e3x+ cos x (sin x)3α vale 0 se e solo se Risp.: A : α ≤ 2/3 B : α &lt

Analisi Matematica 1 11 Giugno 2012 COMPITO 1

1. Il luogo geometrico descritto dagli z ∈ C tali che 7

e^iπ/2z²z +Imz

e^3iπ + i7|z|²Rez = 0

`

e dato da

Risp.: A : una retta ed un punto B : un punto ed una circonferenza C : due circonferenze D : una retta ed una circonferenza

2. Il limite

n→+∞lim

q

n + cos _n⁴
−√ n + 1

(n²+ log n) log

1 +^√2_n vale

Risp.: A : −2 B : 0 C : −4 D : 2

3. Sia α ∈ R. Il limite

x→0+lim

sin(log(1 + 3x)) − e^3x+ cos x (sin x)^3α

vale 0 se e solo se

Risp.: A : α ≤ 2/3 B : α < 2/3 C : α > 2/3 D : α ≥ 2/3

4. Sia f : [−2, 2] → R una funzione continua, dispari, derivabile due volte su ] − 2, 2[, il cui grafico

`

e dato da

−2

2

Delle seguenti affermazioni

(a) f⁰(0) > 0 (b) f⁰(0) < 0 (c) R2

−1f (x) dx > 0 (d) f⁰⁰(x) < 0 per ogni x ∈] − 2, 0[ (e) R1

−1f (x) dx = 0

le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (c), (e) B : (a), (d) C : (a), (e) D : (a), (c), (e)

5. Sia F :]¹₂, +∞[→ R la primitiva di

f (x) = 1 2x√

2x − 1 tale che F (1) = 0. Allora lim_x→+∞F (x) vale

Risp.: A : 0 B : ^π₈ C : ^π₄ D : ^π₂

6. Sia β ∈ R. L’integrale improprio Z +∞

0

arctan _x¹3

x^βlog(1 + arctan x)dx converge se e solo se

Risp.: A : β ≤ 0 B : β > −2 C : per ogni β D : −2 < β < 0

7. Sia y la soluzione del problema di Cauchy

(y⁰⁰+ 2y⁰= 1 ,

y(0) = ¹₂, y⁰(0) = 0 . Allora y −¹₂
vale

Risp.: A : ^e₄ B : ¹₄ C : ^e−1₂ D : e

8. Sia data la funzione

f (x) = 3

√3

e^x− 2+ log |e^x− 2|.

Delle seguenti affermazioni

(a) Il dominio di f `e ] log 2, +∞[ (b) f `e pari (c) lim

x→(log 2)⁺f (x) = +∞ (d) f ammette asintoto orizzontale per x → −∞ (e) f ammette y = x come asintoto obliquo per x → +∞

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (c), (e) B : (b), (e) C : (b), (d) D : (c), (d), (e)

9. Sia f la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni (a) f `e derivabile sul suo dominio (b) f⁰(log 4) = 2h

1 − 1√3

2

i

(c) f `e sempre decrescente sul suo dominio (d) f ammette un punto di minimo relativo in log 3 (e) f ammette un punto di minimo relativo in log 4

le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (c) B : (a), (b), (d) C : (a), (b), (e) D : (a), (d)

10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.