A.A. 2012-‐2013 Mestre, 23-05-2013
Cognome e nome (in stampatello):……….
Numero di Matricola:………..
Prova Parziale di Matematica Discreta Modulo II (Algebra Lineare) del 23-‐05-‐2013
Es. 1 Sia V uno spazio vettoriale sul campo R dei numeri reali e ϕ: V → V una applicazione lineare. Siano v1 e v2 vettori di V tali che ϕ(v1)=av1 ϕ(v2)=bv2, con a≠0 e b≠0 a≠b, a e b numeri reali. Si provi che allora v1 e v2 sono linearmente indipendenti.
Es. 2 a) Si trovi l’insieme S delle soluzioni del seguente sistema omogeneo di equazioni lineari a coefficienti nel campo Q dei numeri razionali;
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x1+ x2 + x3 + x4 = 0 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 0 3x1 + 4 x2 + 3x3 + 2x4 = 0
"
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b) Come si è visto a lezione S e’ un sottospazio di V=Q4 . Se ne calcoli la dimensione.
Es. 3 Es. Sia T:R3 →R3 l’applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alla base canonica è 3 1 12 4 2
3 3 5
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. a) Si calcolino gli autovalori di T
b) Si calcolino le dimensioni degli autospazi relativi a ciascun autovalore c) T è diagonalizzabile?
Soluzioni degli esercizi.
Es. 1 . Supponiamo per assurdo che v1 e v2 siano linearmente dipendenti. Allora esiste un numero reale c ≠ 0 tale che e v2 =cv1 .Ne segue
0=ϕ(v2)-‐bv2 = ϕ(cv1)-‐b(cv1)=cϕ(v1)-‐cbv1=cav1-‐ cbv1=c(a-‐b)v1. Poiché a≠b ne segue c=0, assurdo.
Es. 2. a) La forma a scala per righe della matrice incompleta associata al sistema omogeneo, ottenuta dopo facili calcoli, è la seguente:
1 0 1 2 0 1 0 −1
0 0 0 0
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$$
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' ''
Possiamo assegnare un valore arbitrario alle incognite corrispondenti alle colonne che non hanno Pivot, e cioè la terza e la quarta. Poniamo dunque
x4=t , x3=s, da cui x2=t , x1=-‐2t-‐s.
L’insieme S è dunque costituito da tutte le quaterne ordinate di numeri razionali della forma (-‐2t-‐s, t , s, t), al variare di t e s in Q.
b) Il rango della matrice associata al sistema è 2, le incognite sono 4, dunque la dim. di S è 4-‐2=2.
Es. 3 Il polinomio caratteristico di T, dopo gli usuali calcoli risulta essere
−λ3+12λ2− 36λ + 32 = 2 − λ
( )
2(8 − λ) .a) Gli autovalori di T sono 2 con molteplicità algebrica 2 e 8 con molteplicità algebrica 1.
b)Poiché la dimensione degli autospazi non può mai superare la molteplicità algebrica dell’autovalore relativo, l’autospazio E(8) avrà necessariamente dimensione 1, mentre per l’autospazio E(2)per il momento sappiamo che può avere dim.1 o dim. 2. Calcolare la dim. di E(2) equivale a calcolare la dimensione di Ker(T-‐2I), ove I è l’applicazione identica R3 →R3. La dimensione di Ker(T-‐2I) è data dalla formula: dim R3 = dim.(Ker(T-‐2I))+rango(T-‐2I). Chiaramente dim. R3=3 e
rango(T-‐2I)= rango
1 1 1 2 2 2 3 3 3
!
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=1. Pertanto dim (E(2))=2.
c) T è diagonalizzabile poiché la somma delle dimensioni degli autospazi
coincide con la dimensione di R3.(Vedi, ad esempio, corollario 10.24 pag. 143 del testo Accascina-‐Villani)
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