Statistica  (modulo di Calcolo Numerico e Statistica)

misure ed errori

 fit di dati 

campioni di dati 

 relazioni di scala

funzione di luminosita'

8 ore frontali 

       Statistica 

(modulo di Calcolo Numerico e Statistica)

A.A. 2012/2013

Esemplificazioni pratiche

Scrittura ed utilizzo di semplici procedure  IDL (Interactive Data Language)

30 ore  lab.

informatico 

Perche' IDL ?

Semplice...   

 Intuitivo....

 Potente...

 Utile....

 Multidisciplinare....

30 min. ca.

1 argomento a scelta fra quelli sviluppati a  lezione o in laboratorio o anche “nuovo”

2 o 3 domande sul programma svolto Esame  orale

Data concordata su richiesta 

studente (almeno 10 giorni  prima)

su appuntamento

[email protected]

Il ricevimento 

Non esiste un libro di testo !

 http://gbm.bo.astro.it/paola/didattica/AA2012­

2013/statistica

I pdf di tutto quanto fatto a lezione e in  laboratorio saranno disponibili in 

in Astronomia misuriamo “angoli” o  intensita'  di radiazione

angoli

misure ed errori

UA

d = p d=UA / p 1 pc≃206265UA

La parallasse di Proxima Centauri e' p= 0.762” ^.

Qual'e' la sua distanza ?

Esercizio 1

Qual'e' la precisione della misura?

 Hipparcos  (1989­1993)  ESA

  HHigh Precision Parallax Collecting Satellite  i    1 mas

   1 millessimo di secondo d'arco  0.001''

Se non so nulla di “teoria degli errori”  e mi  affido solo al ragionamento

p= 0.762'' +/­ 0.001''

p= 0.761”  p= 0.763 “

d=  1.314 pc d= 1.311 pc

d=1.312 pc  +/­ .002 pc

 d /d=0.002

Se la parallasse fosse stata piu' piccola   per esempio       P = 0.055''

P= 0.055'' +/­ 0.001''

P= 0.054''  ^P= 0.056''

d= 18.5 pc

d= 17.9 pc

d= 18.2  +/­ 0.3 pc  d /d=0.016

d=UA / p

²_d= ∂ d

∂ p 

2

²_p ²_d=−UA p² 

2

²_p

²_d=d² ²_p p²

_d²

d² =²_p p²

_d

d = _p p

Propagazione degli errori:

1) p= 0.762” +/­ 0.001  , d= 1.312 +/­ 0.002 pc Riprendiamo quanto trovato per Proxima 

Centauri   e per l'altra ipotetica stella

 d /d=0.002

Con la propagazione  _d

d =0.001

 d= 1.312 +/­ 0.001 pc

2) p= 0.055” +/­ 0.001  , d= 18.2 +/­ 0.3 pc

d /d=0.016

Con la propagazione  _d

d =0.018

 d= 18.2 +/­ 0.3 pc

A partire da quale distanza l'errore di Hypparcos sulla

parallasse comporta una imprecisione pari (o maggiore) del 10% ?

Esercizio 2

_d

d = _p p

 _p

p =0.1

 _p=0.001' ' p=0.01' ' d  pc=1/ p ' '

La misura dell'intensita' di radiazione 

magnitudini apparenti e assolute

m=−2.5 log f cost m₁−m₂=−2.5 log f ₁

f ₂

f = L 4  d²

m₁−m₂=−2.5 log

L₁ 4  d₁²

L₂ 4  d₂²

m−M=−2.5 log

L 4 d²

L 4 10²

m−M=−2.5 log 10² d²

m−M=−55 log d

d_pc=d_Mpc 10⁶

m−M=5 log d_Mpc10⁶−5 m−M=5 log d_Mpc30−5

m−M=5 log d_Mpc25

d_pc=10

m−M 5 5

m−M=−55 log d_pc m−M=5 log d_Mpc25

d_Mpc=10

m−M −25 5

d_Mpc=100.2m−M −25

Quale errore commettiamo sulla distanza se  una classe di oggetti ha la M nota con la 

precisione di 0,5  magnitudini ?

_d²=0.2×100.2m−M −25

×ln 10²_m² −0.2×100.2m−M −25

×ln 10²²_M

Esercizio 3

d_Mpc=100.2m−M −25

²_d= ∂ d

∂ m 

2

_m²  ∂d

∂ M 

2

²_M

_d²=0.2×d×ln 10²_m² −0.2×d×ln 10²²_M

²_d

d² =0.04×5.30_m² ²_M

Assumiamo _m=0.1 _d

d =0.23

Il che significa che se d = 10 Mpc l'errore  associato e' pari a +/­ 2.3 Mpc

Se l'accuratezza su M fosse di 1 magnitudine 

_d

d =0.46

corrispondente ad un'incertezza di quasi il 50% 

sulle distanze.

come si misura la magnitudine (apparente)

Assumiamo di aver misurato i flussi di due  stelle   f ₁=344 f ₂=18312

E che la stella 2 sia una standard  fotometrica di m₂=10.423±0.001

Troviamo  m₁

Esercizio 4

m₁=14.738

m₁−m₂=−2.5 log f ₁ f ₂

m₁=m₂−2.5 log f ₁2.5 log f ₂

_m

1

2 =_m

2

2 −2.5 log e f ₁ 

2

_f

1

2 −2.5 log e f ₂ 

2

_f

2

2

_m

1

2 = ∂ m₁

∂ m₂ 

2

_m

2

2  ∂m₁

∂ f ₁ 

2

_f

1

2  ∂m₁

∂ f ₂ 

2

_f

2

2

_m

1

2 =_m

2

2 −2.5 log e² _f

1

2

f ₁² _f

2

2

f ₂² 

_m

1

2 =_m

2

2 −2.5 log e² 1

f ₁ 1 f ₂ 

_m

1

2 =10⁻⁶1.1788 1

344  1

18312 

_m =0.06 m₁=14.74±0.06

_m

2=0.001

_f

1=





In realta' dobbiamo considerare anche la  fluttuazione del cielo.

Supponiamo che   il cielo abbia fornito 128 conteggi

f ₁=344 f _cielo=128

f stellacielo=344128=472

f ₁=f stellacielo−f _cielo

_f

1

2 = ∂ f ₁

∂ f stellacielo



2

_f

stellacielo

2  ∂ f ₁

∂ f _cielo 

2

_f

cielo

2

_f

1

2 =1²_f

stellacielo

2 −1²_f

cielo

2

_f

1

2 =472128=600

Lo stesso vale per la stella 2, (la standard)

f ₂=18312 f _cielo=128

f stellacielo=18312128=18440

f ₂=f stellacielo−f _cielo

_f

2

2 =18440128=18568

_m

1

2 =_m

2

2 −2.5 log e² _f

1

2

f ₁² _f

2

2

f ₂² 

_m

1

2 =10⁻⁶1.1788 600

344² 18568 18312² 

_m

1=0.08

f ₁=200 f _cielo=128

_f

1

2 =1²_f

stellacielo

2 −1²_f

cielo

2

_f

1

2 =328128=456

_m

1

2 =10⁻⁶1.1788 456

200² 1

18312 

_m =0.1

L'errore provocato dalla sottrazione

del cielo e' tanto piu' grande quanto meno  luminosa e' la stella

1

18312 ≃ 18568 18312²

Assumiamo di aver ottenuto diverse misure di  magnitudine di una stessa stella

tutte ugualmente affidabili.

Decideremo di adottare come valore “vero” (piu'  probabile) la media delle misure

m=

∑

m_i n

e l'errore ?

m₁=14.21

m₆=14.10 m₅=13.78

m₄=14.34 m₃=13.92

m₂=14.43 m=14.13

m_max−m_min=0.65

m_maxm_min

2 =14.11

14.11±0.33

²= 1

n−1

∑

i=1 n

m_i−m^{2 varianza}

1

n−1

∑

i=1 n

∣^m_i^−m∣ Deviazione  media

=0.25

Nel nostro caso

 deviazione  standard

14.13±0.25

13.88

14.38 m₂=14.43

m₅=13.78

²= 1

n−1

∑

i=1 n

x_i−x²

varianza

∑

 x_i−x²=

∑

i=1 n

x_i²−2x_i xx²

∑

x_i²−2 x

∑

i=1 n

x_iN x²

∑

x_i²−

∑

i=1 n

2x_i x

∑

i=1 n

x²

∑

x_i²−2 x N xN x²

∑

x_i²−2 N x²N x²

∑

x_i²−N x²

∑

x_i²−2 x

∑

i=1 n

x_iN x²

x=

∑

x_i N

²= 1

n−1

∑

i=1 n

x_i−x²

Nell'esempio delle 6 misure di magnitudine  non  abbiamo tenuto conto dell'errore di ciascuna 

misura.

Il che equivale ad assumere

che non ci siano errori (!!??) o che tutti gli errori  siano uguali fra loro 

m₁=14.21±0.01 m₂=14.43±0.01

...

Se gli errori sono diversi allora nel calcolo della media devono “pesare” di piu'

le misure piu' precise

m=

∑

_i m_i

∑

_i

_i E'  il peso di ogni misura che si pone uguale

all' inverso della varianza

_i= 1

_i² m=

∑

n 1

_i² m_i

∑

n 1

_i²

m=

∑

n 1

_i² m_i

∑

n 1

_i²

m=

1

₁² m₁ 1

₂² m₂ 1

₃² m₃ 1

₁² 1

₂²  1

₃²

 Se gli errori sono tutti uguali

m=

1

² m₁m₂m₃ 3

²

Le solite 6 misure con errori diversi

m₁=14.21±0.02

m₆=14.10±0.01 m₅=13.78±0.01 m₄=14.34±0.04

m₃=13.92±0.01

m₂=14.43±0.03 m=13.98

²= 1

n−1

∑

i=1

n 1

_i² m_i−m²

Da confrontare con  (media non pesata)

m=14.13

Attenzione a non confondere l'errore sul  valor medio con la precisione delle 

misure

Se ho N misure l'errore sul valor medio  determinato con queste misure e'

_M= 

^N

m₁=14.21±0.01

m₆=14.10±0.01 m₅=13.78±0.01 m₄=14.34±0.01

m₃=13.92±0.01

m₂=14.43±0.01 m=14.13±0.25

“dispersione”

 delle misure

Mediana ?

Riprendiamo il solito  esempio

_M= 0.25

^{6 =0.10}