UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE Prof. Marco Degiovanni Anno Accademico 2016/2017

Facolt` a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE

Prof. Marco Degiovanni

Anno Accademico 2016/2017

anche attraverso il corso di Istituzioni di analisi superiore

1 Spazi funzionali 5

1 Funzioni misurabili . . . . 5

2 Spazi di Lebesgue . . . . 11

3 Approssimazione per mezzo di funzioni continue . . . . 24

4 Regolarizzazione per convoluzione . . . . 28

5 Polinomi trigonometrici . . . . 38

6 Spazi funzionali separabili . . . . 43

2 Spazi di Hilbert 48 1 Proiezioni su convessi chiusi . . . . 48

2 Rappresentazione di forme lineari e continue . . . . 53

3 Somme hilbertiane . . . . 57

3 Spazi di Banach 67 1 I teoremi di Hahn-Banach . . . . 67

2 Il teorema di Banach-Steinhaus . . . . 78

3 I teoremi dell’applicazione aperta e del grafico chiuso . . . . 82

4 Operatori lineari e continui 86 1 Operatore duale . . . . 86

2 Operatori compatti . . . . 90

3 La teoria di Riesz-Fredholm . . . . 95

4 Risolvente e spettro . . . . 101

5 Operatore aggiunto . . . . 105

6 Operatori compatti e normali . . . . 109

3

5 Operatori lineari 114 1 Risolvente e spettro . . . . 114 2 Operatori normali . . . . 116

Elenco dei simboli 121

Indice analitico 123

Spazi funzionali

1 Funzioni misurabili

(1.1) Proposizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e Y un insieme. Se f, g : E → Y sono due funzioni, poniamo

f ∼ g ⇐⇒ f(x) = g(x) per µ−q.o. x ∈ E.

Allora ∼ `e una relazione di equivalenza in Y

.

Dimostrazione. La semplice verifica pu`o essere svolta per esercizio.

(1.2) Definizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e Y un insieme. Denotiamo con Y

/µ lo spazio quoziente Y

/ ∼.

(1.3) Proposizione Siano Ω un aperto in R

, Y uno spazio metrico e f, g : Ω → Y due applicazioni continue.

Se f ∼ g rispetto alla misura di Lebesgue n−dimensionale, allora risulta f = g.

Dimostrazione. L’insieme

A = {x ∈ Ω : f(x) 6= g(x)}

`e aperto in R

, perch´e f e g sono continue, e L

−trascurabile, perch´e f ∼ g. Ne segue A = ∅, da cui la tesi.

A causa della proposizione precedente, si usa identificare ogni f : Ω → Y continua con la sua classe di equivalenza in Y

/ L

.

5

(1.4) Definizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

, Y uno spazio metrico, (f

) una successione in Y

/µ e f ∈ Y

/µ.

Diciamo che (f

) converge a f µ −q.o., se si ha

lim

f

(x) = f (x) per µ −q.o. x ∈ E.

(1.5) Definizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e (f

) una successione in R

/µ. Definiamo

lim sup

h

f

, lim inf

h

f

∈ R

/µ ponendo



lim sup

h

f



(x) = lim sup

h

f

(x) ,

 lim inf

h

f



(x) = lim inf

h

f

(x) .

(1.6) Definizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e f ∈ R

/µ;

- diciamo che M ∈ R `e un maggiorante essenziale per f, se f (x) ≤ M per µ−q.o. x ∈ E;

- diciamo che m ∈ R `e un minorante essenziale per f, se f (x) ≥ m per µ−q.o. x ∈ E.

Si verifica facilmente che le nozioni introdotte nelle Definizioni (1.4), (1.5) e (1.6) sono effettivamente indipendenti dalla scelta dei rappresentanti di f

e di f .

(1.7) Proposizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e f ∈ R

/µ.

Allora l’insieme dei maggioranti essenziali per f ammette minimo in R, mentre

l’insieme dei minoranti essenziali per f ammette massimo in R.

Dimostrazione. Consideriamo solo l’affermazione sui maggioranti essenziali. Sia (M

) una successione di maggioranti essenziali tendente a c, dove

c = inf M ∈ R : M `e un maggiorante essenziale per f . Scelto un rappresentante per f , che per semplicit`a denotiamo ancora con f , sia

S

= {x ∈ E : f(x) > M

} . Allora µ(S

) = 0 e

{x ∈ E : f(x) > c} =

∞

[

h=0

S

. Ne segue che c `e un maggiorante essenziale per f , da cui la tesi.

(1.8) Definizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e f ∈ R

/µ.

Poniamo ess sup

E

f := min M ∈ R : M `e un maggiorante essenziale per f , ess inf

E

f := max m ∈ R : m `e un minorante essenziale per f . Diciamo che ess sup

E

f ed ess inf

E

f sono rispettivamente l’estremo superiore essenziale e l’estremo inferiore essenziale di f .

(1.9) Proposizione Siano Ω un aperto non vuoto in R

, f : Ω → R una funzione continua e sia µ = L

.

Allora ess sup

Ω

f = sup

Ω

f ed ess inf

Ω

f = inf

Ω

f (si intende che a primo membro f viene identificata con la sua classe di equivalenza in R

/ L

).

Dimostrazione. ` E anzitutto evidente che ess sup

Ω

f ≤ sup

Ω

f . Sia M = ess sup

Ω

f . Allora f

(]M, + ∞]) `e aperto in R

, perch´e f `e continua, ed `e L

−trascurabile. Ne segue f

(]M, + ∞]) = ∅, quindi M ≥ sup

Ω

f .

La seconda uguaglianza si dimostra in modo simile.

(1.10) Definizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e f, g ∈ R

/µ.

Diciamo che f ≤ g, se si ha

f (x) ≤ g(x) per µ−q.o. x ∈ E.

Si verifica facilmente che anche questa nozione `e effettivamente indipendente dalla scelta dei rappresentanti di f e di g. Inoltre essa costituisce una relazione di ordine in R

/µ.

(1.11) Definizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e f ∈ R

/µ.

Diciamo che f `e µ −misurabile su E (risp. µ−integrabile su E), se ogni rappresen- tante di f `e µ −misurabile su E (risp. µ−integrabile su E). Poniamo

M (E, µ; R) := n

f ∈ R

/µ : f `e µ −misurabile su E o . Se f `e µ −integrabile su E, si pu`o definire senza ambiguit`a

Z

E

f dµ ∈ R .

(1.12) Definizione Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e f ∈ C

/µ.

Diciamo che f `e µ −misurabile su E (risp. µ−sommabile su E), se ogni rappresen- tante di f `e µ −misurabile su E (risp. µ−sommabile su E). Poniamo

M (E, µ; C) := f ∈ C

/µ : f `e µ −misurabile su E , L

(E, µ; C) := f ∈ C

/µ : f `e µ −sommabile su E , M (E, µ) := {f ∈ M(E, µ; C) : f(x) ∈ R per µ−q.o. x ∈ E} , L

(E, µ) := f ∈ L

(E, µ; C) : f (x) ∈ R per µ−q.o. x ∈ E . Se f ∈ L

(E, µ; C), si pu`o definire senza ambiguit`a

Z

E

f dµ ∈ C .

Si verifica facilmente che M (E, µ; C) e L

(E, µ; C) hanno una naturale struttura di spazio vettoriale su C, mentre M (E, µ) e L

(E, µ) hanno una naturale struttura di spazio vettoriale su R.

(1.13) Teorema (della convergenza monotona o di Beppo Levi) Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

, (f

) una successione in M (E, µ; R) e f ∈ R

/µ. Supponiamo che si abbia 0 ≤ f

≤ f

per ogni h ∈ N e che (f

) converga a f µ −q.o.

Allora f ∈ M(E, µ; R), f ≥ 0 e si ha Z

E

f dµ = lim

h

Z

E

f

dµ .

Dimostrazione. La dimostrazione pu`o essere svolta per esercizio.

(1.14) Teorema (Lemma di Fatou) Siano µ una misura esterna su R

, E un sot- toinsieme µ −misurabile di R

e (f

) una successione in M (E, µ; R) con f

≥ 0 per ogni h ∈ N.

Allora lim inf

h

f

∈ M(E, µ; R), lim inf

h

f

≥ 0 e si ha Z

E

 lim inf

h

f

 dµ ≤ lim inf

h

Z

E

f

dµ .

Dimostrazione. La dimostrazione pu`o essere svolta per esercizio.

(1.15) Teorema (della convergenza dominata o di Lebesgue) Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

, (f

) una successione in L

(E, µ; C) e f ∈ C

/µ. Supponiamo che (f

) converga a f µ −q.o. e che esista g ∈ L

(E, µ) tale che |f

| ≤ g per ogni h ∈ N.

Allora f ∈ L

(E, µ; C) e si ha lim

Z

E

|f

− f| dµ = 0 , lim

Z

E

f

dµ = Z

E

f dµ .

Dimostrazione. La dimostrazione pu`o essere svolta per esercizio.

Esercizi

1. (Lemma di Fatou generalizzato) Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoin- sieme µ −misurabile di R

, (f

) una successione in M (E, µ; R) e (g

) una successione in L

(E, µ) convergente µ −q.o. ad una g ∈ L

(E, µ). Supponiamo che si abbia f

≥ g

per ogni h ∈ N e che

lim

Z

E

g

dµ = Z

E

g dµ . Si dimostri che f

e lim inf

h

f

sono µ −integrabili e che Z

E

 lim inf

h

f



dµ ≤ lim inf

h

Z

E

f

dµ .

2. (Teorema di Lebesgue generalizzato) Siano µ una misura esterna su R

, E un sot- toinsieme µ −misurabile di R

, (f

) una successione in L

(E, µ; C) e (g

) una successione in L

(E, µ) tali che |f

| ≤ g

per ogni h ∈ N. Si supponga che (f

) e (g

) convergano µ −q.o. a f e g rispettivamente, che g ∈ L

(E, µ) e che

lim

Z

E

g

dµ = Z

E

g dµ . Si dimostri che f ∈ L

(E, µ; C) e che

lim

Z

E

|f

− f| dµ = 0 , lim

Z

E

f

dµ = Z

E

f dµ .

(Suggerimento: si applichi il Lemma di Fatou alla successione (g

+ g − |f

− f|)).

3. Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e (f

),

(g

) due successioni in R

/µ tali che f

≤ g

per ogni h ∈ N.

Si dimostri che lim inf

h

f

≤ lim inf

h

g

e che lim sup

h

f

≤ lim sup

h

g

.

4. Siano µ una misura esterna su R

, E un sottoinsieme µ −misurabile di R

e f ∈ R

/µ.

Si dimostri che

µ(E) 6= 0 =⇒ ess inf

E

f ≤ ess sup

E

f , µ(E) = 0 = ⇒ ess inf

E

f = + ∞ , ess sup

E

f = −∞ .

2 Spazi di Lebesgue

Nel corso di questa sezione, µ denoter`a una misura esterna su R

ed E un sottoinsieme µ −misurabile di R

.

(2.1) Definizione Per ogni p ∈ [1, +∞], poniamo

p

:=



 

 

 

 

+ ∞ se p = 1 , p

p − 1 se 1 < p < + ∞ , 1 se p = + ∞ . Diciamo che p

`e l’esponente coniugato di p.

Nel seguito scriveremo ∞ invece di +∞. Se 1 < p < ∞, risulta 1

p + 1 p

= 1 .

(2.2) Teorema (Disuguaglianza di H¨ older) Sia 1 < p < ∞ e siano f, g ∈M(E, µ; C).

Allora risulta

Z

E

|fg| dµ ≤

Z

E

|f|

dµ



Z

E

|g|

dµ



con la convenzione che 0 · (+∞) = (+∞) · 0 = 0.

Dimostrazione. Se R

E

|f|

dµ = 0, si ha f (x) = 0 per µ −q.o. x ∈ E, quindi R

E

|fg| dµ = 0. Un’analoga considerazione vale se R

E

|g|

dµ = 0. La tesi `e anche banalmente vera se

uno degli integrali a secondo membro vale + ∞.

Possiamo quindi supporre che 0 <

Z

E

|f|

dµ < + ∞ , 0 <

Z

E

|g|

dµ < + ∞ . Poniamo

F (x) = f (x) R

E

|f|

dµ

, G(x) = g(x) R

E

|g|

dµ

. Per la Disuguaglianza di Young si ha

|F (x)G(x)| ≤ 1

p |F (x)|

+ 1

p

|G(x)|

, da cui, integrando membro a membro,

Z

E

|F G| dµ ≤ 1 p

Z

E

|F |

dµ + 1 p

Z

E

|G|

dµ = 1 p + 1

p

= 1 . Sostituendo le rispettive espressioni di F e G, si ottiene

R

E

|fg| dµ R

E

|f|

dµ

R

E

|g|

dµ

≤ 1 , da cui la tesi.

(2.3) Definizione Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Per p < ∞, poniamo L

(E, µ; C) :=



f ∈ M(E, µ; C) : Z

E

|f|

dµ < + ∞

 , mentre, per p = ∞, poniamo

L

(E, µ; C) :=



f ∈ M(E, µ; C) : ess sup

E

|f| < +∞

 . Inoltre, per 1 ≤ p ≤ ∞, poniamo

L

(E, µ) := {f ∈ L

(E, µ; C) : f (x) ∈ R per µ−q.o. x ∈ E} , L

(E; C) := L

(E, L

; C), L

(E) := L

(E, L

).

Gli spazi L

(E, µ; C) si chiamano spazi di Lebesgue.

Per p = 1 la definizione appena introdotta `e evidentemente consistente con la

Definizione (1.12).

(2.4) Definizione Sia 1 ≤ p ≤ ∞ e sia f ∈ L

(E, µ; C). Poniamo

kfk

:=



 



 



Z

E

|f|

dµ



se p < ∞ , ess sup

E

|f| se p = ∞ . (2.5) Definizione Siano f, g ∈ L

(E, µ; C). Poniamo

(f |g)

:=

Z

E

f g dµ .

(2.6) Teorema Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Valgono allora i seguenti fatti:

(a) L

(E, µ; C) `e un sottospazio vettoriale di M (E, µ; C) e k k

`e una norma sullo spazio L

(E, µ; C);

(b) ( | )

`e un prodotto scalare sullo spazio L

(E, µ; C) che induce la norma k k

;

(c) L

(E, µ) ha una naturale struttura di spazio normato su R, mentre L

(E, µ) ha una naturale struttura di spazio unitario su R.

Dimostrazione.

(a) Consideriamo anzitutto il caso p < ∞. Se f, g ∈ L

(E, µ; C) e λ ∈ C, risulta

|f(x) + g(x)|

≤ 2

( |f(x)|

+ |g(x)|

) , quindi

Z

E

|f + g|

dµ ≤ 2

Z

E

|f|

dµ + Z

E

|g|

dµ

 .

Ne segue f + g ∈ L

(E, µ; C). ` E poi evidente che λf ∈ L

(E, µ; C), per cui L

(E, µ; C) `e un sottospazio vettoriale di M (E, µ; C).

Se kfk

= 0, si ha f (x) = 0 per µ −q.o. x ∈ E, quindi f = 0 in L

(E, µ; C). Inoltre, se p > 1, dalla Disuguaglianza di H¨older si deduce che

kf + gk

= Z

E

|f + g|

dµ ≤ Z

E

|f + g|

|f| dµ + Z

E

|f + g|

|g| dµ ≤

≤

Z

E

|f + g|

dµ



Z

E

|f|

dµ



+

+

Z

E

|f + g|

dµ



Z

E

|g|

dµ



=

= kf + gk

( kfk

+ kgk

) .

Per p = 1 si ha direttamente kf + gk

=

Z

E

|f + g| dµ ≤ Z

E

|f| dµ + Z

E

|g| dµ = kfk

+ kgk

.

In ogni caso ne segue la disuguaglianza triangolare della norma. La verifica dei rimanenti assiomi di norma pu`o essere svolta per esercizio.

Siano ora f, g ∈ L

(E, µ; C). Per µ −q.o. x ∈ E si ha

|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ kfk

+ kgk

, per cui f + g ∈ L

(E, µ; C) e

kf + gk

≤ kfk

+ kgk

.

E allora facile verificare che L `

(E, µ; C) `e un sottospazio vettoriale di M (E, µ; C) e che k k

`e una norma su L

(E, µ; C).

(b) Se f, g ∈ L

(E, µ; C), dalla Disuguaglianza di H¨older si deduce che f g ∈ L

(E, µ; C).

Pertanto (f |g)

`e ben definito. ` E poi facile verificare che gli assiomi di prodotto scalare sono soddisfatti e che la norma indotta `e proprio k k

.

(c) ` E facile verificare che (L

(E, µ), k k

) `e in modo naturale uno spazio normato su R.

Se f, g ∈ L

(E, µ), risulta (f |g)

∈ R. Pertanto ( | )

ristretto a L

(E, µ) `e un prodotto scalare in senso reale.

(2.7) Osservazione Se f

, f ∈ L

(E, µ; C), si ha

|f

(x) − f(x)| ≤ kf

− fk

per µ −q.o. x ∈ E.

Pertanto la convergenza in L

(E, µ; C) implica la convergenza µ −q.o.

(2.8) Osservazione Sia Ω un aperto non vuoto in R

e sia f ∈ C

(Ω; C). Dalla Proposizione (1.9) si deduce che

kfk

= sup

Ω

|f| .

In tal caso non comporta quindi nessun problema il fatto che k k

possa denotare tanto

la norma di L

(Ω; C) quanto quella di C

(Ω; C).

(2.9) Teorema (Variante della Disuguaglianza di H¨ older) Sia 1 ≤ p ≤ ∞ e siano f ∈ L

(E, µ; C) e g ∈ L

(E, µ; C).

Allora risulta f g ∈ L

(E, µ; C) e

kfgk

≤ kfk

kgk

.

Dimostrazione. Il caso 1 < p < ∞ discende dalla usuale Disuguaglianza di H¨older. Se p = 1, si ha

|g(x)| ≤ kgk

per µ −q.o. x ∈ E, quindi

Z

E

|fg| dµ ≤ kgk

Z

E

|f| dµ . Il caso p = ∞ pu`o essere trattato in modo analogo.

(2.10) Lemma Sia 1 ≤ p ≤ ∞ e sia (f

) una successione in L

(E, µ; C). Valgono allora i seguenti fatti:

(a) se

∞

X

h=1

kf

− f

k

< + ∞ , esistono f ∈ L

(E, µ; C) e g ∈ L

(E, µ) tali che

lim

kf

− fk

= 0 , lim

h

f

(x) = f (x) per µ −q.o. x ∈ E,

|f

(x) | ≤ g(x) per µ−q.o. x ∈ E;

(b) se f ∈ L

(E, µ; C) e si ha

∞

X

h=0

kf

− fk

< + ∞ , risulta

lim

kf

− fk

= 0 , lim

h

f

(x) = f (x) per µ −q.o. x ∈ E ed esiste g ∈ L

(E, µ) tale che

|f

(x) | ≤ g(x) per µ−q.o. x ∈ E.

Dimostrazione.

(a) Scelto un rappresentante per ogni f

, che denotiamo ancora con f

, definiamo delle funzioni µ −misurabili ϕ

, ϕ : E → [0, +∞] ponendo

ϕ

(x) = |f

(x) | +

k

X

h=1

|f

(x) − f

(x) | ,

ϕ(x) = |f

(x) | +

∞

X

h=1

|f

(x) − f

(x) | . Evidentemente (ϕ

) converge puntualmente a ϕ.

Se p < ∞, risulta

kϕ

k

≤ kf

k

+

k

X

h=1

kf

− f

k

≤ kf

k

+

∞

X

h=1

kf

− f

k

, ossia

Z

E

|ϕ

|

dµ ≤ kf

k

+

∞

X

h=1

kf

− f

k

!

. Dal Lemma di Fatou si deduce che

Z

E

|ϕ|

dµ ≤ kf

k

+

∞

X

h=1

kf

− f

k

!

< + ∞ . Nel caso p = ∞, si ha per µ−q.o. x ∈ E

|ϕ

(x) | ≤ kϕ

k

≤ kf

k

+

k

X

h=1

kf

− f

k

≤ kf

k

+

∞

X

h=1

kf

− f

k

, quindi

|ϕ(x)| ≤ kf

k

+

∞

X

h=1

kf

− f

k

. Ne segue ess sup

E

|ϕ| < +∞.

In ogni caso, posto A = {x ∈ E : ϕ(x) < +∞}, si ha che µ(E \A) = 0 e che g = ϕχ

definisce un elemento di L

(E, µ).

Risulta

|f

(x) | ≤ ϕ

(x) ≤ ϕ(x) = g(x) per µ−q.o. x ∈ E.

Inoltre per ogni x ∈ A la serie

∞

X

h=1

(f

(x) − f

(x))

`e assolutamente convergente, quindi convergente in C. Possiamo allora definire una funzione misurabile f : E → C ponendo

f (x) = lim

h

f

(x)χ

(x) . Poich´e |f| ≤ g, risulta f ∈ L

(E, µ; C).

Infine, se p < ∞, si ha

|f

(x) − f(x)|

≤ 2

( |f

(x) |

+ |f(x)|

) ≤ 2

(g(x))

. Per il Teorema della convergenza dominata, si conclude che

lim

Z

E

|f

− f|

dµ = 0 . Se invece p = ∞, risulta per µ−q.o. x ∈ E

|f

(x) − f

(x) | ≤

k

X

j=h+1

|f

(x) − f

(x) | ≤

∞

X

j=h+1

kf

− f

k

.

Ne segue, passando al limite per k → ∞,

|f(x) − f

(x) | ≤

∞

X

j=h+1

kf

− f

k

,

quindi

kf − f

k

≤

∞

X

j=h+1

kf

− f

k

. Pertanto kf − f

k

→ 0 e la (a) `e completamente dimostrata.

(b) Evidentemente risulta

lim

kf

− fk

= 0 ,

∞

X

h=1

kf

− f

k

≤

∞

X

h=1

kf

− fk

+

∞

X

h=1

kf − f

k

< + ∞ .

Siano ˆ f ∈ L

(E, µ; C) e g ∈ L

(E, µ) conformi al punto (a). Poich´e kf

− ˆ f k

→ 0 e kf

− fk

→ 0, deve essere ˆ f = f per l’unicit`a del limite in L

(E, µ; C). Ne segue la tesi.

(2.11) Teorema Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Valgono allora i seguenti fatti:

(a) (L

(E, µ; C), k k

) `e uno spazio di Banach su C;

(b) (L

(E, µ; C), ( | )

) `e uno spazio di Hilbert su C.

Dimostrazione.

(a) Sia (f

) una successione di Cauchy in L

(E, µ; C). Esiste una sottosuccessione (f

) tale che

∀k ∈ N : kf

− f

k

< 2

. Sia infatti h

∈ N tale che

j, m ≥ h

= ⇒ kf

− f

k

< 1 .

Supposto di aver gi`a costruito h

< · · · < h

, sia h

> h

tale che j, m ≥ h

= ⇒ kf

− f

k

< 2

.

Evidentemente (f

) ha il requisito richiesto.

Poich´e

∞

X

k=0

kf

− f

k

< + ∞ ,

si deduce dal lemma precedente che (f

) `e convergente in L

(E, µ; C). Essendo (f

) di Cauchy, (f

) stessa `e convergente in L

(E, µ; C).

(b) Si tratta di un’ovvia conseguenza della (a).

(2.12) Teorema Siano 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ L

(E, µ; C) e sia (f

) una successione in L

(E, µ; C) con kf

− fk

→ 0.

Allora esistono g ∈ L

(E, µ) ed una sottosuccessione (f

) tali che lim

f

(x) = f (x) per µ −q.o. x ∈ E,

|f

(x) | ≤ g(x) per µ−q.o. x ∈ E.

Dimostrazione. ` E facile costruire ricorsivamente una sottosuccessione (f

) tale che

∀k ∈ N : kf

− fk

< 2

.

La tesi discende allora dal Lemma (2.10).

(2.13) Corollario Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Allora L

(E, µ) ha una naturale struttura di spazio di Banach su R, mentre L

(E, µ) ha una naturale struttura di spazio di Hilbert su R.

Dimostrazione. Se (f

) `e una successione in L

(E; µ) convergente a f in L

(E, µ; C), esiste una sottosuccessione (f

) convergente µ −q.o. a f. Ne segue f(x) ∈ R per µ−q.o.

x ∈ E. Pertanto L

(E, µ) `e chiuso in L

(E, µ; C), quindi completo rispetto alla norma subordinata.

Esercizi

1. Sia 1 ≤ p ≤ ∞ e sia (f

) una successione limitata in L

(E, µ; C) che converga µ −q.o. a f.

Si dimostri che f ∈ L

(E, µ; C) e che kfk

≤ lim inf

h

kf

k

.

2. Siano f, g ∈ M(E, µ; C) e siano 1 ≤ p, q, r < ∞ tali che 1

p + 1 q = 1

r . Si dimostri che

Z

E

|fg|

dµ



≤

Z

E

|f|

dµ



Z

E

|g|

dµ



.

3. Sia µ(E) < + ∞ e siano 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞. Si dimostri che L

(E, µ; C) ⊆ L

(E, µ; C) e che

∀f ∈ L

(E, µ; C) : kfk

≤ µ(E)

kfk

.

4. Siano f

(x) = (x log

x)

e f

(x) = ( √

x (1 + | log x|))

.

Si dimostri che f

∈ L

(]0, 1/2[), ma f

6∈ L

(]0, 1/2[) per ogni p > 1 e che f

∈ L

(]0, + ∞[), ma f

6∈ L

(]0, + ∞[) per ogni p 6= 2.

5. Sia f ∈ M(E, µ; C) e siano 1 ≤ p, q < ∞. Si dimostri che per ogni t ∈ [0, 1] risulta Z

E

|f|

dµ ≤

Z

E

|f|

dµ



Z

E

|f|

dµ



.

6. Sia f ∈ M(E, µ; C). Se 1 ≤ p < ∞, si ponga ϕ(p) =

Z

E

|f|

dµ ,

D = {p ∈ [1, +∞[: ϕ(p) < +∞} .

Si dimostri che D `e un intervallo (eventualmente vuoto) e ϕ : D → R `e una funzione convessa e continua.

7. Siano 1 ≤ p, q ≤ ∞ e sia (f

) una successione limitata in L

(E, µ; C) che converge a f in L

(E, µ; C).

Si dimostri che f ∈ L

(E, µ; C) e che (f

) converge a f in ogni L

(E, µ; C) con r = (1 − t)p + tq, t ∈]0, 1].

8. Siano 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Si dimostri che per ogni r ∈ [p, q] si ha L

(E, µ; C) ∩ L

(E, µ; C) ⊆ L

(E, µ; C) e

∀f ∈ L

(E, µ; C) ∩ L

(E, µ; C) : kfk

≤ max {kfk

, kfk

} .

9. Sia 1 ≤ p

< ∞ e sia f ∈ L

(E, µ; C). Si dimostri che

p→+∞

lim

Z

E

|f|

dµ



= ess sup

E

|f| .

10. Siano (f

) una successione limitata in L

(E, µ; C) e (g

) una successione in M (E, µ; C).

Si dimostri che

lim inf

k

 lim inf

h

Z

{x∈E: k<|gh(x)|<2k}

|f

| dµ



= 0 .

11. Sia g : E × R → R una funzione di Carath´eodory, ossia tale che - per µ −q.o. x ∈ E, la funzione g(x, ·) `e continua;

- per ogni s ∈ R, la funzione g(·, s) `e µ−misurabile.

Posto ( G(u)) (x) = g(x, u(x)), si dimostri che per ogni u ∈ M(E, µ) si ha G(u) ∈ M (E, µ) (l’applicazione G : M(E, µ) → M(E, µ) si chiama operatore di Nemytskij associato a g).

12. Siano 1 ≤ p, q < ∞, sia g : E × R → R una funzione di Carath´eodory e sia G l’operatore di Nemytskij associato a g. Si supponga che esistano a ∈ L

(E, µ) e b ∈ R tali che

|g(x, s)| ≤ a(x) + b|s|

per µ −q.o. x ∈ E e per ogni s ∈ R.

Si dimostri che per ogni u ∈ L

(E, µ) si ha G(u) ∈ L

(E, µ) e che l’applicazione G : L

(E, µ) → L

(E, µ) `e continua.

13. Sia 1 ≤ p < ∞ e sia G : E × R → R una funzione di Carath´eodory. Si supponga che esistano a ∈ L

(E, µ) e b ∈ R tali che

G(x, s) ≥ −a(x) − b|s|

per µ −q.o. x ∈ E e per ogni s ∈ R.

Si dimostri che per ogni u ∈ L

(E, µ) la funzione

{x 7−→ G(x, u(x))}

`e µ −integrabile su E e che, per ogni successione (u

) convergente ad u in L

(E, µ), si ha Z

E

G(x, u(x)) dµ(x) ≤ lim inf

h

Z

E

G(x, u

(x)) dµ(x) .

14. Sia G : E × R → R una funzione di Carath´eodory tale che

∀t > 0 : sup

|s|≤t

G(x, s)

∈ L

(E, µ) .

Si dimostri che per ogni u ∈ L

(E, µ) la funzione {x 7−→ G(x, u(x))}

`e µ −integrabile su E e che, per ogni successione (u

) limitata in L

(E, µ) e convergente µ −q.o. ad u, si ha

Z

E

G(x, u(x)) dµ(x) ≤ lim inf

h

Z

E

G(x, u

(x)) dµ(x) .

15. Siano 1 ≤ p, q < ∞, sia g : E × R → R una funzione di Carath´eodory e sia G l’operatore di Nemytskij associato a g. Si supponga che per ogni ε > 0 esista a

∈ L

(E, µ) tale che

|g(x, s)| ≤ a

(x) + ε |s|

per µ −q.o. x ∈ E e per ogni s ∈ R.

Si dimostri che, se (u

) `e una successione limitata in L

(E, µ) e convergente µ −q.o.

ad u, allora si ha che ( G(u

)) `e convergente a G(u) in L

(E, µ).

(Suggerimento: si osservi che

|g(x, u

(x)) − g(x, u(x))|

≤ 2

a

(x)

+ 2

ε

|u

(x) |

+ 2

ε

|u(x)|

e si applichi il Lemma di Fatou alla successione

2

a

(x)

+ 2

ε

|u

(x) |

+ 2

ε

|u(x)|

− |g(x, u

(x)) − g(x, u(x))|

.)

16. Sia 1 ≤ q < ∞, sia g : E × R → R una funzione di Carath´eodory e sia G l’operatore di Nemytskij associato a g. Si supponga che

∀t > 0 : sup

|s|≤t

|g(·, s)| ∈ L

(E, µ) .

Si dimostri che per ogni u ∈ L

(E, µ) si ha G(u) ∈ L

(E, µ) e che, se (u

) `e una successione limitata in L

(E, µ) e convergente µ −q.o. ad u, allora si ha che (G(u

)) `e convergente a G(u) in L

(E, µ).

17. Siano 1 ≤ p, q, r < ∞ tali che 1 r + 1

p = 1 q , sia α ∈ L

(E, µ) e sia g(x, s) = α(x)s.

Si dimostri che g `e una funzione di Carath´eodory e che per ogni ε > 0 esiste a

∈ L

(E, µ) tale che

|g(x, s)| ≤ a

(x) + ε |s|

per µ −q.o. x ∈ E e per ogni s ∈ R.

18. Siano 1 ≤ p < ∞, u

∈ L

(E, µ) e g(x, s) = |s|

− |s − u

(x) |

. Si dimostri che g

`e una funzione di Carath´eodory e che per ogni ε > 0 esiste a

∈ L

(E, µ) tale che

|g(x, s)| ≤ a

(x) + ε |s|

per µ −q.o. x ∈ E e per ogni s ∈ R.

19. Siano 1 < p ≤ ∞, 1 ≤ q, r < ∞ tali che 1

p + 1 r = 1

q ,

sia (f

) una successione limitata in L

(E, µ; C) e convergente µ −q.o. a f e sia (g

) una successione convergente a g in L

(E, µ; C).

Si dimostri che (f

g

) converge a f g in L

(E, µ; C).

20. Siano µ(E) < + ∞, 1 < p ≤ ∞ e sia (f

) una successione limitata in L

(E, µ; C)

e convergente µ −q.o. a f.

Si dimostri che, per ogni q ∈ [1, p[, la successione (f

) converge a f in L

(E, µ; C).

21. Sia 1 ≤ p < ∞ e sia (f

) una successione limitata in L

(E, µ; C) e convergente µ −q.o. a f.

Si dimostri che ( |f

|

− |f

− f|

) converge a |f|

in L

(E, µ).

22. Sia 1 ≤ p < ∞ e sia (f

) una successione in L

(E, µ; C) convergente µ −q.o. a f ∈ L

(E, µ; C). Si supponga che lim

h

kf

k

= kfk

. Si dimostri che lim

h

kf

− fk

= 0.

23. Sia 1 ≤ p ≤ ∞ e sia f ∈ L

(E, µ; C). Si dimostri che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

Z

A

|f| dµ < ε

ogniqualvolta A `e un sottoinsieme µ −misurabile di E con µ(A) < δ.

24. Sia 1 < p ≤ ∞ e sia f ∈ L

(]0, + ∞[). Per ogni x > 0 si ponga F (x) = R

0

f d L

. Si dimostri che

x→0

lim F (x)

x

= lim

x→+∞

F (x) x

= 0 .

25. (Disuguaglianza di Hardy) Sia 1 < p ≤ ∞ e sia f ∈ L

(]0, + ∞[). Per ogni x > 0 si ponga F (x) =

R

0

f d L

.

Si dimostri che F ∈ L

(]0, + ∞[) e che

p < ∞ =⇒ kF k

≤ p

p − 1 kfk

, p = ∞ =⇒ kF k

≤ kfk

.

Si dimostri inoltre che, se f ≥ 0 e F ∈ L

(]0, + ∞[), allora f(x) = 0 per L

−q.o.

x ∈]0, +∞[.

3 Approssimazione per mezzo di funzioni continue

(3.1) Definizione Siano Ω un aperto in R

, Y uno spazio normato e f : R

→ Y

un’applicazione.

Diciamo che f `e continua con supporto compatto in Ω, se f `e continua e l’insieme {x ∈ R

: f (x) 6= 0}

`e contenuto in un compatto contenuto in Ω. Denotiamo con C

(Ω; Y ) l’insieme di tali applicazioni. Evidentemente C

(Ω; Y ) `e un sottospazio vettoriale di C(Ω; Y ).

Per ogni k ∈ N poniamo anche

C

(Ω; Y ) := C

(Ω; Y ) ∩ C

(Ω; Y ) . Evidentemente C

(Ω; Y ) `e un sottospazio vettoriale di C

(Ω; Y ).

Poniamo infine

C

(Ω) := C

(Ω; R) , C

(Ω) := C

(Ω; R) .

(3.2) Definizione Siano Ω un aperto in R

, Y uno spazio normato e sia f : Ω → Y un’applicazione. Denotiamo con supt(f ) la chiusura in Ω di

{x ∈ Ω : f(x) 6= 0} . Il sottoinsieme supt(f ) di Ω si chiama supporto di f .

(3.3) Proposizione Sia Ω un aperto in R

e sia f ∈ C

(Ω; C). Allora valgono i seguenti fatti:

(a) supt(f ) `e un sottoinsieme compatto di Ω;

(b) |f| ammette massimo in Ω;

(c) f `e uniformemente continua.

Dimostrazione. Sia K un compatto di Ω fuori dal quale f sia nulla. Evidentemente supt(f ) ⊆ K e supt(f) `e chiuso in K. Ne segue che supt(f) `e compatto.

Inoltre |f| ammette un punto di massimo nel compatto K e tale punto `e di massimo anche nell’ambito dei punti di Ω (ed anche di R

).

Sia ora ε > 0 e sia

K

= {x ∈ R

: d(x, K) ≤ 1} .

Poich´e f `e uniformemente continua sul compatto K

, esiste δ > 0 tale che per ogni x, y ∈ K

si abbia

(3.4) |x − y| < δ =⇒ |f(x) − f(y)| < ε .

Non `e restrittivo supporre δ < 1. Allora, se x, y ∈ R

, |x − y| < δ e, ad esempio, x 6∈ K

, risulta x, y 6∈ K, da cui |f(x)−f(y)| = 0. Combinando questo fatto con la ( 3.4), si deduce che per ogni x, y ∈ R

|x − y| < δ =⇒ |f(x) − f(y)| < ε , da cui la tesi.

In virt` u della proposizione precedente, C

(Ω; C) risulta essere un sottospazio vettoriale di C

(Ω; C) e pu`o quindi essere munito della norma k k

.

Inoltre per ogni f ∈ C

(Ω; C) si ha |f|

∈ C

(Ω), quindi f ∈ L

(Ω; C). Risulta pertanto C

(Ω; C) ⊆ L

(Ω; C).

(3.5) Teorema Per ogni p ∈ [1, ∞[ lo spazio C

(R

) `e denso in L

(R

).

Dimostrazione. Per ogni h ≥ 1 definiamo T

: R → R ponendo

T

(s) =



 

 

s se |s| ≤ h , h

|s| s se |s| ≥ h . Evidentemente risulta

∀s

, s

∈ R : |T

(s

) − T

(s

) | ≤ |s

− s

| . Se f ∈ L

(R

), sia f

= χ

( T

◦ f). Poich´e

lim

|f

(x) − f(x)| = 0 per L

−q.o. x ∈ R

,

|f

(x) − f(x)|

≤ |f(x)|

, si deduce dal Teorema della convergenza dominata che

lim

Z

|f

− f|

d L

= 0.

Dato ε > 0, sia h tale che kf

− fk

< ε/2. Evidentemente f

`e limitata e nulla fuori da B (0, h), quindi L

−sommabile. Sia g

∈ C

(R

) tale che

(2h)

Z

|g

− f

| dL

<  ε 2



. Allora ( T

◦ g

) ∈ C

(R

) e

|(T

◦ g

)(x) − f

(x) | = |(T

◦ g

)(x) − (T

◦ f

)(x) | ≤ |g

(x) − f

(x) | , per cui

Z

|(T

◦ g

) − f

|

d L

≤ (2h)

Z

|(T

◦ g

) − f

| dL

≤

≤ (2h)

Z

|g

− f

| dL

<  ε 2



. Dalla disuguaglianza triangolare si deduce che

k(T

◦ g

) − fk

< ε , da cui la tesi.

(3.6) Corollario Per ogni p ∈ [1, ∞[ lo spazio C

(R

; C) `e denso in L

(R

; C).

Dimostrazione. Sia f ∈ L

(R

; C) e sia ε > 0. Poich´e Re f ed Im f appartengono a L

(R

), per il Teorema (3.5) esistono g

, g

∈ C

(R

) tali che kg

− Re fk

< ε/2 e kg

− Im fk

< ε/2. Se poniamo g = g

+ ig

, si ha g ∈ C

(R

; C) e, per le propriet`a della norma, kg − fk

< ε.

Esercizi

1. Sia f ∈ L

(R) con 1 ≤ p < ∞. Si dimostri che lim

Z

|f(t + s) − f(t)|

d L

(t) = 0 . (Suggerimento: si tratti prima il caso f ∈ C

(R)).

2. Siano f ∈ L

(R) e g ∈ L

(R). Si dimostri che lim

Z

(f (t + s) − f(t)) g(t) dL

(t) = 0 .

4 Regolarizzazione per convoluzione

Nel corso di questa sezione, Ω denoter`a un aperto di R

. (4.1) Definizione Per ogni p ∈ [1, ∞] poniamo

L

(Ω; C) := f ∈ M(Ω, L

; C) : f

∈ L

(K; C) per ogni compatto K ⊆ Ω . Poniamo anche

L

(Ω) := {f ∈ L

(Ω; C) : f (x) ∈ R per L

−q.o. x ∈ Ω} .

Si verifica facilmente che L

(Ω; C) `e un sottospazio vettoriale di M (Ω, L

; C), mentre L

(Ω) ha una naturale struttura di spazio vettoriale su R.

(4.2) Proposizione Valgono le seguenti inclusioni:

(a) L

(Ω; C) ⊆ L

(Ω; C);

(b) C(Ω; C) ⊆ L

(Ω; C) (si intende che ogni f ∈ C(Ω; C) viene identificata con la sua classe di equivalenza);

(c) L

(Ω; C) ⊆ L

(Ω; C).

Dimostrazione. Le affermazioni (a) e (b) sono evidenti. Per provare la (c), consideriamo un compatto K ⊆ Ω. Poich´e L

(K) < + ∞, risulta χ

∈ L

(K; C). Se f ∈ L

(Ω; C), si ha

f

= f

χ

. Dal Teorema (2.9) si deduce che f

∈ L

(K; C).

(4.3) Definizione Una successione (̺

) in C

(R

) viene detta regolarizzante, se per ogni h ≥ 1 si ha ̺

∈ C

(B (0, 1/h)), ̺

≥ 0,

Z

̺

d L

= 1 e sup h

̺

(x) : h ≥ 1, x ∈ R

< +∞ .

(4.4) Proposizione Esiste una successione regolarizzante in C

(R

).

Dimostrazione. Si consideri la funzione ϑ : R → R definita da ϑ(s) = ( exp

se s <

, 0 se s ≥

.

Si verifica facilmente che ϑ ∈ C

(R). Sia quindi ̺ : R

→ R definita da

̺(x) = ϑ ( |x|

) R ϑ ( |x|

) d L

(x) .

Allora ̺ ∈ C

(B (0, 1)), essendo nulla fuori dal compatto B (0, 1/2). Inoltre risulta Z

̺ d L

= 1. Per ogni h ≥ 1, la funzione ̺

(x) = h

̺(hx) appartiene a C

(B (0, 1/h)), essendo nulla fuori dal compatto B (0, 1/(2h)). Operando il cambiamento di variabile x = y/h, si ottiene

Z

̺

(x) d L

(x) = Z

̺(hx) h

d L

(x) = Z

̺(y) d L

(y) = 1 . Si verifica facilmente che ̺

possiede tutte le rimanenti propriet`a richieste.

(4.5) Teorema Sia (̺

) una successione regolarizzante in C

(R

) e sia f ∈L

(R

;C).

Per ogni h ≥ 1 definiamo f

: R

→ C ponendo f

(x) :=

Z

f (y)̺

(x − y) dL

(y) . Allora valgono i seguenti fatti:

(a) f

∈ C

(R

; C) e per ogni j = 1, . . . , n si ha D

f

(x) =

Z

f (y) (D

̺

) (x − y) dL

(y) ;

(b) se f `e nulla L

−q.o. fuori da un compatto K di R

, si ha che f

`e nulla (ovunque) fuori dal compatto

{x ∈ R

: d(x, K) ≤ 1/h} ; (c) per ogni x ∈ R

si ha

|f

(x) | ≤ ess sup

B(x,1/h)

|f| ;

(d) se f ∈ L

(R

), risulta f

∈ C

(R

) e per ogni x ∈ R

si ha ess inf

B(x,1/h)

f ≤ f

(x) ≤ ess sup

B(x,1/h)

f .

Dimostrazione.

(a) Fissato x

∈ R

, definiamo una funzione g : B (x

, 1) × R

→ C ponendo g(x, y) = f (y)̺

(x − y) .

Evidentemente g `e di classe C

rispetto a x ed `e L

−misurabile rispetto a y. Inoltre si ha

|g(x, y)| ≤ k̺

k

|f(y)|χ

(y) .

Pertanto g `e L

−sommabile rispetto a y e la funzione f

pu`o essere definita su B (x

, 1).

Si ha anche

|D

g(x, y) | ≤ kD

̺

k

|f(y)|χ

(y) .

Allora, per il Teorema di derivazione sotto il segno di integrale, si ha che f

`e di classe C

su B (x

, 1) e

D

f

(x) = Z

f (y) (D

̺

) (x − y) dL

(y) .

In questo ragionamento, abbiamo utilizzato soltanto il fatto che ̺

∈ C

(B (0, 1/h)).

Poich´e anche D

̺

∈ C

(B (0, 1/h)), si pu`o procedere per induzione, dimostrando che f

∈ C

(B (x

, 1) ; C). Per l’arbitrariet`a di x

, risulta f

∈ C

(R

; C).

(b) Se f = 0 L

−q.o. fuori da K e d(x, K) > 1/h, si ha ̺

(x − y) = 0 per ogni y ∈ K, da cui f

(x) = 0.

(c) Per il Teorema di cambiamento di variabile, si ha Z

̺

(x − y) dL

(y) = Z

̺

(ξ) d L

(ξ) = 1 . Ne segue

|f

(x) | =     Z

f (y)̺

(x − y) dL

(y)    

=     Z

B(x,1/h)

f (y)̺

(x − y) dL

(y)     ≤

≤ ess sup

B(x,1/h)

|f|

Z

B(x,1/h)

̺

(x − y) dL

(y) =

= ess sup

B(x,1/h)

|f|

Z

̺

(x − y) dL

(y) = ess sup

B(x,1/h)

|f| .

(d) La prima affermazione `e evidente. Le disuguaglianze si possono ottenere imitando la dimostrazione della (c).

(4.6) Definizione Se (̺

) `e una successione regolarizzante in C

(R

), f ∈ L

(R

; C) e h ≥ 1, definiamo R

f ∈ C

(R

; C) ponendo

R

f (x) :=

Z

f (y)̺

(x − y) dL

(y) .

Diciamo che ( R

f ) `e la regolarizzata per convoluzione di f .

(4.7) Teorema Sia f ∈ C

(R

; C). Allora per ogni h ≥ 1 e j = 1, . . . , n si ha

D

( R

f ) = R

(D

f ) .

Dimostrazione. Combinando il Teorema (4.5) con la formula di Gauss-Green, si ottiene

D

( R

f ) (x) = Z

f (y) (D

̺

) (x − y) dL

(y) =

= −

Z

f (y)D

(̺

(x − y)) dL

(y) =

= Z

D

f (y)̺

(x − y) dL

(y) = R

(D

f )(x) ,

da cui la tesi.

(4.8) Teorema Sia f : R

→ C una funzione uniformemente continua. Allora si ha

lim

R

f = f

uniformemente su R

.

Dimostrazione. Dato ε > 0, sia δ > 0 tale che

|x − y| < δ =⇒ |f(x) − f(y)| < ε .

Sia h ≥ 1 tale che 1/h < δ Allora per ogni h ≥ h e x ∈ R

si ha

|R

f (x) − f(x)| =     Z

((f (y) − f(x)) ̺

(x − y) dL

(y)     ≤

≤ Z

|f(y) − f(x)|̺

(x − y)dL

(y) =

= Z

B(x,1/h)

|f(y) − f(x)|̺

(x − y) dL

(y) <

<

Z

B(x,1/h)

ε̺

(x − y) dL

(y) = ε Z

̺

(x − y) dL

(y) = ε , da cui la tesi.

(4.9) Corollario Sia f ∈ C

(Ω; C). Allora R

f ∈ C

(Ω; C) definitivamente per h → ∞ e si ha

lim

R

f = f uniformemente su Ω ed in L

(Ω; C) per ogni p ∈ [1, ∞].

Dimostrazione. Sia f = 0 fuori dal compatto K ⊆ Ω e sia σ = inf {|x − y| : x ∈ R

\ Ω, y ∈ K} .

Risulta σ > 0. Pertanto, se 1/h < σ, si ha che R

f `e nulla fuori dal compatto K

=



x ∈ R

: d(x, K) ≤ 1 h



⊆ Ω .

Per la Proposizione (3.3) f `e uniformemente continua. La convergenza uniforme su Ω e la convergenza in L

(Ω; C) discendono quindi dal teorema precedente.

Infine, sia 1 ≤ p < ∞. Risulta Z

Ω

|R

f − f|

d L

= Z

K1

|R

f − f|

d L

≤ (kR

f − fk

)

L

(K

) , da cui la convergenza in L

(Ω; C).

(4.10) Teorema Sia 1 ≤ p < ∞ e sia f ∈ L

(R

; C).

Allora R

f ∈ C

(R

; C) ∩ L

(R

; C), kR

f k

≤ kfk

e si ha

lim

R

f = f

in L

(R

; C).

Dimostrazione. Se 1 < p < ∞, dalla disuguaglianza di H¨older si deduce che

|R

f (x) | =     Z

f (y)̺

(x − y) dL

(y)     ≤

Z

|f(y)|̺

(x − y) dL

(y) =

= Z h

|f(y)| (̺

(x − y))

i

(̺

(x − y))

d L

(y) ≤

≤

Z

|f(y)|

̺

(x − y) dL

(y)



Z

̺

(x − y) dL

(y)



=

=

Z

|f(y)|

̺

(x − y) dL

(y)



. Ne segue

|R

f (x) |

≤ Z

|f(y)|

̺

(x − y) dL

(y) , disuguaglianza che `e evidentemente vera anche per p = 1.

Integrando rispetto a x ed applicando il Teorema di Fubini, si ottiene Z

|R

f (x) |

d L

(x) ≤

Z Z

|f(y)|

̺

(x − y) dL

(y)



d L

(x) =

= Z

|f(y)|

Z

̺

(x − y) dL

(x)



d L

(y) = Z

|f(y)|

d L

(y) , da cui R

f ∈ L

(R

) e kR

f k

≤ kfk

.

Sia ora ε > 0. Per il Corollario (3.6) esiste g ∈ C

(R

; C) tale che kg − fk

< ε/3.

Per il Corollario (4.9) esiste h ≥ 1 tale che kR

g − gk

< ε/3 per ogni h ≥ h. D’altronde risulta

( R

g(x) − R

f (x)) = Z

(g(y) − f(y)) ̺

(x − y) dL

(y) = R

(g − f)(x) ,

quindi kR

g − R

f k

≤ kg − fk

< ε/3. Per la disuguaglianza triangolare si conclude che kR

f − fk

≤ kR

f − R

g k

+ kR

g − gk

+ kg − fk

< ε

per ogni h ≥ h.

(4.11) Teorema Sia K un compatto contenuto nell’aperto Ω. Allora esiste ϑ ∈ C

(Ω)

tale che χ

≤ ϑ ≤ χ

.

Dimostrazione. Posto

K

= {x ∈ R

: d(x, K) ≤ δ} ,

sia δ > 0 tale che K

⊆ Ω. Scelto h ≥ 1 tale che 1/h < δ, poniamo ϑ(x) =

Z

χ

(y)̺

(x − y) dL

(y) .

Poich´e x 6∈ K

implica B (x, 1/h) ∩ K

= ∅, si ha che ϑ `e nulla fuori dal compatto K

. D’altra parte x ∈ K implica B (x, 1/h) ⊆ K

, per cui ϑ(x) = 1 su K. Le altre propriet`a di ϑ sono evidenti.

(4.12) Definizione Diciamo che (K

) `e una successione esaustiva di compatti in Ω, se ogni K

`e un sottoinsieme compatto di Ω e si ha

∀h ∈ N : K

⊆ int (K

) ; Ω = [

h∈N

int (K

) .

(4.13) Lemma Esiste una successione esaustiva di compatti in Ω.

Dimostrazione. Se Ω = R

, basta porre K

= B (0, h + 1). Se invece Ω 6= R

, sia K

= B (0, h + 1) ∩



x ∈ R

: d(x, R

\ Ω) ≥ 1 h + 1

 .

Evidentemente K

`e un compatto in Ω. Le altre propriet`a discendono facilmente dal fatto che

B (0, h + 2) ∩



x ∈ R

: d(x, R

\ Ω) > 1 h + 2



`e un aperto contenuto in K

e contenente K

.

(4.14) Teorema Sia 1 ≤ p < ∞. Allora C

(Ω; C) `e denso in L

(Ω; C).

Pi` u precisamente, per ogni f ∈ L

(Ω; C) ed ε > 0 esiste g ∈ C

(Ω; C) tale che kgk

≤ kfk

, max

Ω

|g| ≤ ess sup

Ω

|f| , kg − fk

< ε .