemma Sia u ∈ W

(Ω) tale che u ∈ L

(Ω), D

u ∈ L

(Ω), . . . , D

u ∈ L

(Ω) con p

, . . . , p

∈ [1, ∞[.

Allora per ogni compatto K ⊆ Ω, per ogni ε > 0 e per ogni r > 0 tale che {x ∈ R

: d(x, K) ≤ r} ⊆ Ω

esiste v ∈ C

(Ω) tale che

kv − uk

< ε ,

∀j = 1, . . . , n : kD

v − D

uk

< ε ,

∀x ∈ K : |v(x)| ≤ ess sup

B(x,r)

|u| ,

∀j = 1, . . . , n, ∀x ∈ K : |D

v(x)| ≤ ess sup

B(x,r)

|D

u| .

Dimostrazione. Sia

K

= {x ∈ R

: d(x, K) ≤ r} , sia ψ ∈ C

(Ω) tale che ψ(x) = 1 su K

e siano

w

(x) =

( ψ(x)u(x) se x ∈ Ω ,

0 se x ∈ R

\ Ω ,

w

(x) =

( ψ(x)D

u(x) se x ∈ Ω , 0 se x ∈ R

\ Ω . Sia h ≥ 1 tale che 1/h < r e



x ∈ R

: d(x, supt(ψ)) ≤ 1 h



⊆ Ω ,

sia (%

) una successione regolarizzante in C

(R

) e sia u

= R

w

. Come ` e noto, si ha u

∈ C

(Ω) e

∀x ∈ K : |u

(x)| ≤ ess sup

B(x,r)

|u| . Infine, dal momento che w

∈ L

(R

), risulta

lim

u

= w

in L

(R

). Ne segue

lim

u

= u in L

(K), quindi

ku

− uk

< ε per h sufficientemente grande.

D’altronde per ogni x ∈ K risulta D

u

(x) =

Z

Ω

ψ(y)u(y)(D

%

)(x − y) dL

(y) = − Z

Ω

u(y)D

{%

(x − y)} dL

(y) =

= Z

Ω

D

u(y)%

(x − y) dL

(y) = Z

w

(y)%

(x − y) dL

(y) . Allora con analogo ragionamento si dimostra che

∀x ∈ K : |D

u

(x)| ≤ ess sup

B(x,r)

|D

u| ,

kD

u

− D

uk

< ε per h sufficientemente grande.

Ponendo v = u

con h abbastanza grande, si ottiene la tesi.

Possiamo ora dimostrare il principale risultato di approssimazione.

(2.5) Teorema Sia u ∈ W

(Ω) tale che u ∈ L

(Ω), D

u ∈ L

(Ω), . . . , D

u ∈ L

(Ω)

con p

, . . . , p

∈ [1, ∞].

Allora esistono w

∈ L

(Ω) per 0 ≤ j ≤ n ed una successione (u

) in C

(Ω) tali che per L

−q.o. x ∈ Ω si abbia

|u

(x)| ≤ w

(x) ,

∀j = 1, . . . , n : |D

u

(x)| ≤ w

(x) , lim

u

(x) = u(x) ,

∀j = 1, . . . , n : lim

h

D

u

(x) = D

u(x) .

Dimostrazione. Sia (K

) una successione esaustiva di compatti in Ω e sia (r

) una successione decrescente in ]0, ∞[ con

{x ∈ R

: d(x, K

) ≤ r

} ⊆ K

.

Consideriamo anzitutto il caso in cui p

∈ [1, ∞[ per ogni j = 0, . . . , n. Per il lemma precedente esiste una successione (u

) in C

(Ω) tale che

ku

− uk

h)

< 2

, kD

u

− D

uk

< 2

,

∀x ∈ K

: |u

(x)| ≤ ess sup

B(x,rh)

|u| ,

∀x ∈ K

: |D

u

(x)| ≤ ess sup

B(x,rh)

|D

u| . Poniamo

w

(x) = sup

h

|u

(x)| ,

∀j = 1, . . . , n : w

(x) = sup

h

|D

u

(x)| .

Ovviamente risulta |u

(x)| ≤ w

(x) e |D

u

(x)| ≤ w

(x) per ogni x ∈ Ω.

Inoltre per ogni i ∈ N si ha

∞

X

h=0

ku

− uk

≤

i−1

X

h=0

ku

− uk

+

∞

X

h=i

ku

− uk

h)

<

<

i−1

X

h=0

ku

− uk

+

∞

X

h=i

2

< +∞ .

Ne segue che lim

h

u

(x) = u(x) per L

−q.o. x ∈ K

e che esiste v

∈ L

(K

) tale che

|u

(x)| ≤ v

(x) per L

−q.o. x ∈ K

. Essendo Ω unione numerabile dei K

, risulta

lim

u

(x) = u(x) per L

−q.o. x ∈ Ω. Inoltre per ogni compatto K ⊆ Ω esiste m ∈ N tale che K ⊆ K

. Ne segue

Z

K

w

dL

≤ Z

Km

w

dL

≤ Z

Km

v

dL

< +∞ ,

per cui w

(x) < +∞ per L

−q.o. x ∈ Ω e, identificando w

con la sua classe di equivalenza, w

∈ L

(Ω).

In modo simile si prova che lim

h

D

u

(x) = D

u(x) per L

−q.o. x ∈ Ω e che w

∈ L

(Ω).

Consideriamo ora il caso p

= ∞ e p

, . . . , p

∈ [1, ∞[. Poich´ e L

(Ω) ⊆ L

(Ω), esiste una successione (u

) in C

(Ω) tale che

ku

− uk

< 2

kD

u

− D

uk

< 2

,

∀x ∈ K

: |u

(x)| ≤ ess sup

B(x,rh)

|u| ,

∀x ∈ K

: |D

u

(x)| ≤ ess sup

B(x,rh)

|D

u| .

Definite come in precedenza w

, w

, . . . , w

, si ha w

∈ L

(Ω) per 1 ≤ j ≤ n e per L

−q.o. x ∈ Ω risulta

lim

u

(x) = u(x) , lim

D

u

(x) = D

u(x) .

Inoltre per ogni compatto K ⊆ Ω esiste m ∈ N tale che K ⊆ K

. Tenuto conto della scelta di r

, risulta

∀h ≥ m : max

K

|u

| ≤ ess sup

Km+1

|u| , quindi

ess sup

K

w

≤ max (

max

|u

|, . . . , max

K

|u

|, ess sup

Km+1

|u|

) . Pertanto w

∈ L

(Ω).

Gli altri casi possono essere trattati in modo simile.

(2.6) Proposizione Esiste una funzione ϑ : R

→ [0, 1] di classe C

tale che ϑ(x) = 1

se |x| ≤ 1 e ϑ(x) = 0 se |x| ≥ 2.

Dimostrazione. Sia % ∈ C

(] − 1, 1[) tale che %(s) ≥ 0 per ogni s ∈ R e tale che R % dL

= 1. Definiamo ϕ : R → R di classe C

ponendo

ϕ(s) = Z

−3

[%(t + 2) − %(t − 2)] dL

(t) .

Allora risulta 0 ≤ ϕ(s) ≤ 1 per ogni s ∈ R, ϕ(s) = 1 se |s| ≤ 1 e ϕ(s) = 0 se |s| ≥ 3. Se si pone ϑ(x) = ϕ(|x|

), si verifica facilmente ϑ possiede i requisiti richiesti.

Dimostriamo ora un primo risultato sulla derivazione di una composizione.

(2.7) Teorema Sia u ∈ W

(Ω; R

) e sia g : R

→ R una funzione di classe C

. Supponiamo che si abbia g(u) ∈ L

(Ω) e ∇g(u) · D

u ∈ L

(Ω) per ogni j = 1, . . . , n.

Allora risulta g(u) ∈ W

(Ω) e D

(g(u)) = ∇g(u) · D

u per ogni j = 1, . . . , n.

Dimostrazione. Trattiamo per semplicit` a solo il caso N = 1. Dalla continuit` a di g e g

si deduce che g(u) e g

(u) sono L

−misurabili.

I) Consideriamo anzitutto il caso in cui g

` e limitata.

Sia c ≥ 0 tale che |g

(s)| ≤ c e |g(s)| ≤ c(1 + |s|). Ne segue |g(u(x))| ≤ c(1 + |u(x)|),

|g

(u(x))D

u(x)| ≤ c|D

u(x)|, per cui in questo caso ` e superfluo richiedere esplicitamente che g(u) ∈ L

(Ω) e g

(u)D

u ∈ L

(Ω).

Dobbiamo provare che

∀f ∈ C

(Ω) : − Z

Ω

D

f (x)g(u(x)) dL

(x) = Z

Ω

f (x)g

(u(x))D

u(x) dL

(x) . Sia f ∈ C

(Ω) e siano (u

) una successione in C

(Ω) e w

∈ L

(Ω) conformi al Teorema (2.5). Poich´ e u

∈ C

(Ω), dalla formula di Gauss-Green si deduce che

− Z

Ω

D

f (x)g(u

(x)) dL

(x) = Z

Ω

f (x)g

(u

(x))D

u

(x) dL

(x) . Tenendo presente che per L

−q.o. x ∈ Ω si ha

lim

D

f (x)g(u

(x)) = D

f (x)g(u(x)) ,

|D

f (x)g(u

(x))| ≤ c |D

f (x)|(1 + w

(x)) , dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

D

f (x)g(u

(x)) dL

(x) = Z

Ω

D

f (x)g(u(x)) dL

(x) . D’altronde per L

−q.o. x ∈ Ω si ha

lim

f (x)g

(u

(x))D

u

(x) = f (x)g

(u(x))D

u(x) ,

|f (x)g

(u

(x))D

u

(x)| ≤ c |f (x)|w

(x) . Sempre dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

f (x)g

(u

(x))D

u

(x) dL

(x) = Z

Ω

f (x)g

(u(x))D

u(x) dL

(x) , da cui l’affermazione.

II) Consideriamo ora il caso in cui g ` e limitata e poniamo c = sup |g|. Poich´ e |g(u(x))| ≤ c, in questo caso ` e superfluo richiedere esplicitamente che g(u) ∈ L

(Ω).

Sia ϑ : R → [0, 1] di classe C

tale che ϑ(s) = 1 per |s| ≤ 1 e ϑ(s) = 0 per |s| ≥ 2.

Definiamo g

: R → R ponendo g

(s) = ϑ(s/h)g(s). Allora g

∈ C

(R). In particolare, g

` e limitata, per cui

∀f ∈ C

(Ω) : − Z

Ω

D

f (x)ϑ  u(x) h



g(u(x)) dL

(x) =

= Z

Ω

f (x)ϑ  u(x) h



g

(u(x))D

u(x) dL

(x)+

+ 1 h

Z

Ω

f (x)g(u(x))ϑ

 u(x) h



D

u(x) dL

(x) . Tenendo presente che per L

−q.o. x ∈ Ω si ha

lim

D

f (x)ϑ  u(x) h



g(u(x)) = D

f (x)g(u(x)) , 

D

f (x)ϑ  u(x) h



g(u(x))    

≤ c |D

f (x)| , dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

D

f (x)ϑ  u(x) h



g(u(x)) dL

(x) = Z

Ω

D

f (x)g(u(x)) dL

(x) . D’altronde per L

−q.o. x ∈ Ω si ha

lim

h

f (x)ϑ  u(x) h



g

(u(x))D

u(x) = f (x)g

(u(x))D

u(x) , 

f (x)ϑ  u(x) h



g

(u(x))D

u(x)    

≤ |f (x)| |g

(u(x))D

u(x)| . Sempre dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

f (x)ϑ  u(x) h



g

(u(x))D

u(x) dL

(x) = Z

Ω

f (x)g

(u(x))D

u(x) dL

(x) . Infine risulta

    Z

Ω

f (x)g(u(x))ϑ

 u(x) h



D

u(x) dL

(x)    

≤ c kϑ

k

Z

Ω

|f (x)D

u(x)| dL

(x) ,

per cui

lim

1 h

Z

Ω

f (x)g(u(x))ϑ

 u(x) h



D

u(x) dL

(x) = 0 . Ne segue l’affermazione.

III) Consideriamo infine il caso generale.

Definiamo T

: R → R ponendo T

(s) = ϑ(s/h)s. Allora T

` e di classe C

, limitata con T

(s) = s per |s| ≤ h e |T

(s)| ≤ |s| per ogni s ∈ R. Inoltre

T

(s) = ϑ

 s h

 + ϑ

 s h

 s h , per cui |T

(s)| ≤ 1 + 2kϑ

k

per ogni s ∈ R.

Definiamo g

: R → R ponendo g

(s) = T

(g(s)). Allora g

` e di classe C

e limitata con

g

(u)D

u = T

(g(u))g

(u)D

u ∈ L

(Ω) . Dal passo precedente, si deduce che

∀f ∈ C

(Ω) : − Z

Ω

D

f (x)T

(g(u(x))) dL

(x) =

= Z

Ω

f (x)T

(g(u(x)))g

(u(x))D

u(x) dL

(x) . Tenendo presente che per L

−q.o. x ∈ Ω si ha

lim

D

f (x)T

(g(u(x))) = D

f (x)g(u(x)) ,

|D

f (x)T

(g(u(x)))| ≤ |D

f (x)||g(u(x))| , dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

D

f (x)T

(g(u(x))) dL

(x) = Z

Ω

D

f (x)g(u(x)) dL

(x) . D’altronde per L

−q.o. x ∈ Ω si ha

lim

f (x)T

(g(u(x)))g

(u(x))D

u(x) = f (x)g

(u(x))D

u(x) ,

|f (x)T

(g(u(x)))g

(u(x))D

u(x)| ≤ 1 + 2kϑ

k

|f (x)||g

(u(x))D

u(x)| . Sempre dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

f (x)T

(g(u(x)))g

(u(x))D

u(x) dL

(x) = Z

Ω

f (x)g

(u(x))D

u(x) dL

(x) ,

da cui la tesi.

(2.8) Teorema Siano u, v ∈ W

(Ω). Supponiamo che si abbia uv ∈ L

(Ω) e (vD

u+

uD

v) ∈ L

(Ω) per ogni j = 1, . . . , n.

Allora risulta uv ∈ W

(Ω) e D

(uv) = vD

u + uD

v per ogni j = 1, . . . , n.

Dimostrazione. Se poniamo w = (u, v) e g(s, t) = st, risulta che w ∈ W

(Ω; R

) e g : R

→ R `e di classe C

. Poich´ e g(w) = uv e ∇g(w) · D

w = vD

u + uD

v, la tesi discende dal Teorema (2.7).

(2.9) Teorema Siano u, v ∈ W

(Ω) tali che v(x) 6= 0 per L

−q.o. x ∈ Ω. Supponia- mo che si abbia

u

v ∈ L

(Ω) , D

u

v ∈ L

(Ω) e uD

v

v

∈ L

(Ω) per ogni j = 1, . . . , n . Allora risulta

u

v ∈ W

(Ω) e D

 u v



= vD

u − uD

v

v

per ogni j = 1, . . . , n .

Dimostrazione. Sia ϑ : R → [0, 1] la funzione di classe C

gi` a considerata nella dimostrazione del Teorema (2.7) e sia g

: R → R di classe C

definita da

g

(s) =







1 − ϑ(hs)

s se s 6= 0 ,

0 se s = 0 .

Evidentemente sia g

che g

sono limitate su R. Dal Teorema (2.7) si deduce che g

(v) ∈ W

(Ω) e che D

(g

(v)) = g

(v)D

v.

Inoltre, se 0 < |s| ≤ 2/h, risulta

|g

(s)| =    

1 − ϑ(hs)

s

+ (hs)ϑ

(hs) s

≤ 1

s

+ 2kϑ

k

s

, per cui si ha

|g

(s)| ≤ 1

|s| , |g

(s)| ≤ 1 + 2kϑ

k

1 s

per ogni h ≥ 1 ed ogni s 6= 0.

Allora, per L

−q.o. x ∈ Ω, risulta

(2.10) |u(x)g

(v(x))| ≤

u(x)

v(x)

,

(2.11) |g

(v(x))D

u(x) + u(x)g

(v(x))D

v(x)| ≤

≤    

D

u(x) v(x)

+ 1 + 2kϑ

k

   

u(x)D

v(x) [v(x)]

    . Dal Teorema (2.8) si deduce che ug

(v) ∈ W

(Ω) e che D

(ug

(v)) = g

(v(x))D

u(x)+

u(x)g

(v(x))D

v(x).

D’altronde, per L

−q.o. x ∈ Ω, si ha lim

h

g

(v(x)) = 1 v(x) , lim

g

(v(x)) = − 1

[v(x)]

.

Combinando questi fatti con la (2.10) e la (2.11), si deduce che, per ogni f ∈ C

(Ω), risulta

lim

Z

Ω

D

f (x)u(x)g

(v(x)) dL

(x) = Z

Ω

D

f (x) u(x)

v(x) dL

(x) ,

lim

Z

Ω

f (x) g

(v(x))D

u(x) + u(x)g

(v(x))D

v(x)
dL

(x) =

= − Z

Ω

f (x) v(x)D

u(x) − u(x)D

v(x)

[v(x)]

dL

(x) , da cui la tesi.

(2.12) Osservazione Nel Teorema (2.9), l’ipotesi che si abbia separatamente D

u

v ∈ L

(Ω) e uD

v

v

∈ L

(Ω) per ogni j = 1, . . . , n non pu` o essere sostituita da

vD

u − uD

v

v

∈ L

(Ω) per ogni j = 1, . . . , n .

Si considerino ad esempio u(x) = |x|x e v(x) = x

. Essendo due funzioni di classe C

,

`

e ovvio che u, v ∈ W

(R). Inolte si verifica immediatamente che, per L

−q.o. x ∈ R, si ha

u(x) v(x)    

= 1 , v(x)u

(x) − u(x)v

(x) [v(x)]

= 0 . Se la tesi del Teorema (2.9) fosse vera, si avrebbe

2 = Z

−2

ϑ

(x) dL

(x) − Z

1

ϑ

(x) dL

(x) = − Z

ϑ

(x) u(x)

v(x) dL

(x) =

= Z

ϑ v(x)u

(x) − u(x)v

(x)

[v(x)]

dL

(x) = 0 ,

dove ϑ ` e la funzione gi` a considerata in precedenza.

(2.13) Teorema Sia u ∈ W

(Ω) e sia F un sottoinsieme al pi` u numerabile di R.

Allora per ogni j = 1, . . . , n l’insieme

{x ∈ Ω : u(x) ∈ F e D

u(x) 6= 0}

`

e L

−trascurabile.

Dimostrazione. Evidentemente ` e sufficiente considerare il caso F = {c}. A meno di sostituire u con u − c, possiamo supporre c = 0.

Per ogni h ≥ 1, sia γ

: R → R la funzione di classe C

definita da γ

(s) = 1−ϑ(hs), dove ϑ ` e la funzione gi` a considerata in precedenza. Sia inoltre g

: R → R la primitiva di γ

tale che g

(0) = 0.

Per il Teorema (2.7) si ha

∀f ∈ C

(Ω) : − Z

Ω

D

f (x)g

(u(x)) dL

(x) = Z

Ω

f (x)g

(u(x))D

u(x) dL

(x) . Si verifica facilmente che per L

−q.o. x ∈ Ω

lim

D

f (x)g

(u(x)) = D

f (x)u(x) ,

|D

f (x)g

(u(x))| ≤ |D

f (x)||u(x)| . Dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

D

f (x)g

(u(x)) dL

(x) = Z

Ω

D

f (x)u(x)dL

(x) . D’altronde, posto A = {x ∈ Ω : u(x) 6= 0}, risulta per L

−q.o. x ∈ Ω

lim

f (x)g

(u(x))D

u(x) = f (x)χ

(x)D

u(x) ,

|f (x)g

(u(x))D

u(x)| ≤ |f (x)||D

u(x)| . Sempre dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

f (x)g

(u(x))D

u(x) dL

(x) = Z

Ω

f (x)χ

(x)D

u(x) dL

(x) . Pertanto risulta

∀f ∈ C

(Ω) : − Z

Ω

D

f (x)u(x) dL

(x) = Z

Ω

f (x)χ

(x)D

u(x) dL

(x) .

Ne segue D

u(x) = χ

(x)D

u(x) per L

−q.o. x ∈ Ω, ossia D

u(x) = 0 L

−q.o. in

Ω \ A.

Possiamo ora dimostrare una variante del Teorema (2.7), valevole solo nel caso N = 1.

(2.14) Teorema Siano u ∈ W

(Ω), g : R → R una funzione lipschitziana e di classe C

a tratti e γ : R → R una qualunque funzione tale che γ(s) = g

(s) nei punti in cui g

`

e derivabile.

Allora g(u) ∈ W

(Ω), γ(u) ∈ L

(Ω) e D

(g(u)) = γ(u)D

u.

Dimostrazione. Per la lipschitzianit` a di g esiste c ≥ 0 tale che

|g(s) − g(t)| ≤ c|s − t| ,

|g(s)| ≤ c(1 + |s|) ,

|γ(s)| ≤ c ,

per ogni s, t ∈ R. In particolare, g(u) ∈ L

(Ω). Sia F un sottoinsieme finito di R tale che g ∈ C

(R\F ). Per ogni h ≥ 1, definiamo una funzione continua γ

: R → R ponendo

γ

(s) = h

 g

 s + 1

h



− g(s)

 . Allora risulta

∀s ∈ R : |γ

(s)| ≤ c ,

∀s ∈ R \ F : lim

h

γ

(s) = γ(s) . Se poi g

(s) = g(0) +

Z

γ

(t) dt, risulta che g

: R → R `e di classe C

e

∀s ∈ R : |g

(s)| ≤ c(1 + |s|) ,

∀s ∈ R : lim

h

g

(s) = g(s) . Se poniamo

w

= γ

(u) χ

+ X

c∈F

γ(c) χ

,

si ha che w

` e L

−misurabile e per L

−q.o. x ∈ Ω risulta |w

(x)| ≤ c e γ(u(x)) = lim

h

w

(x) . Pertanto γ(u) ∈ L

(Ω) e γ(u)D

u ∈ L

(Ω).

Per ogni f ∈ C

(Ω) si ha per il Teorema (2.7)

− Z

Ω

D

f (x)g

(u(x)) dL

(x) = Z

Ω

f (x)γ

(u(x))D

u(x) dL

(x) .

Inoltre per L

−q.o. x ∈ Ω risulta

lim

D

f (x)g

(u(x)) = D

f (x)g(u(x)) ,

|D

f (x)g

(u(x))| ≤ c |D

f (x)|(1 + |u(x)|) . Dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

D

f (x)g

(u(x)) dL

(x) = Z

Ω

D

f (x)g(u(x)) dL

(x) . D’altronde per L

−q.o. x ∈ Ω si ha

|f (x)γ

(u(x))D

u(x)| ≤ c |f (x)||D

u(x)| . Per L

−q.o. x ∈ u

(R \ F ) `e ovvio che

lim

f (x)γ

(u(x))D

u(x) = f (x)γ(u(x))D

u(x) .

Per il teorema precedente si ha D

u(x) = 0 per L

−q.o. x ∈ u

(F ). Pertanto anche per L

−q.o. x ∈ u

(F ) risulta

lim

f (x)γ

(u(x))D

u(x) = f (x)γ(u(x))D

u(x) . Per L

−q.o. x ∈ Ω si ha quindi

lim

f (x)γ

(u(x))D

u(x) = f (x)γ(u(x))D

u(x) . Dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

lim

Z

Ω

f (x)γ

(u(x))D

u(x) dL

(x) = Z

Ω

f (x)γ(u(x))D

u(x) dL

(x) . Ne segue la tesi.

(2.15) Corollario Siano u, v ∈ W

(Ω). Allora le funzioni u

, u

, |u|, min{u, v} e max{u, v} appartengono a W

(Ω) e si ha

D

(u

) = χ

D

u , D

(u

) = −χ

D

u ,

D

(|u|) = χ

− χ

D

u ,

D

(min{u, v}) = χ

D

u + χ

D

v ,