Allora Risp.: A

Analisi Matematica 1 15 Aprile 2014 COMPITO 1

1. Sia A l’insieme delle radici quarte del numero complesso

√3i − 1

|1 + i|²



Re(e^4πi) + Im 3i − 2 i



. Allora

Risp.: A :

√ 3

2 +₂ⁱ ∈ A B : √⁴ 3



−

√ 3 2 +₂ⁱ



∈ A C : √⁴ 3

^√

3 2 +₂ⁱ



∈ A D :

√ 3

2 −₂ⁱ ∈ A

2. Sia α ∈ R. Allora

n→+∞lim

(n −√

1 + n²)n^α cos_n²2 − 1 log

 1 + 2

n²



+(−1)ⁿ 2n² vale

Risp.: A : +∞ se α < −1; ¹₂ se α = −1; 0 se α > −1 B : +∞ se α > −1; 0 se α ≤ −1 C : −∞ se α > −1; ¹₂ se α = −1; 0 se α < −1 D : +∞ se α > −1; ¹₂ se α = −1; 0 se α < −1

3. L’estremo superiore dell’insieme

A =







β ∈ R :

∞

X

n=1











1 − e



−arctan n nⁿ

 



· e[n + β − 3] log n





 `e convergente





 vale

Risp.: A : 2 B : +∞ C : 1 D : 3

4. Sia f : R → R la funzione data da

f (x) =















arctan(x − 1) − sin(x − 1)

(x − 1)³ se x < 1

3 se x = 1

(x − 1)⁶

12 [log(1 + (x − 1)³) − sinh(x − 1)³] se x > 1.

Allora

Risp.: A : lim_x→1+f (x) > lim_x→1⁻f (x) B : f ammette limite per x → 1 ma non `e continua in x = 1 C : f `e continua in x = 1 D : lim_x→1+f (x) < lim_x→1⁻f (x)

5. Il limite

lim

x→0⁺

 1 +x⁵

6



11

10(x + arctan x − 2 sin x) vale

Risp.: A : 0 B : 1 C : e D : e²

6. L’integrale improprio

Z _+∞

1

3

x² arctan1 xdx vale

Risp.: A : 3 ^π₄ −¹₂log 2

B : +∞ C : ^3π₄ D : 3 ^π₂ +¹₂log 2

7. Sia ˜y(x) la soluzione dell’equazione differenziale

y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 3e^−x, tale che limx→+∞ e^xy(x) −˜ ³₂x²
= π. Allora ˜y(1) vale

Risp.: A : π B : ³₂e⁻¹ C : ³₂ + 2π
e⁻¹ D : ³₂+ π
e⁻¹

8. Sia data la funzione f definita da:

f (x) =√

2 − sin x + 1

√3p| sin x|.

Delle seguenti affermazioni

(a) f `e periodica di periodo 2π (b) f `e periodica di periodo π (c) f ammette asintoti verticali (d) f non ammette limite per x → +∞ (e) f `e pari

le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (d), (e) B : (a), (d) C : (a), (c), (e) D : (b), (d)

9. Sia f la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni

(a) x = 0 `e punto di cuspide (b) x = 0 `e punto angoloso (c) max_Rf = √ 3 + ^√1

3 (d) x = π `e punto di minimo relativo (e) f⁰(x) ≥ 0 per x ∈_π

6,^π₂ le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (c), (e) B : (b), (c), (d) C : (a), (c), (d) D : (b), (d), (e)

10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.