B × A A ={ 1,2,3,4 } ;B ={ 1,3,5 } ;C ={ 5,9 }

(1)

VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – 2 marzo 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare entro il 8 marzo 2018

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Rappresenta, nell'insieme universo Z (numeri interi), l'insieme dei numeri dispari compresi tra -10 e 10, sia in modo estensivo che in modo intensivo.

2

Rappresentare i seguenti insiemi in unico diagramma di Eulero Venn

A={a ,b , c , d , e }; B={a , b , f , g , h};C={a , c , f , m , n}

. e poi evidenziare gli insiemi

a

A∪B

b

B∩C

c

C−A

d

A∩B

3

Consideriamo gli insiemi:

A={1,2 ,3,4 }; B={1,3,5};C={5,9}

Determinare e rappresentare in forma estensiva i seguenti insiemi:

a

A× B

^b

B× A

^c

A×(B∪C )

d

( A×B)∪( A×C )

4

Rappresenta ciascuna delle seguenti relazioni in modo estensivo, mediante una tabella a doppia entrata, un diagramma a frecce e un grafico cartesiano, indicando anche il dominio e il codominio.

a∼b ⇔a

²

=b ;a ∈A={2,3,4};b∈B={4,5,9}

x∼y ⇔ x+ y<3 ; x∈ A={0,1 ,2 ,3}; y ∈B={−1,1,2}

5

Esprimi le seguenti frasi in termini di condizioni necessarie e/o sufficienti.

“Se un triangolo è equilatero allora è anche isoscele”

“Se un numero naturale è divisibile per 6 allora è divisibile per 3”

Argomenti: teoria degli insiemi: rappresentazione di insiemi nella forma intensiva, estensiva e mediante diagrammi. Logica dei predicati. Condizione necessaria, condizione sufficiente.Relazioni e funzioni. Capitoli 3 e 4 del libro di testo.

VALUTAZIONE

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecch i

BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it ; Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi

(2)

1

Rappresenta, nell'insieme universo Z (numeri interi), l'insieme dei numeri dispari compresi tra -10 e 10, sia in modo estensivo che in modo intensivo.

Rappresentare l'insieme in modo estensivo significa semplicemente che devo elencare gli elementi dell'insieme.

{−9 ;−7 ;−5 ;−3 ;−1 ;1 ;3 ;5 ;7 ;9}

Per rappresentare l'insieme in modo intensivo devo invece scrivere la descrizione della proprietà caratteristica (ammesso che ci sia). Anche se non è obbligatorio, trovo comunque didatticamente opportuno che tale descrizione sia espressa con linguaggio e simboli matematici.

{x∈ℤ∣x=2 k +1∧k ∈ℤ∧−4≤k ≤4}

.

è accettabile (ma non la risposta migliore) anche una descrizione più avara di simboli matematici come

{x∈ℤ∣x dispari∧−10<x<10}

ed altre eventuali variazioni sul tema.

2

Rappresentare i seguenti insiemi in unico diagramma di Eulero Venn

A={a ,b , c , d , e }; B={a , b , f , g , h};C={a , c , f , m , n}

. e poi evidenziare gli insiemi

a

A∪B

b

B∩C

c

C−A

d

A∩B

Suggerimento pratico: prima disegnate le ellissoidi che rappresentano A, B, C facendo in modo che ci sia una zona comune a tutti e tre e zone comuni due a due. Poi piazzate uno alla volta gli elementi elencati sopra. Il disegno dovrebbe essere qualcosa del genere in figura.

Per evidenziare gli insiemi consiglio di fare quattro disegni diversi , tutti copie dello stesso diagramma di Eulero Venn come sopra.

celeste

A∪B

verde

B∩C

rosso

C−A

arancio

A∩B

(3)

Si noti che

A∩B= A∪B

(4)

3

Consideriamo gli insiemi:

A={1,2 ,3,4 }; B={1,3,5};C={5,9}

Determinare e rappresentare in forma estensiva i seguenti insiemi:

a

A× B

^b

B× A

^c

A×(B∪C )

d

( A×B)∪( A×C )

Per esprimerci con più chiarezza abbandoniamo temporaneamente l'usuale rappresentazione estensiva con le parentesi graffe e gli elementi elencati in un'unica riga. La risposta è più chiara e visibili se disponiamo gli elementi (coppie) del prodotto cartesiano in una specie di distribuzione tabellare.

a

A× B

(1 ;1) (2 ;1) (3 ;1) (4 ;1)

(1 ;3) (2 ;3) (3 ;3) (4 ;3)

(1 ;5) (2 ;5) (3 ;5) (4 ;5)

b

B× A

(1 ;1) (1 ;2) (1 ;3) (1 ;4)

(3 ;1) (3 ; 2) (3 ;3) (3 ; 4)

(5 ;1) (5 ;2) (5 ;3) (5 ; 4)

c

A×(B∪C )

Osserviamo preliminarmente che

B∪C={1,3,5 ,9}

(1 ;1) (2 ;1) (3 ;1) (4 ;1)

(1 ;3) (2 ;3) (3 ;3) (4 ;3)

(1 ;5) (2 ;5) (3 ;5) (4 ;5)

(1 ;9) (2 ;9) (3 ;9) (4 ;9)

d

( A×B)∪( A×C )

Osserviamo preliminarmente che, facendo riferimento alla tabella sopra, le prime tre righe corrispondono a

A× B

mentre la terza e la quarta riga corrispondono a

A×C

. Dunque l'elenco di elementi richiesto è lo stesso scritto per la richiesta precedente.

Nota bene: è più bravo colui che nota questa uguaglianza e si risparmia la scocciatura di riscrivere la tabella, piuttosto di colui che non se ne accorge e riscrive la tabella perfettamente uguale alla precedente.

(5)

4

Rappresenta ciascuna delle seguenti relazioni in modo estensivo, mediante una tabella a doppia entrata, un diagramma a frecce e un grafico cartesiano, indicando anche il dominio e il codominio.

a∼b ⇔a

²

=b ;a ∈A={2,3,4};b∈B={4,5,9}

x∼y ⇔ x+ y<3 ; x∈ A={0,1 ,2 ,3}; y ∈B={−1,1,2}

Cominciamo dalla relazione:

a∼b⇔ a

²

=b ;a∈A={2,3 ,4};b∈B={4,5 ,9}

Modo estensivo (ovvero elencando le coppie)

{(2 ;4);(3 ;9)}

Tabella a doppia entrata

A \ B 4 5 9

2 X

3 X

4

Diagramma a frecce

Grafico cartesiano

Il dominio è l'insieme

{2 ;3}

, il codominio è l'insieme

{4,9}

(6)

x∼ y ⇔ x + y<3 ; x ∈A={0,1,2 ,3}; y∈B={−1,1 ,2}

Modo estensivo

{(0 ;−1);(0 ;1);(0 ; 2);(1 ;−1);(1 ;1);(2 ;−1);(3 ;−1)}

Tabella a doppia entrata

A \ B -1 1 2

0 X X X

1 X X

2 X

3 X

Diagramma a frecce

Grafico cartesiano

Il dominio è tutto l'insieme A, il codominio è tutto l'insieme B.

(7)

5

Esprimi le seguenti frasi in termini di condizioni necessarie e/o sufficienti.

“Se un triangolo è equilatero allora è anche isoscele”

“Se un numero naturale è divisibile per 6 allora è divisibile per 3”

La condizione “il triangolo è equilatero” è sufficiente per la condizione “il triangolo è isoscele”.

La condizione “il triangolo è isoscele” è necessaria alla condizione “il triangolo è equilatero”.

La condizione “il numero è divisibile per 6” è sufficiente per la condizione “il numero è divisibile per 3”.

La condizione “il numero è divisibile per 3” è necessaria alla condizione “il numero è divisibile per 6”.