( ) = l. Allora esiste un intorno J di x 0 tale che per

A.A. 2012-13 – FAC-SIMILE I COMPITINO – 09/01/2013

Cognome Nome voto/30

Riportare calcoli o motivazioni ove richiesto

1. Quali fra i seguenti limiti valgono +∞?

!

lim x"0⁺

#3 $ ln x

( )

x +1

.sì.

.no.

calcoli o motivazioni:

!

x"+#lim

3 $ x²+ 5 3 $ x²% 4 $ x

.sì.

.no.

calcoli o motivazioni:

!

x"+#lim

cos x

( )

^{$ 1}

6

.sì.

.no.

calcoli o motivazioni:

2. Le due formulazioni seguenti del teorema della permanenza del segno sono errate.

Spiegare perché sono errate.

.A.

Siano

!

E " R, f:E→R,

!

x₀ " D E

( )

^,

!

x"xlim₀f x

( )

⁼ l. Allora esiste un intorno J di

!

x₀ tale che per ogni

!

x " J # E \ x

{ }

₀ ^{si ha}

!

f x

( )

^{> 0 .}

E’ errata perché

.B.

Siano

!

E " R, f:E→R,

!

x₀ "D E

( )

^,

!

x"xlim₀f x

( )

⁼l > 0. Allora per ogni intorno J di

!

x₀ e per ogni

!

x " J # E \ x

{ }

₀ ^{si ha}

!

f x

( )

^{> 0 .}

E’ errata perché

3. Completare con le parole mancanti:

A) Siano

!

E " R, f:E→R,

!

x₀ un punto non ……….………. di E. Si dice che f è derivabile in

!

x₀ se esiste ed è ……….……..….. il

!

x"xlim₀ . In tal caso tale limite si chiama

……….…………. di f in

!

x₀ e si denota con ……….

B) Teorema di Weierstrass: Sia

!

f : a, b

[ ]

^{" R, ………} Allora f possiede ……..………. e

………. assoluti su

!

[ ]

a, b ^.

Compito A – pag. 2

4. Sia f: R →R,

!

f(x) = 2x⁴" 4x²+ 2. Si osservi che è derivabile.

a) Ha qualcuna delle seguenti proprietà? Cparic Cdisparic Cperiodicac b) Segno:

c

!

f x

( )

^{> 0 per}

pa zz o

^perché ...

...

c) Limiti:

!

x"#$lim f(x) = x"+$lim f(x) =

%

&

' ( '

d) Quale fra le seguenti funzioni è la sua derivata?

.1.

!

4 " x #1

( )

" x + 1

( )

^.2.

!

8 " x " x #1

( )

" x + 1

( )

^.3.

!

8x³" 8 Calcolo della derivata:

Segno della derivata:

e) Derivata seconda:

Calcolo della derivata seconda:

Segno della derivata seconda:

5. Uno di questi quattro grafici è parte di quello della funzione dell’esercizio precedente. Quale?

Perché gli altri tre grafici non sono compatibili con i dati? ...

...

...

...

...

6. E' data la curva di equazione

!

f : R " R, f x

( )

^{= #x3+ 6x2# 9x,} di cui vediamo parte del grafico eseguito con la TI-92.

a) Si determinino le coordinate dei punti A e B intersezione della curva con l’asse x:

!

A =

(

,

)

^,

!

B =

(

,

)

b) Quanto vale l'area della parte di piano tratteggiata compresa fra la curva e l’asse delle ascisse? Risposta:

Calcolo dell’area:

7.

Che cos'è la media integrale di una

!

f : a, b

[ ]

" R continua e positiva?

Segnare con una crocetta le risposte corrette

1 Il punto medio del segmento [a, b] 2 L'altezza di un rettangolo di base b-a ed equivalente al trapezoide T

3

!

1

b " a f x

( )

^dx

a b

#

⁴

f b

( )

^{! f a}

( )

b ! a

Compito A – pag. 4

8. Si calcoli la derivata della funzione f: R→R,

!

f(x) = x² e^x+ x²

Risposta: f'(x) =

Riportare qui di seguito i calcoli:

9.

!

2x²+ 6x + 3 x²+ 1

"

^{dx =}

Riportare qui di seguito i calcoli :

10.

!

x"+#lim

2 $ x²+ ln x

( )

x²+ x $ ln x

( )

⁼

Riportare qui di seguito i calcoli:

11. Sulle relazioni fra limiti e altre nozioni. Vero o Falso?

a) Se f è continua su [a, b] allora ha limite in ogni

!

x₀ " a, b

[ ]

cVc cFc b) Se f è derivabile su [a, b] allora ha limite in ogni

!

x₀ " a, b

[ ]

cVc cFc c) Se f ha limite in ogni

!

x₀ " a, b

[ ]

^allora

!

f x

( )

è definito per ogni

!

x " a, b

[ ]

cVc cFc

12

.

^Siano

!

f, g : a, b

[ ]

" R integrabili e k∈R. Quali delle seguenti affermazioni sono vere?

^c1c

!

f + g

( )

^{(x)dx =}

a b

"

^{f(x)dx + g(x)dx}

a b

"

a b

"

^c2c

!

f " g

( )

^{(x)dx =}

a b

#

f(x)dx " g(x)dx

a b a

#

b

#

^c3c

!

k " f

( )

^{(x)dx =}

a b

#

k " f(x)dx

a b

#

^c4c

!

f g

"

#

$ $

%

&

' ' (x)dx = a

b

(

^{f(x)dx ) g(x)dx}

a b a

(

b

( ^.

13. Il teorema di Rolle afferma che (barrare le formulazioni esatte):

c1c Se

!

f : a, b

[ ]

" R è continua, allora ha massimo e minimo relativi

c2c Se

!

f : a, b

[ ]

" R è continua ed inoltre è derivabile su

!

] [

a, b ^e

!

f a

( )

^{= f b}

( )

^,

allora l'equazione

!

"

f x

( )

= 0 ha almeno una soluzione in

!

] [

a, b ^.

c3c Se

!

f : a, b

[ ]

" R è continua ed è

!

f a

( )

^{" f b}

( )

< 0 , allora esiste

!

c " a, b

] [

^tale

che

!

f c

( )

^{= 0 .}

14. Ha più anagrammi il nonno o la nonna?

numero anagrammi di NONNO numero anagrammi di NONNA Risposta:

15. Siano

!

A = 7 5 5 7

"

# $ %

&

' ^,

!

I₂ = 1 0 0 1

"

# $ %

&

' Si risolva l’equazione di secondo grado:

!

det A " x # I

(

₂

)

= 0 nell’incognita x. Soluzioni: c

!

x₁ = ;

!

x₂=

Si eseguano qui i calcoli:

VALUTAZIONI DEGLI ESERCIZI DEL COMPITO A

esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 tot. voto

Punti disp. 4 2 2 8 3 4 2 3 4 4 2 2 1 2 2 45 30

P. conseguiti