UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali EQUAZIONI DIFFERENZIALI Prof. Marco Degiovanni Anno Accademico 2010/2011

Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Prof. Marco Degiovanni

Anno Accademico 2010/2011

1 Spazi di Sobolev 5

1 Alcuni complementi sugli spazi di Lebesgue . . . . 5

2 Prime propriet`a degli spazi di Sobolev . . . . 9

3 Teoremi di immersione . . . . 37

4 Teoremi di compattezza . . . . 48

2 Equazioni ellittiche in forma di divergenza 55 1 Formulazione debole . . . . 55

2 L’alternativa di Fredholm . . . . 59

3 Il principio del massimo debole . . . . 62

4 Regolarit`a delle soluzioni deboli . . . . 70

A Una versione semplificata 77

Elenco dei simboli 79

Indice analitico 80

3

Spazi di Sobolev

1 Alcuni complementi sugli spazi di Lebesgue

Nel seguito, per ogni p ∈ [1, ∞], la norma canonica dello spazio di Lebesgue L^p verr`a denotata con k k<sub>p</sub>, mentre il prodotto scalare canonico di L<sup>2</sup> verr`a denotato con ( | )₂. (1.1) Teorema Sia X uno spazio normato su K separabile. Allora, per ogni successione (ϕ_h) limitata in X⁰, esistono ϕ ∈ X⁰ ed una sottosuccessione (ϕ_hk) tali che

∀x ∈ X : lim

k hϕ_hk, xi = hϕ, xi , kϕk ≤ lim inf

h kϕ_hk .

Dimostrazione. A meno di passare ad una prima sottosuccessione, che denotiamo ancora con (ϕh), possiamo supporre che esista

limh kϕ_hk = lim inf

h kϕ_hk .

Sia {x_j : j ∈ N} un sottoinsieme al pi`u numerabile denso in X. Poich´e

|hϕ_h, x₀i| ≤ kϕ_hk kx₀k ,

si ha che (hϕ_h, x₀i) `e una successione limitata in K. Sia ν0 : N → N strettamente crescente tale che hϕ_ν0(h), x₀i
sia convergente in K.

Poich´e

hϕ_ν0(h), x1i

≤ kϕ_ν0(h)k kx₁k ,

si ha che anche hϕ_ν0(h), x₁i
`e una successione limitata in K. Sia η : N → N strettamente crescente tale che hϕ<sub>ν0(η(h))</sub>, x<sub>1</sub>i
sia convergente in K. Allora, posto ν1 = ν<sub>0</sub>◦ η, si ha che ν<sub>1</sub> : N → N `e strettamente crescente e (ϕν1(h)) `e una sottosuccessione di (ϕ_ν0(h)).

5

Procedendo ricorsivamente, si costruisce una successione (ν_j) di funzioni strettamente crescenti da N in N tali che, per ogni j ∈ N,



hϕ_νj(h), xji

h∈N

sia convergente in K e tali che (ϕνj+1(h)) sia una sottosuccessione di (ϕ_νj(h)). Se poniamo ν(k) = ν_k(k), risulta che ν : N → N `e strettamente crescente e, per ogni j ∈ N, risulta

∀k ≥ j : ν(k) = ν_j(η_j(k))

per una certa ηj : N → N strettamente crescente. Ne segue che hϕν(k), xji
`e convergente in K per ogni j ∈ N.

Se x ∈ X ed ε > 0, sia xj tale che

 sup

h

kϕ_hk



kx − x_jk < ε 4. Sia poi h ∈ N tale che

hϕ_ν(h)− ϕ_ν(k), x_ji < ε

2 per ogni h, k ≥ h. Allora per ogni h, k ≥ h risulta

hϕ_ν(h)− ϕ_ν(k), xi  ≤ 

hϕ_ν(h)− ϕ_ν(k), x_ji +

hϕ_ν(h)− ϕ_ν(k), x − x_ji ≤

≤ 

hϕ_ν(h)− ϕ_ν(k), xji +

ϕ_ν(h)− ϕ_ν(k)

kx − x_jk ≤

≤ 

hϕ_ν(h)− ϕ_ν(k), xji +

ϕ_ν(h) +

ϕ_ν(k)

kx − x_jk

≤ 

hϕ_ν(h)− ϕ_ν(k), xji + 2

 sup

h

kϕ_hk



kx − x_jk < ε , per cui hϕ_ν(k), xi
`e di Cauchy, quindi convergente in K, per ogni x ∈ X.

Definiamo ϕ : X → K ponendo

∀x ∈ X : ϕ(x) = lim

k hϕ_ν(k), xi . Evidentemente ϕ `e lineare. Inoltre, per ogni x ∈ X, si ha

|ϕ(x)| = lim

k |hϕ_ν(k), xi| ≤



limk kϕ_ν(k)k

 kxk =

 lim inf

h kϕ_hk

 kxk . Ne segue anzitutto che ϕ `e continua. Se poi kxk ≤ 1, risulta

|ϕ(x)| ≤ lim inf

h kϕ_hk , per cui

kϕk ≤ lim inf

h kϕ_hk

e la dimostrazione `e completa.

(1.2) Teorema Sia E un sottoinsieme Lⁿ−misurabile di Rⁿ e sia 1 < p ≤ ∞.

Allora per ogni successione (uh) limitata in L^p(E) esistono u ∈ L^p(E) ed una sottosuccessione (u_hk) tali che

∀f ∈ L^p0(E) : lim

k

Z

E

f u_hkdLⁿ= Z

E

f u dLⁿ, kuk_p≤ lim inf

h ku_hk_p.

Dimostrazione. Trattiamo soltanto il caso p = 2. Denotiamo con R : L²(E) → (L²(E))⁰ l’isometria biiettiva associata al Teorema di F. Riesz. Se poniamo ϕh= R(uh), si ha che (ϕ_h) `e una successione limitata in (L²(E))⁰. Essendo L²(E) separabile, dal Teorema1.1 segue che esistono ϕ ∈ (L²(E))⁰ ed una sottosuccessione (u_hk) tali che

∀f ∈ L²(E) : lim

k

Z

E

f u_hkdLⁿ= lim

k hϕ_hk, f i = hϕ, f i , kϕk ≤ lim inf

h kϕ_hk = lim inf

h ku_hk₂. Sia u ∈ L²(E) tale che R(u) = ϕ. Allora risulta

∀f ∈ L²(E) : lim

h

Z

E

f u_ν(h)dLⁿ= Z

E

f u dLⁿ, kuk₂≤ lim inf

h ku_hk₂, da cui la tesi.

(1.3) Teorema Sia E un sottoinsieme Lⁿ−misurabile di Rⁿ e siano p ∈]1, ∞], q ∈ [1, p[, r ∈ [1, ∞[ tali che

1 r +1

p = 1 q.

Sia a ∈ L^r(E) e sia (u_h) una successione limitata in L^p(E) e convergente Lⁿ−q.o. ad u.

Allora u ∈ L^p(E) e risulta

limh kau_h− auk_q = 0 .

Dimostrazione. Il caso p = ∞, quindi r = q, pu`o essere trattato facilmente con il Teorema della convergenza dominata.

Sia 1 < p < ∞. Per il Lemma di Fatou, risulta Z

E

|u|^pdLⁿ≤ lim inf

h

Z

E

|u_h|^pdLⁿ< +∞ ,

da cui u ∈ L^p(E). Inoltre dalla Disuguaglianza di H¨older segue che au_h, au ∈ L^q(E).

D’altronde, per ogni ε > 0, si ha

|au_h− au|^q ≤ 2^q−1|au_h|^q+ 2^q−1|au|^q=

= 2^q−1|ε⁻¹a ε u_h|^q+ 2^q−1|au|^q≤

≤ 2^q−1q

r ε^−r|a|^r+ 2^q−1 q

pε^p|u_h|^p+ 2^q−1|au|^q. Applicando il Lemma di Fatou alla successione

2^q−1 q

rε^−r|a|^r+ 2^q−1 q

pε^p|u_h|^p+ 2^q−1|au|^q− |au_h− au|^q , si ottiene

2^q−1 q rε^−r

Z

E

|a|^rdLⁿ+ 2^q−1 q pε^p

Z

E

|u_h|^pdLⁿ+ 2^q−1 Z

E

|au|^qdLⁿ≤

≤ lim inf

h

Z

E

 2^q−1q

r ε^−r|a|^r+ 2^q−1q

pε^p|u_h|^p+ 2^q−1|au|^q− |au_h− au|^q



dLⁿ≤

≤ Z

E

h 2^q−1 q

rε^−r|a|^r+ 2^q−1|au|^qi

dLⁿ+ 2^q−1 q

pε^p sup

h∈N

Z

E

|u_h|^pdLⁿ+

− lim sup

h

Z

E

|au_h− au|^q dLⁿ, da cui

lim sup

h

Z

E

|au_h− au|^q dLⁿ≤ 2^q−1 q pε^p

 sup

h∈N

Z

E

|u_h|^pdLⁿ

 . Per l’arbitrariet`a di ε, si conclude che

limh

Z

E

|au_h− au|^q dLⁿ= 0 , da cui la tesi.

(1.4) Corollario Sia E un sottoinsieme Lⁿ−misurabile di Rⁿ con Lⁿ(E) < ∞, sia p ∈]1, ∞] e sia (u_h) una successione limitata in L^p(E) e convergente Lⁿ−q.o. ad u.

Allora u ∈ L^p(E) e kuh− uk_q → 0 per ogni q ∈ [1, p[.

Dimostrazione. Si tratta del caso particolare del Teorema (1.3) in cui a(x) = 1.

Chiaramente esiste r ∈ [1, ∞[ tale che 1 r + 1

p = 1 q

e risulta a ∈ L^r(E), perch´e Lⁿ(E) < ∞.

(1.5) Teorema Sia E un sottoinsieme Lⁿ−misurabile di Rⁿ e sia p ∈ [1, ∞]. Allora, per ogni u ∈ L^p(E), la relazione

∀f ∈ L^p0(E) : hTu, f i :=

Z

E

f u dLⁿ

definisce un elemento T_u ∈

L^p0(E)0

e l’applicazione L^p(Ω) −→ 

L^p0(Ω)

0

u 7→ Tu

`

e lineare e continua.

Dimostrazione. Per ogni u ∈ L^p(E) e f ∈ L^p0(E) risulta 

   Z

E

f u dLⁿ    

≤ kuk_pkf k_p⁰.

Ne segue che T_u : L^p0(E) → R `e lineare e continua e che kTuk ≤ kuk_p, da cui la tesi.

2 Prime propriet`a degli spazi di Sobolev

Nel seguito di questo capitolo, Ω denoter`a un aperto in Rⁿ.

(2.1) Definizione Denotiamo con W_loc^1,1(Ω) l’insieme delle u ∈ L¹_loc(Ω) per cui esistono w₁, . . . , w_n∈ L¹_loc(Ω) tali che

∀j = 1, . . . , n, ∀f ∈ C_c^∞(Ω) : − Z

Ω

D_jf u dLⁿ= Z

Ω

f w_jdLⁿ.

Per ogni u ∈ C¹(Ω) si ha (col solito abuso di notazione) u ∈ L¹_loc(Ω) e D_ju ∈ L¹_loc(Ω).

Dalla formula di Gauss-Green si deduce che u ∈ W_loc^1,1(Ω) con wj = Dju. Risulta quindi C¹(Ω) ⊆ W_loc^1,1(Ω) ⊆ L¹_loc(Ω) .

Se u ∈ W_loc^1,1(Ω) e ˆw₁, . . . , ˆw_n, ˜w₁, . . . , ˜w_n∈ L¹_loc(Ω) sono tali che

∀f ∈ C_c^∞(Ω) : − Z

Ω

Djf u dLⁿ= Z

Ω

f ˆwjdLⁿ,

∀f ∈ C_c^∞(Ω) : − Z

Ω

Djf u dLⁿ= Z

Ω

f ˜wjdLⁿ, risulta

∀f ∈ C_c^∞(Ω) : Z

Ω

f ( ˆw_j− ˜w_j) dLⁿ= 0 . Ne segue ˆwj(x) = ˜wj(x) per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω, ossia ˆwj = ˜wj in L¹_loc(Ω).

Le funzioni wj sono quindi univocamente determinate come elementi di L¹_loc(Ω).

Esse si denotano col simbolo D_ju e si chiamano derivate parziali di u nel senso delle distribuzioni. Se u ∈ C¹(Ω), la notazione introdotta `e consistente con quella classica.

(2.2) Teorema Sia (%h) una successione regolarizzante in C_c^∞(Rⁿ) e sia u ∈ W_loc^1,1(Rⁿ).

Allora per ogni j = 1, . . . , n si ha

D_j(R_hu) = R_h(D_ju) .

Dimostrazione. Per definizione di derivata distribuzionale, risulta Dj(R_hu) (x) =

Z

u(y) (Dj%_h) (x − y) dLⁿ(y) = − Z

u(y)Dyj(%_h(x − y)) dLⁿ(y) =

= Z

D_ju(y)%_h(x − y) dLⁿ(y) = R_h(D_ju)(x) , da cui la tesi.

(2.3) Definizione Per ogni p ∈ [1, ∞] poniamo W_loc^1,p(Ω) :=n

u ∈ W_loc^1,1(Ω) : u, D₁u, . . . , D_nu ∈ L^p_loc(Ω)o . Pi`u in generale, poniamo W_loc^1,p(Ω; R^N) := 

W_loc^1,p(Ω)N

e, per ogni u ∈ W_loc^1,p(Ω; R^N) e j = 1, . . . , n,

Dju := (Dju1, . . . , DjuN) .

Si verifica facilmente che W_loc^1,p(Ω) `e un sottospazio vettoriale di L^p_loc(Ω) e che per ogni j = 1, . . . , n l’applicazione

W_loc^1,p(Ω) → L^p_loc(Ω) u 7−→ D_ju

`

e lineare. Inoltre 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ implica W_loc^1,q(Ω) ⊆ W_loc^1,p(Ω).

(2.4) Lemma Sia u ∈ W_loc^1,1(Ω) tale che u ∈ L^p_loc⁰(Ω), D₁u ∈ L^p_loc¹(Ω), . . . , D_nu ∈ L^p_locⁿ(Ω) con p₀, . . . , p_n∈ [1, ∞[.

Allora per ogni compatto K ⊆ Ω, per ogni ε > 0 e per ogni r > 0 tale che {x ∈ Rⁿ: d(x, K) ≤ r} ⊆ Ω

esiste v ∈ C_c^∞(Ω) tale che

kv − uk_Lp0(K) < ε ,

∀x ∈ K : |v(x)| ≤ ess sup

B(x,r)

|u| ,

∀j = 1, . . . , n : kD_jv − Djuk_Lpj(K) < ε ,

∀j = 1, . . . , n, ∀x ∈ K : |D_jv(x)| ≤ ess sup

B(x,r)

|D_ju| .

Dimostrazione. Sia

K⁰= {x ∈ Rⁿ: d(x, K) ≤ r} , sia ψ ∈ C_c^∞(Ω) tale che ψ(x) = 1 su K⁰ e siano

w0(x) =

( ψ(x)u(x) se x ∈ Ω , 0 se x ∈ Rⁿ\ Ω ,

wj(x) =

( ψ(x)D_ju(x) se x ∈ Ω , 0 se x ∈ Rⁿ\ Ω . Sia h ≥ 1 tale che 1/h < r e



x ∈ Rⁿ: d(x, supt(ψ)) ≤ 1 h



⊆ Ω ,

sia (%_h) una successione regolarizzante in C_c^∞(Rⁿ) e sia u_h= R_hw₀. Come `e noto, si ha u_h ∈ C_c^∞(Ω) e

∀x ∈ K : |u_h(x)| ≤ ess sup

B(x,r)

|u| . Infine, dal momento che w0 ∈ L^p0(Rⁿ), risulta

limh u_h= w₀ in L^p0(Rⁿ). Ne segue

limh uh = u in L^p0(K), quindi

ku_h− uk_Lp0(K) < ε per h sufficientemente grande.

D’altronde per ogni x ∈ K risulta Djuh(x) =

Z

Ω

ψ(y)u(y)(Dj%h)(x − y) dLⁿ(y) = − Z

Ω

u(y)Dyj{%_h(x − y)} dLⁿ(y) =

= Z

Ω

Dju(y)%h(x − y) dLⁿ(y) = Z

wj(y)%h(x − y) dLⁿ(y) . Allora con analogo ragionamento si dimostra che

∀x ∈ K : |D_ju_h(x)| ≤ ess sup

B(x,r)

|D_ju| ,

kD_ju_h− D_juk_Lpj(K) < ε per h sufficientemente grande.

Ponendo v = uh con h abbastanza grande, si ottiene la tesi.

Possiamo ora dimostrare il principale risultato di approssimazione.

(2.5) Teorema Sia u ∈ W_loc^1,1(Ω) tale che u ∈ L^p_loc⁰(Ω), D1u ∈ L^p_loc¹(Ω), . . . , Dnu ∈ L^p_locⁿ(Ω) con p0, . . . , pn∈ [1, ∞].

Allora esistono w_j ∈ L^p_loc^j(Ω) per 0 ≤ j ≤ n ed una successione (u_h) in C_c^∞(Ω) tali che per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω si abbia

limh u_h(x) = u(x) ,

∀h ∈ N : |u_h(x)| ≤ w0(x) ,

∀j = 1, . . . , n : lim

h D_ju_h(x) = D_ju(x) ,

∀j = 1, . . . , n , ∀h ∈ N : |D_ju_h(x)| ≤ wj(x) .

Dimostrazione. Sia (K_h) una successione esaustiva di compatti in Ω e sia (r_h) una successione decrescente in ]0, ∞[ con

{x ∈ Rⁿ: d(x, Kh) ≤ rh} ⊆ K_h+1.

Consideriamo anzitutto il caso in cui p_j ∈ [1, ∞[ per ogni j = 0, . . . , n. Per il lemma precedente esiste una successione (u_h) in C_c^∞(Ω) tale che

ku_h− uk_Lp0(K_h)< 2^−h,

kD_ju_h− D_juk_Lpj(Kh)< 2^−h,

∀x ∈ K_h : |u_h(x)| ≤ ess sup

B(x,rh)

|u| ,

∀x ∈ K_h: |D_ju_h(x)| ≤ ess sup

B(x,rh)

|D_ju| . Poniamo

w₀(x) = sup

h

|u_h(x)| ,

∀j = 1, . . . , n : w_j(x) = sup

h

|D_ju_h(x)| .

Ovviamente risulta |u_h(x)| ≤ w₀(x) e |D_ju_h(x)| ≤ w_j(x) per ogni x ∈ Ω.

Inoltre per ogni i ∈ N si ha

∞

X

h=0

ku_h− uk_Lp0(Ki) ≤

i−1

X

h=0

ku_h− uk_Lp0(Ki)+

∞

X

h=i

ku_h− uk_Lp0(Kh)<

<

i−1

X

h=0

ku_h− uk_Lp0(K

i)+

∞

X

h=i

2^−h< +∞ .

Ne segue che lim

h u_h(x) = u(x) per Lⁿ−q.o. x ∈ K_i e che esiste v_i ∈ L^p0(K_i) tale che

|u_h(x)| ≤ vi(x) per Lⁿ−q.o. x ∈ K_i. Essendo Ω unione numerabile dei Ki, risulta limh uh(x) = u(x) per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω. Inoltre per ogni compatto K ⊆ Ω esiste m ∈ N tale che K ⊆ Km. Ne segue

Z

K

w₀^p0dLⁿ≤ Z

Km

w₀^p0dLⁿ≤ Z

Km

v_m^p0dLⁿ< +∞ ,

per cui w0(x) < +∞ per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω e, identificando w₀ con la sua classe di equivalenza, w0∈ L^p_loc⁰(Ω).

In modo simile si prova che lim

h D_ju_h(x) = D_ju(x) per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω e che w_j ∈ L^p_loc^j(Ω).

Consideriamo ora il caso p₀ = ∞ e p₁, . . . , p_n ∈ [1, ∞[. Poich´e L^∞_loc(Ω) ⊆ L¹_loc(Ω), esiste una successione (uh) in C_c^∞(Ω) tale che

ku_h− uk_L1(Kh)< 2^−h kD_juh− D_juk_Lpj(Kh)< 2^−h,

∀x ∈ K_h : |u_h(x)| ≤ ess sup

B(x,rh)

|u| ,

∀x ∈ K_h: |D_ju_h(x)| ≤ ess sup

B(x,rh)

|D_ju| .

Definite come in precedenza w₀, w₁, . . . , w_n, si ha w_j ∈ L^p_loc^j(Ω) per 1 ≤ j ≤ n e per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω risulta

limh u_h(x) = u(x) ,

limh D_ju_h(x) = D_ju(x) .

Inoltre per ogni compatto K ⊆ Ω esiste m ∈ N tale che K ⊆ Km. Tenuto conto della scelta di rm, risulta

∀h ≥ m : max

K |u_h| ≤ ess sup

Km+1

|u| , quindi

ess sup

K

w0 ≤ max (

maxK |u₀|, . . . , max

K |u_m−1|, ess sup

Km+1

|u|

) . Pertanto w₀ ∈ L^∞_loc(Ω).

Gli altri casi possono essere trattati in modo simile.

(2.6) Proposizione Esistono due funzioni H : R → [0, 1] e ϑ : Rⁿ → [0, 1] di classe C^∞ tali che

H(s) = 0 se s ≤ 0 , H(s) = 1 se s ≥ 1 , ϑ(x) = 1 se |x| ≤ 1 , ϑ(x) = 0 se |x| ≥ 2 .

Dimostrazione. Sia % ∈ C_c^∞(] − 1, 1[) tale che %(s) ≥ 0 per ogni s ∈ R e tale che R % dL¹= 1. Se definiamo ϕ : R → R di classe C^∞ ponendo

ϕ(s) = Z s

0

%(t − 1) dL¹(t) ,

risulta 0 ≤ ϕ(s) ≤ 1 per ogni s ∈ R, ϕ(s) = 0 se s ≤ 0 e ϕ(s) = 1 se s ≥ 2. Se si pone H(s) = ϕ(2s) e ϑ(x) = 1 − H(|x|²− 1), si verifica facilmente che H e ϑ possiedono i requisiti richiesti.

Dimostriamo ora un primo risultato sulla derivazione di una composizione.

(2.7) Teorema Sia u ∈ W_loc^1,1(Ω; R^N) e sia g : R^N → R una funzione di classe C¹. Valgono allora i seguenti fatti:

(a) g(u) `e L<sup>n</sup>-misurabile e ∇g(u) · D<sub>j</sub>u `e Lⁿ-misurabile per ogni j = 1, . . . , n;

(b) se si ha g(u) ∈ L¹_loc(Ω) e ∇g(u) · Dju ∈ L¹_loc(Ω) per ogni j = 1, . . . , n, allora risulta g(u) ∈ W_loc^1,1(Ω) e Dj(g(u)) = ∇g(u) · Dju per ogni j = 1, . . . , n.

Dimostrazione. Trattiamo per semplicit`a solo il caso N = 1. Dalla continuit`a di g e g⁰ si deduce che g(u) e g⁰(u) sono Lⁿ−misurabili, per cui anche g⁰(u)D_ju `e Lⁿ−misurabile.

La (a) `e quindi dimostrata. La dimostrazione della (b) sar`a articolata in tre passi.

I) Consideriamo anzitutto il caso in cui g⁰ `e limitata.

Sia c ≥ 0 tale che |g⁰(s)| ≤ c e |g(s)| ≤ c(1 + |s|). Ne segue |g(u(x))| ≤ c(1 + |u(x)|),

|g⁰(u(x))D_ju(x)| ≤ c|D_ju(x)|, per cui in questo caso `e superfluo richiedere esplicitamente che g(u) ∈ L¹_loc(Ω) e g⁰(u)Dju ∈ L¹_loc(Ω).

Dobbiamo provare che

∀f ∈ C_c^∞(Ω) : − Z

Ω

Djf (x)g(u(x)) dLⁿ(x) = Z

Ω

f (x)g⁰(u(x))Dju(x) dLⁿ(x) . Sia f ∈ C_c^∞(Ω) e siano (uh) una successione in C_c^∞(Ω) e wj ∈ L¹_loc(Ω) conformi al Teorema (2.5). Poich´e u_h∈ C_c^∞(Ω), dalla formula di Gauss-Green si deduce che

− Z

Ω

D_jf (x)g(u_h(x)) dLⁿ(x) = Z

Ω

f (x)g⁰(u_h(x))D_ju_h(x) dLⁿ(x) . Tenendo presente che per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω si ha

lim

h D_jf (x)g(u_h(x)) = D_jf (x)g(u(x)) ,

|D_jf (x)g(u_h(x))| ≤ c |D_jf (x)|(1 + w₀(x)) , dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

limh

Z

Ω

D_jf (x)g(u_h(x)) dLⁿ(x) = Z

Ω

D_jf (x)g(u(x)) dLⁿ(x) . D’altronde per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω si ha

limh f (x)g⁰(uh(x))Djuh(x) = f (x)g⁰(u(x))Dju(x) ,

|f (x)g⁰(u_h(x))D_ju_h(x)| ≤ c |f (x)|w_j(x) . Sempre dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

limh

Z

Ω

f (x)g⁰(uh(x))Djuh(x) dLⁿ(x) = Z

Ω

f (x)g⁰(u(x))Dju(x) dLⁿ(x) , da cui l’affermazione.

II) Consideriamo ora il caso in cui g `e limitata e poniamo c = sup |g|. Poich´e |g(u(x))| ≤ c, in questo caso `e superfluo richiedere esplicitamente che g(u) ∈ L¹_loc(Ω), mente va espressamente supposto che g⁰(u)D_ju ∈ L¹_loc(Ω).

Sia ϑ : R → [0, 1] di classe C^∞ tale che ϑ(s) = 1 per |s| ≤ 1 e ϑ(s) = 0 per |s| ≥ 2.

Definiamo g_h : R → R ponendo gh(s) = ϑ(s/h)g(s). Allora g_h ∈ C_c¹(R). In particolare,

g⁰_h `e limitata, per cui

∀f ∈ C_c^∞(Ω) : − Z

Ω

Djf (x)ϑ u(x) h



g(u(x)) dLⁿ(x) =

= Z

Ω

f (x)ϑ u(x) h



g⁰(u(x))D_ju(x) dLⁿ(x)+

+ 1 h

Z

Ω

f (x)g(u(x))ϑ⁰ u(x) h



D_ju(x) dLⁿ(x) . Tenendo presente che per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω si ha

limh Djf (x)ϑ u(x) h



g(u(x)) = Djf (x)g(u(x)) , 

Djf (x)ϑ u(x) h



g(u(x))    

≤ c |D_jf (x)| , dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

limh

Z

Ω

D_jf (x)ϑ u(x) h



g(u(x)) dLⁿ(x) = Z

Ω

D_jf (x)g(u(x)) dLⁿ(x) . D’altronde per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω si ha

limh f (x)ϑ u(x) h



g⁰(u(x))Dju(x) = f (x)g⁰(u(x))Dju(x) , 

f (x)ϑ u(x) h



g⁰(u(x))Dju(x)    

≤ |f (x)| |g⁰(u(x))Dju(x)| . Sempre dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

limh

Z

Ω

f (x)ϑ u(x) h



g⁰(u(x))D_ju(x) dLⁿ(x) = Z

Ω

f (x)g⁰(u(x))D_ju(x) dLⁿ(x) . Infine risulta

    Z

Ω

f (x)g(u(x))ϑ⁰ u(x) h



Dju(x) dLⁿ(x)    

≤ c kϑ⁰k_∞ Z

Ω

|f (x)D_ju(x)| dLⁿ(x) , per cui

limh

1 h

Z

Ω

f (x)g(u(x))ϑ⁰ u(x) h



D_ju(x) dLⁿ(x) = 0 . Ne segue l’affermazione.

III) Consideriamo infine il caso generale, in cui va espressamente supposto che g(u) ∈ L¹_loc(Ω) e che g⁰(u)Dju ∈ L¹_loc(Ω).

Definiamo T_h : R → R ponendo Th(s) = ϑ(s/h)s. Allora T_h`e di classe C^∞, limitata con T_h(s) = s per |s| ≤ h e |T_h(s)| ≤ |s| per ogni s ∈ R. Inoltre

T_h⁰(s) = ϑs h



+ ϑ⁰s h

 s h,

per cui |T_h⁰(s)| ≤ 1 + 2kϑ⁰k_∞per ogni s ∈ R.

Definiamo g_h: R → R ponendo gh(s) = T_h(g(s)). Allora g_h`e di classe C¹ e limitata con

g⁰_h(u)Dju = T_h⁰(g(u))g⁰(u)Dju ∈ L¹_loc(Ω) . Dal passo precedente, si deduce che

∀f ∈ C_c^∞(Ω) : − Z

Ω

Djf (x)T_h(g(u(x))) dLⁿ(x) =

= Z

Ω

f (x)T_h⁰(g(u(x)))g⁰(u(x))Dju(x) dLⁿ(x) . Tenendo presente che per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω si ha

limh Djf (x)T_h(g(u(x))) = Djf (x)g(u(x)) ,

|D_jf (x)T_h(g(u(x)))| ≤ |D_jf (x)||g(u(x))| , dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

limh

Z

Ω

D_jf (x)T_h(g(u(x))) dLⁿ(x) = Z

Ω

D_jf (x)g(u(x)) dLⁿ(x) . D’altronde per Lⁿ−q.o. x ∈ Ω si ha

limh f (x)T_h⁰(g(u(x)))g⁰(u(x))D_ju(x) = f (x)g⁰(u(x))D_ju(x) ,

|f (x)T_h⁰(g(u(x)))g⁰(u(x))Dju(x)| ≤ 1 + 2kϑ⁰k_∞
|f (x)||g⁰(u(x))Dju(x)| . Sempre dal Teorema della convergenza dominata si deduce che

limh

Z

Ω

f (x)T_h⁰(g(u(x)))g⁰(u(x))Dju(x) dLⁿ(x) = Z

Ω

f (x)g⁰(u(x))Dju(x) dLⁿ(x) , da cui la tesi.

(2.8) Teorema Siano u, v ∈ W_loc^1,1(Ω). Valgono allora i seguenti fatti:

(a) uv `e L<sup>n</sup>-misurabile e (vDju + uDjv) `e Lⁿ-misurabile per ogni j = 1, . . . , n;

(b) se si ha uv ∈ L¹_loc(Ω) e (vD_ju + uD_jv) ∈ L¹_loc(Ω) per ogni j = 1, . . . , n, allora risulta uv ∈ W_loc^1,1(Ω) e D_j(uv) = vD_ju + uD_jv per ogni j = 1, . . . , n.