Matematica Discreta
Lezione del giorno 26 novembre 2010 Funzioni
Data una relazione R dall’insieme A all’insieme B, può avvenire che qualche elemento di A non sia associato nella relazione R a nessun elemento di B oppure che qualche elemento di A sia associato nella relazione R a più di un elemento di B.
Questa osservazione conduce al concetto di funzione.
Dati gli insiemi A,B, una funzione da A a B è una relazione da A a B tale che ogni elemento di A è associato ad uno e un solo elemento di B.
L’insieme A è detto dominio della funzione, l’insieme B codominio.
Esempio: se A= {1,2,-2,3}, B={1,3,4,9}, e se la relazione da A a B è descritta dal predicato P(x,y)=”x2=y” (quindi in pratica un elemento di A è associato ad un elemento di B se il quadrato del primo è uguale al secondo) allora si ottiene una funzione da A a B in quanto il sottoinsieme R del prodotto cartesiano AxB che descrive in modo esplicito la relazione è R={(1,1),(2,4),(-2,4),(3,9)} e si osserva che ogni elemento di A è associato ad uno e un solo elemento di B.
Spesso una funzione da A a B è indicata col simbolo f: A B. Dato un elemento a del dominio A, l’unico elemento b del codominio B che è associato all’elemento a è detto corrispondente o immagine di a, ed è indicato con il simbolo f(a).
Nel caso di funzioni matematiche fra insiemi numerici, talvolta una funzione f: A B è definita scrivendo un’espressione del tipo f(x)=….. dove i puntini contengono una formula algebrica nella variabile x, intendendo con ciò che, dato un elemento aA, il corrispondente b=f(a)B si ottiene sostituendo nella formula la variabile con il valore a, e calcolando il risultato. Naturalmente non tutte le formule producono funzioni da A a B, come mostra il seguente esempio.
Esempio: se Z è l’insieme dei numeri interi relativi ed N quello dei numeri naturali (interi positivi), la formula f(x)=x2+1 definisce una funzione da Z a N (perché ad ogni intero relativo a, positivo, negativo o nullo, è associato un unico intero positivo f(a)=a2+1). Invece se Q è l’insieme dei numeri razionali relativi, f(x)=1/(x-2) non definisce una funzione da Z a Q (perché l’intero relativo 2 non ha corrispondente f(2) in Q).
Se la relazione è rappresentata graficamente (con le frecce e i diagrammi di Eulero-Venn), essa è una funzione quando da ogni elemento del dominio A ha origine una e una sola freccia verso il codominio B.
Esempio:
Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che è una funzione da A a B R
A B 1
2 6
2 3 5 6 7
Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che non è una funzione da A a B (l’elemento 2A non ha corrispondente in B).
R
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che non è una funzione da A a B
(l’elemento 2A ha più di un corrispondente in B).
R
A B
Se la relazione è rappresentata con una matrice, essa è una funzione quando ogni riga contiene un solo valore=1 (e tutti gli altri =0).
Negli esempi che seguono (di relazioni da un insieme A con 4 elementi ad un insieme B con 3 elementi) la prima matrice rappresenta una relazione che è una funzione, la seconda e la terza no (nella seconda matrice la seconda riga non contiene valori =1, nella terza matrice la seconda riga contiene più di un valore =1):
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 2 6
2 5 7
1 2 6
2 3 5 6 7
Funzioni iniettive
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta iniettiva quando elementi diversi del dominio A hanno sempre corrispondenti diversi nel codominio B.
Quindi f sarà non iniettiva quando esistono almeno 2 elementi diversi del dominio A che hanno lo stesso corrispondente nel codominio B.
Se f è rappresentata graficamente, la f è iniettiva quando le frecce che hanno origine dagli elementi del dominio A arrivano su elementi tutti diversi nel codominio B (cioè non devono esistere 2 frecce che hanno la “punta” sullo stesso elemento di B).
Esempio:
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione iniettiva
f
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione non iniettiva (gli elementi diversi 1 f e 2 del dominio A hanno lo stesso corrispondente)
A B
Se f è rappresentata con una matrice, la f è iniettiva quando ogni colonna non contiene più di un valore =1 (quindi in ogni colonna non vi sono valori =1 oppure vi è esattamente un solo valore=1).
In modo formale, per verificare se una funzione è iniettiva si deve dimostrare la seguente implicazione:
a,bA, ab f(a)f(b)
La dimostrazione si effettua in genere “per assurdo”: si suppone vera l’ipotesi e falsa la tesi (quindi si suppone per assurdo che a,bA, ab ma f(a)=f(b)) e si cerca di pervenire alla contraddizione logica a=b.
Esempio: Se f: N Z è la funzione definita da f(x)=3x-4 (si verifica facilmente che è effettivamente una funzione da N a Z), allora f è iniettiva. Infatti se per assurdo supponiamo a,bA, ab, f(a)=f(b), si ha:
3a-4=3b-4
1 2 6
2 3 5 6 7
1 2 6
2 5 7
da cui, sommando 4 ad ambo i membri e dividendo ambo i membri per 3, si ottiene a=b (contraddizione).
Funzioni surgettive
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta surgettiva quando ogni elemento b del codominio B é il corrispondente di almeno un elemento a del dominio A.
Quindi f sarà non surgettiva quando esiste qualche elemento del codominio B che non è corrispondente di nessun elemento del dominio A.
Se f è rappresentata graficamente, la f è surgettiva quando ogni elemento di B è coperto da almeno una punta delle frecce che partono dagli elementi del dominio A.
Esempio:
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione surgettiva
f
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione non surgettiva (l’elemento 5 di B f non è corrispondente di nessun elemento di A) A B
Se f è rappresentata con una matrice, la f è surgettiva quando ogni colonna contiene almeno un valore =1 (quindi non vi sono colonne con tutte le caselle contenenti valori =0).
Per verificare formalmente se una funzione f: A B é surgettiva, fissato un generico elemento bB, si cerca almeno un elemento aA tale che si abbia f(a)=b: se un tale elemento aA esiste sempre (comunque sia preso bB) allora f é surgettiva; se invece per alcuni valori di bB un tale elemento aA non esiste, allora la f non è surgetttiva. Si tratta in pratica di risolvere un’equazione in cui b è termine noto, ed a è l’incognita di cui si cercano soluzioni nel dominio A: se almeno una soluzione per a esiste nel dominio A (per ogni valore di b in B) allora la funzione è surgettiva . Esempio: se A é l’insieme dei numeri interi >8, la funzione f: A N definita da f(x)=x-8 é surgettiva. Infatti, fissato un generico elemento bN (quindi b è un intero positivo), la ricerca di un valore aA tale che si abbia f(a)=b porta all’equazione a-8=b, che ha (nell’incognita a) la soluzione
1 2 3 6
2 5 7
1 2 3 6
2 5 7
a=b+8 (soluzione il cui valore appartiene al dominio A, perché, essendo b un intero positivo, certamente a=b+8 è un intero >8).
Invece la funzione f: A N definita da f(x)=x-5 non é surgettiva. Infatti, fissato un generico elemento bN (quindi b è un intero positivo), la ricerca di un valore aA tale che si abbia f(a)=b porta all’equazione a-5=b, che ha nell’incognita a la soluzione a=b+5 (soluzione che però, per alcuni valori di b, può non appartenere al dominio A: per esempio per b=2 si ha a=7A)
