Testo completo

(1)

C

ALCOLO DELLE

P

ROBABILITÀ

P

ROVA SCRITTA DEL

14/7/2009

Esercizio 1

Si considerino gli eventi A e B tali che P(A) = 0.49 e P(B) = 0.64.

(1.1) Si stabilisca se i due eventi A e B sono incompatibili, motivando la risposta.

(1.2) Si dimostri che P(B−A) ≥ 0.15.

Sia C un evento tale che C ≠ ∅ e P(C) = 0.

(1.3) Si fornisca un esempio di un tale evento C, giustificando la risposta.

(1.4) Si calcolino P(B∩C) e P(B∪C), motivando le risposte.

(1.5) Supponendo l’indipendenza dei due eventi A e B, si stabilisca se i tre eventi A, B e C sono indipendenti, motivando la risposta.

Soluzione

Siano A e B due eventi tali che P(A) = 0.49 e P(B) = 0.64.

(1.1) Gli eventi A e B non possono essere incompatibili, perché se lo fossero si avrebbe P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1.13 > 1, che è assurdo.

(1.2) P(B−A) = P(B) − P(A∩B) ≥ P(B) − P(A) = 0.15.

Sia C un evento tale che C ≠ ∅ e P(C) = 0.

(1.3) Sia, ad esempio, C = {Z = 0} con Z ∼ N(0,1).

(1.4) P(B∩C) = 0, essendo P(B∩C) ≤ P(C) = 0, e dunque P(B∪C) = P(B) + P(C) = 0.64.

(1.5) Se i due eventi A e B sono indipendenti, allora anche i tre eventi A, B e C sono indipendenti […].

(2)

Esercizio 2

Il numero X di molecole di sodio presenti in un millilitro di acqua minerale è interpretabile mediante una v.c. di Poisson con parametro λ = 1.5.

(2.1) Si determini la probabilità che in un millilitro di acqua minerale non vi sia più di una molecola di sodio e si calcoli P(1.2 < X < 2.3).

(2.2) Si dimostri la formula del valore atteso per la v.c. di Poisson.

Sia S la v.c. che esprime il numero complessivo di molecole di sodio presenti in un campione di 100 millilitri di acqua minerale.

(2.3) Si determini la distribuzione di S, motivando la risposta.

(2.4) Si fornisca un’approssimazione Normale per S, giustificandola con un opportuno teorema (di cui si richiede l’enunciato completo di tutte le ipotesi).

(2.5) Utilizzando l’approssimazione del punto precedente, si calcoli la probabilità che il campione di acqua minerale contenga più di 120 molecole di sodio e si determini il quantile di ordine 0.04.

Soluzione

Sia X una v.c. di Poisson con parametro λ = 1.5.

(2.1) P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = (e) (1 + λ) = (0.2231) (2.5) = 0.5578;

P(1.2<X<2.3) = P(X=2) = (e) (λ2/2) = (0.2231) (1.125) = 0.2510.

(2.2) E(X) = λ […].

Siano X1,…,Xn n = 100 v.c. indipendenti con la medesima distribuzione di X.

(2.3) S =

Xi è una v.c. di Poisson con parametro nλ = 150 per la proprietà riproduttiva.

(2.4) Essendo E(S) = 150 = Var(S), S è approssimabile mediante una v.c. N(150,150) per il TCL […].

(2.5) P(S>120) ≅ P[Z>(120−150)/√150] = P(Z>-2.45) = 1 − Φ(-2.45) = 1 − 0.0071 = 0.9929;

0.04 = P(S≤s) = P[Z≤(s−150)/√150] ⇒ -1.76 = (s−150)/√150 ⇒ s = 128.4445.

Quesito

Si enunci e si dimostri la proprietà riproduttiva della v.c. di Poisson.

[…]

(3)

Esercizio 3

(3.1) Si trovi il valore della costante k per cui

ϕ(x,y) = k x y e (x + y) (x>0, y>0) rappresenta la funzione di densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).

(3.2) Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.

(3.3) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.

Si consideri la v.c. T = 2(X + Y).

(3.4) Si calcoli Cov(X,T) e si determini il valore del parametro g per cui T ~ χ2g, motivando le risposte.

Siano T1,…,Tn v.c. indipendenti e distribuite come T e sia Sn = T1 + … + Tn.

(3.5) Si determini il limite a cui Sn / n converge in probabilità, giustificando la risposta con un opportuno teorema (di cui si richiede l’enunciato completo di tutte le ipotesi).

Soluzione

(3.1) k = 1 […].

(3.2) Le funzioni di densità delle v.c. marginali sono date da:

ϕ(x) = x e-x (x>0) e ψ(y) = y e-y (y>0).

(3.3) X e Y sono indipendenti e identicamente distribuite […].

Sia T = 2(X + Y).

(3.4) Cov(X,T) = 2Var(X) + 2Cov(X,Y) = 4 per la proprietà di bilinearità della covarianza;

essendo X ~ Gamma(2,1), risulta 2X ~ Gamma(2,1/2) = χ24 e T ~ χ2g con g = 8, per la proprietà riproduttiva della v.c. χ2.

Siano T1,…,Tn v.c. indipendenti e distribuite come T e sia Sn = T1 + … + Tn. (3.5) Sn / n converge in probabilità a E(T) = 8 per la LGN […].

figura

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