L’integrale Z 2 −2 (x7cos x + |x|ex) dx vale Risp.: A : 2 − 3e−2+ e2 B : 0 C : 2e2 D : 2 − 3e−2 6

Analisi Matematica 1 1 Febbraio 2012 COMPITO 1

1. Il luogo geometrico degli z ∈ C tali che Im 7

z



− 7

Re(iz) = 3

|z|²

`

e dato da

Risp.: A : una circonferenza meno l’origine B : una retta C : un punto D : una parabola meno l’origine

2. Il limite

n→+∞lim n²ⁿ

 1 + 7

n

n

sin(n⁻ⁿ) 1

√

n³+ n²ⁿ−√ n³ vale

Risp.: A : e B : e⁷ C : 0 D : non esiste

3. Il limite

x→0lim

log ^{sin x}_x
3

cos²x − 1 + 2x² vale

Risp.: A : −1 B : −¹₂ C : 0 D : +∞

4. Sia data la funzione f (x) = |x − 2|. Delle seguenti affermazioni

(a) f soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle su [1, 3] (b) f soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange su [3, 4] (c) f soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass su [1, 3] (d) f soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri su [1, 3]

le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (c), (d) B : (a), (c), (d) C : (b), (d) D : (b), (c)

5. L’integrale

Z 2

−2

(x⁷cos x + |x|e^x) dx vale

Risp.: A : 2 − 3e⁻²+ e² B : 0 C : 2e² D : 2 − 3e⁻²

6. Sia α ∈ R. Allora l’integrale improprio Z 1/2

0

log(1 +√ x) (e^xα− 1) log x³ dx converge se e solo se

Risp.: A : per ogni α B : α > 3/2 C : α < 1 D : α < 3/2

7. Sia y la soluzione del problema di Cauchy







y⁰⁰− 8y⁰+ 7y = x , y(0) = ₄₉⁸

y⁰(0) = ¹₇. Allora y(−1) vale

Risp.: A : 0 B : −₄₉¹ C : −1 D : ₄₉¹

8. Sia data la funzione

f (x) = x

2 + arctan 1 x + 2. Delle seguenti affermazioni

(a) Il dominio di f `e {x > −2} (b) f ammette asintoti verticali (c) la retta y = <sup>1</sup><sub>2</sub>x `e asintoto obliquo per f (d) lim_x→−2⁺f (x) = −1 + ^π₂ (e) f ammette un asintoto orizzontale

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (b), (c) B : (d), (e) C : (a), (c) D : (c), (d)

9. Sia f la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni

(a) f `e derivabile sul suo dominio (b) f<sup>0</sup>(−3) = 0 (c) x = −1 `e un punto di massimo relativo (d) f `e crescente su ] − ∞, −3] (e) f ammette un punto di minimo assoluto

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (d), (e) B : (a), (b), (d) C : (b), (c), (d) D : (a), (c), (d)

10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.