Solutions. Scalia Tomba. March 30, 2020

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Solutions

Scalia Tomba March 30, 2020

1 Problem 1.2

E’ importante saper leggere il linguaggio degli insiemi, visto che si usa insieme a P(.).

A\B significa ”A ma non B”, dunque bisogna togliere da A cio’ che appartiene a B, dunque A ∩ B^C oppure A\(A ∩ B), poiche’ non si puo’ togliere da A cio’ che non e’ gia’ in A...

Un evento B si puo’ suddividere in piu’ parti secondo una partizione, e’ la base della formula di probabilita’ totale. La partizione piu’ ”elementare” e’ Ω = A∪A^C, dunque B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A^C).

La riscrittura di A ∪ B = A ∪ (B ∩ A^C) serve a scrivere A ∪ B come unione di due insiemi disgiunti, se non lo sono gia’. . .

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Dunque, abbiamo p₀ = (1 − u)(1 − w), p₁ = u(1 − w) + (1 − u)w, p₂ = uw.

Se tutti e tre devono essere = 1/3, vediamo per esempio che uw = 1/3 ⇒ p₁ = u + w − 2uw = u + w − 2/3 = 1/3 ⇒ u + w = 1 ⇒ p0 = (1 − u)u = 1/3. Ma l’equazione (1 − u)u = 1/3 non ha soluzioni reali. . . ...

3 Problem 1.13

La formula P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) implica P (A) + P (B) − 1 ≤ P (A ∩ B). Se P (A) = 1/3 e P (B) = 3/4, A e B non possono essere disgiunti. . .

4 Problem 1.14

Un (sotto-)insieme e’ caratterizato da quali elementi gli appartengono. Se gli elementi si chiamano {e₁, . . . , e_n}, un (sotto-)insieme di puo’ caratterizzare da una sequenza binaria b₁. . . b_n con rispettivi 0 e 1 per ogni elemento possibile. Ci sono 2ⁿ possibili sequenze differenti (osservare: incluso l’insieme vuoto e tutto Ω).

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5 Problem 1.18

Ogni pallina ha uguale probabilita’ di andare in ognuna delle n celle, indipen- dentemente dalle altre palline. Dunque la sequenza (c₁, . . . , c_n) descrive dove e’

finita la prima, seconda, ecc, pallina e queste sequenze sono tutte ugualmente probabili. Ce ne sono nⁿ. Adesso bisogna contare sequenze con proprieta’ par- ticolari. . . Per esempio, quelle dove nessuna cella e’ vuota sono n!. . . Per contare quelle dove esattamente una cella e’ vuota, iniziamo con quelle dove cella 1 e’

vuota. Allora c’e’ una delle celle 2,. . . ,n che contiene due palline. Supponiamo sia la cella 2. Allora la sequenza (c₁, . . . , c_n) contiene 2 simboli 2 e un simbolo ciascuno da 3 a n. Nella sequenza, si scelgono i posti per i simboli 2 in ⁿ₂ modi, dopo di che si permutano i rimanenti (n-2) simboli sui posti rimanenti, in (n − 2)!

modi. Pero’ questo e’ vero per ognuno dei simboli da 2 a n che puo’ essere quello doppio, dunque abbiamo (n − 1) ⁿ₂(n−2)! = ⁿ₂(n−1)! sequenze dove la cella 1 e’

vuota. Ma la cella vuota puo’ essere scelta in n modi, dunque ci sono n(n − 1)! ⁿ₂ sequenze con una cella vuota...

6 Problem 1.20

Altro problema di allocazione di palline in celle. . . Ognuna delle 12 chiamate puo’ capitare su uno dei 7 giorni con uguale probabilita’. Dunque, di nuovo, il risultato si puo’ scrivere come una sequenza (g1, . . . , g12), tutte 7¹² ugualmente probabili... In queste sequenze si possono usare 7 simboli, ma non tutte le sequenze usano tutti e sette i simboli.Definiamo A_k = {il simbolo k e’ usato nella sequenza}, k = 1, . . . , 7. Noi vogliamo calcolare P (A1 ∩ . . . ∩ A7) = 1 − P (A^C₁ ∪ . . . ∪ A^C₇),

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P (A^C₁ ∪ . . . ∪ A^C₇) = 7 1

(6/7)¹²−7 2

(5/7)¹²+ . . . −7 6

(1/7)¹²,

dove manca l’ultima intersezione perche’ non ci sono sequenze che usano 0 simboli.

Credo sia meglio usare R per calcolare questa somma, che risulta uguale a 0.7715 e dunque P (A₁∩ . . . ∩ A₇) = 0.2285.

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7 Problem 2.1

Se abbiamo una variabile X con densita’ continua f_X(x) e funzione di ripartizione F_X(x) e vogliamo la distribuzione di Y = g(X), possiamo sempre scrivere (per argomenti adatti, cioe’ nell’immagine di g) F_Y(t) = P (Y ≤ t) = P (g(X) ≤ t).

Questo ci riporta alla distribuzione di X, da integrare su quei valori di x che sod- disfano g(x) ≤ t. Se g e’ monotona crescente, questi sono x ≤ g⁻¹(t) e avremo F_Y(t) = F_X(g⁻¹(t)). Dopo possiamo derivare e trovare f_Y(t). Possiamo anche scrivere f_Y(t) = f_X(g⁻¹(t))(g⁻¹(t))⁰.

Se invece g e’ monotona decrescente, abbiamo P (Y ≤ t) = P (g(X) ≤ t) = P (X ≥ g⁻¹(t)) = 1 − F_X(g⁻¹(t)). Derivando, otteniamo f_Y(t) = −f_X(g⁻¹(t))(g⁻¹(t))⁰, ma la derivata di g⁻¹ essendo negativa, si possono riassumere le due formule per g monotona in f_Y(t) = f_X(g⁻¹(t))|(g⁻¹(t))⁰|. Si possono fare opportuni aggiusta- menti se g e’ monotona a tratti (si sommeranno le inverse su ciascun tratto) e si puo’ anche scrivere la derivata di g⁻¹ in termini di quella di g. Queste formule corrispondono a quelle di cambio di variabile in un integrale:

R

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Trasformazione monotona su (0, 1), inversa g⁻¹(t) = t^1/3, (g⁻¹(t))⁰ = ¹₃t^−2/3 e dunque f_Y(t) = 42t^5/3(1 − t^1/3)¹₃t^−2/3 = 14t(1 − t^1/3) per t ∈ (0, 1). La densita’ di X e’ una Beta(6,2). . .

7.2 Y = 4X + 3, X ∈ (0, ∞)

X ha una densita’ Exp(7) e Y avra’ la densita f_Y(t) = ⁷₄e⁻⁷⁴^(t−3) per t > 3.

7.3 Y = X

²

, X ∈ (0, 1)

la densita’ di X e’ Beta(3,3) (le potenze di x e (1-x) corrispondono ai a−1 e b−1 in Beta(a,b) e la costante davanti deve essere Γ(a + b)/(Γ(a)Γ(b)) = (a + b − 1)!/((a − 1)!(b−1)!). L’inversa g⁻¹(t) =√

t, (g⁻¹(t))⁰ = ₂^√¹_t e dunque f_Y(t) = 15√

t(1−√ t)² per t ∈ (0, 1).

8 Problem 2.2

Come 2.1...

9 Problem 2.4

Questa densita’ si chiama Esponenziale bilaterale, perche’ la forma e’ Exp(λ) specchiata anche sull’asse negativo, con massa 1/2 su ciascuna semi-asse. Si puo’

anche scrivere f_X(x) = ¹₂λe^−λ|x| per −∞ < x < ∞. L’espressine per F_X(x) dipende dal segno di x. Per simmetria, Y = |X| ha una distribuzione Exp(λ).

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10 Problem 2.8

Una funzione e’ cdf (funzione di ripartizione) se’ e’ non decrescente e va da 0 a 1. . .

(a) e’ una distribuzione Exp(1), (b) cresce fino a 0, e’ costante su [0, 1) e poi cresce di nuovo (questo vuol dire che c’e’ probabilita’ 0 sull’intervallo [0, 1]), (c) cresce fino a 1/4 su (−∞, 0), poi F_X(0) = 3/4, dopo di che cresce (questo vuol dire che c’e’ una massa di probabilita’ = 1/2 nel punto x = 0.

Per definire inverse, bisogna stare un po’ attenti. . . In (a), F_X mappa (−∞, ∞) in [0, 1) e dunque l’inversa dovrebbe essere definita su [0, 1), ma F⁻¹(0) non e’ unica- mente definita, poiche’ l’immagine inversa e’ (−∞, 0]. Possiamo definire F⁻¹(0) = qualsiasi punto in (−∞, 0] e F⁻¹(t) = − ln(1 − t) per t ∈ (0, 1). Per una discus- sione approfondita su come definire inverse, vedere il Teorema 2.1.10 p. 54-55 del

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Dalla geometria della situazione, si vede che Y = d tan(X) e, se X ∼ U (0, π/2), che Y ∈ (0, ∞). Dunque,

FY(t) = P (d tan(X) ≤ t) = P (X ≤ arctan(t/d)) = 2

πarctan(t/d).

La densita’ e’ f_Y(t) = _π²¹_d_1+(t/d)¹ 2 per t ∈ (0, ∞). Per il calcolo di E(Y ), si presenta il problema che l’integrale di t/(1 + t²) su (0, ∞) diverge, ma si puo’ assegnargli il valore ∞ senza ambiguita’. . .

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12 Problem 2.14

Il problema 2.14 mostra un’utile identita’ per calcolare il valore atteso di vari- abili positive, sia nel caso continuo che discreto. la dimostrazione procede per integrazione per parti + una considerazione sul caso di E(X) = ∞.

13 Problem 2.16

La distribuzione e’ una mistura di due distribuzioni esponenziali, poiche’ se X ∼ exp(λ), allora P (X > t) = e^−λt (e, cosa che ci servira’ dopo, E(X) = 1/λ).

si puo’ descrivere come un doppio esperimento, prima si decide quale distribuzione usare, con probabilita’ a e 1-a, e poi si prende una realizzazione di quella scelta.

Comunque, qui avremo E(T ) = a/λ + (1 − a)/µ.

14 Problem 2.20

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p)^k−1 per k = 1, 2, . . .. Un po’ di calcolo con la serie geometrica mostra che P (N > k) = (1 − p)^k e, utilizzando il risultato di Problema 2.14, che E(X) = 1/p.

Visto che p = 1/2 nel presente problema, E(N ) = 2.

15 Problem 2.26-2.28

Provate a fare questi esercizi disegnando prima la situazione studiata e poi provando a formalizzare cio’ che e’ visivamente intuitivi, almeno per i problemi 2.26 e 2.27.

Per le due caratteristiche introdotte nel problema 2.28, si puo’ notare che sono qualche vota usati come descrittori di forma di una distribuzione, specie in letter- atura ”anziana”.