Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 7
†Variabili aleatorie notevoli e riepilogo.
Esercizi teorici
Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria reale tale che la funzione generatrice dei momenti MX(t) = E(etX) è finita in un intorno (−t0, +t0) di t = 0. Si mostri che
MX(t) =
∞
X
k=0
E(Xk)tk
k!, ∀t ∈ (−t0, t0) .
Di conseguenza, la funzione MX è C∞ (anzi analitica) in (−t0, t0) e per ogni k ∈ N si ha dkMX
dtk (0) = E(Xk) .
[Sugg.: Si applichi il criterio visto per la convergenza degli integrali di serie di funzioni.]
Esercizi “pratici”
Esercizio 2. Siano X1, X2, . . . , Xn variabili aleatorie indipendenti con leggi U(0, 1).
(a) Si determini la legge di L := min{X1, X2} e M := max{X1, X2}, mostrando che si tratta di variabili assolutamente continue.
(b) Si determini la legge di Ln:= min{X1, X2, . . . , Xn}.
(c) Posto Zn:= nLn, si mostri che per ogni r ≥ 0 fissato si ha
n→∞lim FZn(r) = 1 − e−r.
Esercizio 3. Siano X ∼ Pois(λ), Y ∼ Pois(µ) variabili casuali indipendenti, ossia P(X = n) = e−λλk
k!1N0(k) , P(Y = n) = e−µµk
k!1N0(k) .
Per n ≥ 0 fissato, si determini la distribuzione della variabile aleatoria X rispetto alla probabilità condizionata P( · |X + Y = n).
Esercizio 4. Siano X, Z e W variabili casuali indipendenti con X ∼ Be(p) e Z, W ∼ P ois(λ). Definiamo Y := XZ + W .
(a) Determinare le densità discrete di (X, Y ) e di Y .
(b) Utilizzando la densità pY calcolata al punto precedente, calcolare E(Y ) e V ar(Y ).
(c) Calcolare E(Y ) e Var(Y ) senza utilizzare pY.
Esercizio 5. Un insetto depone un numero aleatorio N ∼ P ois(λ) di uova. Ciascun uovo deposto si schiude con probabilità p ∈ (0, 1), indipendentemente dal numero di uova deposte e dal fatto che le altre si schiudano. Sia X il numero di uova che si schiudono.
(a) Qual è il valore di P(X = k|N = n), per n ∈ N0 e k ∈ R?
†Ultima modifica: 28 novembre 2013.
2
(b) Si mostri che la densità congiunta di X e N è data da pX,N(k, n) =
( n
kpk(1 − p)n−ke−λ λn!n se 0 ≤ k ≤ n
0 altrimenti .
(c) Si determini la legge di X, riconoscendola come notevole.
(d) Si calcoli Cov(X, N ).
Esercizio 6. Siano X, Y variabili aleatorie i.i.d. con distribuzione marginale Geo(p).
Determinare la legge delle variabili aleatorie
Z := max{X, Y } , W = min{X, Y } , riconoscendo la distribuzione di Y come notevole.
Esercizio 7. Siano X1, X2, . . . , Xn variabili aleatorie indipendenti con leggi Xi∼ Exp(λi).
Si determini la distribuzione della variabile aleatoria W := min{X1, . . . , Xn} .
Esercizio 8. Sia X una variabile casuale reale assolutamente continua con densità fX(x) = − log(xc)1(0,1)(x).
(a) Si determini il valore di c ∈ R affinché fX sia effettivamente una densità, e si determini la funzione di ripartizione di X.
(b) Sia Y = − log X. Si mostri che Y è una variabile Gamma e se ne determinino i parametri.
Esercizio 9. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con distribuzione uniforme sul cerchio di raggio unitario. Si determinino, possibilmente senza fare calcoli, le seguenti probabilità condizionali:
P
max(|X|, |Y |) ≤ 1 2√
2
X2+ Y2 ≤ 1 4
, P
max(|X|, |Y |) ≤ 1 2
|X| + |Y | ≤ 1
. [Sugg.: fare qualche disegno.]
Esercizio 10. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio a valori in R2, con densità fX,Y(x, y) :=
(c e−x se 0 < x < y < x + 1
0 altrimenti ,
dove c ∈ R è una opportuna costante.
(a) Si calcoli il valore della costante c e si mostri che X è una variabile aleatoria con distribuzione Exp(1).
(b) Si mostri che Z := log(X) è una variabile aleatoria assolutamente continua e se ne determini la densità. Per quali valori di p si ha Z ∈ Lp?
(c) Si ponga W := Y − X e si mostri che il vettore (X, W ) è assolutamente continuo, con densità congiunta data da
fX,W(x, w) = e−x1(0,∞)×(0,1)(x, w) . Qual è la distribuzione di W ?
3
(d) Le variabili aleatorie X e W sono indipendenti? X e Y sono indipendenti?
(e) Si determini la densità di Y . Si calcoli E(eX−Y).
Esercizio 11. Fissati p ∈ (0, 1) e n ∈ N con n ≥ 2, siano ξ1, . . . , ξn variabili aleatorie i.i.d.
ciascuna a valori in {−1, 1} con P(ξ1 = 1) = p. Definiamo X :=
n
Y
i=1
ξi = ξ1· ξ2· · · ξn. (a) Si determini E(X). Si deduca quindi la legge di X.
(b) X è indipendente dal vettore aleatorio (ξ1, . . . , ξn)?
(c) (*) X è indipendente dal vettore aleatorio (ξ2, . . . , ξn)?
Esercizio 12. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X1∼ U(0, 1).
(a) Poniamo Yn:= − log(Xn) per n ∈ N. Si determini la legge di Yn e si dica se variabili aleatorie {Xn}n∈N sono indipendenti.
(b) Si determini la legge di Sn:= Y1+ . . . + Yn. (c) Si deduca infine la densità di Zn:= X1· X2· · · Xn.
Esercizio 13. Siano (Xn)n∈N variabili aleatorie i.i.d. U(−12,12).
(a) Si mostri che le variabili aleatorie (Yn:= Xn+ 12)n∈N sono i.i.d. U(0, 1).
(b) Applicando l’Esercizio 2, si deduca che per ogni r > 0
n→∞lim P min{X1, . . . , Xn} ≤ −12+ rn
= 1 − e−r. Si deduca che esistono r > 0 e n0 < ∞ tale che per ogni n > n0
P
min{X1, . . . , Xn} ≤ −12 +nr
≥ 0.99 .
(c) Introduciamo per n ∈ N e δ > 0 il sottoinsieme Cn(δ) ⊆ Rn definito da Cn(δ) := − 12,12n
\ −12+ δ,12 − δn
,
ossia la “buccia interna” di spessore δ del cubo n-dimensionale (−12,12)n. Si mostri che per n > n0
P (X1, . . . , Xn) ∈ Cn nr
≥ 0.99 .
(d) Si mostri che, per ogni n ∈ N, il vettore aleatorio (X1, . . . , Xn) ha distribuzione uniforme continua nell’insieme (−12,12)n⊆ Rn. Indicando con λ la misura di Lebesgue n-dimensionale, si osservi che λ((−12,12)n) = 1 e si deduca che per n > n0
λ Cn r n
≥ 99% .
In altre parole, per n grande, “quasi tutto il volume di un cubo n-dimensionale è contenuto in una buccia sottile”, il cui spessore r/n tende a zero per n → ∞!
