P 14/9/2010 C P

C

ALCOLO DELLE

P

ROBABILITÀ

P

ROVA SCRITTA DEL

14/9/2010

Esercizio 1

Si considerino gli eventi indipendenti A e B tali che P(A) = 0.5 = P(B).

(1.1) Si stabilisca se i due eventi A e B sono incompatibili, motivando la risposta.

(1.2) Si calcolino P(A∪B) e P(A−B).

Sia C un evento tale che C ≠ ∅ e P(C) = 0.

(1.3) Si fornisca un esempio di un tale evento C, giustificando la risposta.

(1.4) Si calcolino P(B∩C) e P(C−B), motivando le risposte.

(1.5) Si stabilisca se i tre eventi A, B e C sono indipendenti, motivando la risposta.

Soluzione

Siano A e B due eventi indipendenti tali che P(A) = 0.5 = P(B).

(1.1) Gli eventi A e B non possono essere incompatibili, perché se lo fossero si avrebbe 0 = P(A∩B) = P(A) P(B) = 0.25, che è assurdo.

(1.2) P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = (0.5) (2 − 0.5) = 0.75;

P(A−B) = P(A) − P(A∩B) = P(A) [1 − P(B)] = (0.5) (0.5) = 0.25.

Sia C un evento tale che C ≠ ∅ e P(C) = 0.

(1.3) Sia, ad esempio, C = {Z = 0} con Z ∼ N(0,1).

(1.4) P(B∩C) = 0, essendo P(B∩C) ≤ P(C) = 0, e dunque P(C−B) = P(C) − P(C∩B) = 0.

(1.5) Essendo i due eventi A e B indipendenti, anche i tre eventi A, B e C sono indipendenti come si può verificare facilmente applicando la definizione.

Esercizio 2

Il numero X di particelle di una sostanza inquinante presenti in un millilitro di acqua è interpretabile mediante una v.c. di Poisson con parametro λ = 1.5.

(2.1) Si determini la probabilità che in un millilitro di acqua vi siano almeno due particelle inquinanti e si calcoli P(2.1 ≤ X < 3.2).

(2.2) Si enunci e si dimostri la proprietà riproduttiva della v.c. di Poisson.

Sia S la v.c. che esprime il numero complessivo di particelle della sostanza inquinante presenti in un campione casuale di 50 millilitri di acqua.

(2.3) Si determini la distribuzione di S, motivando la risposta.

(2.4) Si fornisca un’approssimazione Normale per S, giustificandola con un opportuno teorema, di cui si richiede l’enunciato completo di tutte le ipotesi.

(2.5) Utilizzando l’approssimazione del punto precedente, si calcoli la probabilità che il campione di acqua contenga non più di 90 particelle dell’inquinante e si determini il quantile di ordine 0.9.

Soluzione

Sia X una v.c. di Poisson con parametro λ = 1.5.

(2.1) P(X≥2) = 1 − P(X≤1) = 1 − [P(X=0) + P(X=1)] = 1 − (e^-λ) (1 + λ) = 1 − (0.2231) (2.5)

= 1 − 0.5578 = 0.4422;

P(2.1≤X<3.2) = P(X=3) = (e^-λ) (λ³/6) = (0.2231) (0.5625) = 0.1255.

(2.2) Se X₁,…, X_m sono v.c. di Poisson indipendenti con parametri, rispettivamente, λ1,…, λm, allora la v.c. somma

∑

=

= ^m

1 i

Xi

S ha distribuzione di Poisson con parametro ∑

= λ

= Λ

m i

i 1

.

Infatti,

( ) _∏

=

=

= ^m

i X tS

S t Ee G t

G i

1

) ( )

( ( ) ( )⁻ ( )^{− Λ}

=

− ∑ =

=

=

∏

^{= 1 1}

1

1 ₁ ^t

m i

t t i

i e

m e

i

e e e

e

λ λ

con ∑

=

= Λ

m i

i 1

λ

Siano X1,…,Xn n = 50 v.c. indipendenti con la medesima distribuzione di X.

(2.3) S =

∑

X_i è una v.c. di Poisson con parametro nλ = 75 per la proprietà riproduttiva.

(2.4) Essendo E(S) = 75 = Var(S), S è approssimabile mediante una v.c. N(75,75) per il TCL (per l’enunciato si veda il libro di testo).

(2.5) P(S≤90) ≅ P[Z≤ (90−75)/√75] = P(Z≤1.7321) = Φ(1.7321) = 0.9584;

0.9 = P(S≤s) = P[Z≤(s−75)/√75] ⇒ 1.2816 = (s−75)/√75 ⇒ s = 86.0986.

Quesito

Si fornisca un esempio di due v.c. X₁ e X₂ identicamente distribuite tali che P(X₁ = X₂) < 1.

Soluzione

Come esempio di due v.c. X1 e X2 identicamente distribuite tali che P(X1 = X2) < 1 si possono considerare i risultati di due lanci di una moneta regolare, poiché in tal caso P(X1 = X2) = ½. e Xi∼Ber(0.5) i=1,2.

Esercizio 3

(3.1) Si verifichi che la funzione

( )

5 2

2 /

, y

y e x

−x

ϕ = (x > 0 e y > 1) rappresenta la funzione di densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).

(3.2) Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.

(3.3) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.

Siano X₁ e X₂ v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X₁ + X₂. (3.4) Si determini il valore di g per cui S ∼ χ²g, motivando la risposta.

Siano Y₁,…,Y_n v.c. indipendenti e distribuite come Y e sia T_n = Y₁ + … + Y_n.

(3.5) Si determini il limite a cui Tn / n converge in probabilità, motivando la risposta.

Soluzione

(3.1) Occorre verificare che: ϕ(x,y) >0 e ∫∫ ϕ(x,y) dxdy =1.

(3.2) Le funzioni di densità delle v.c. marginali sono date da:

ϕ(x) = (e^-x/2) /2 (x > 0) e ψ(y) = 4 y^-5 (y > 1).

(3.3) Si verifica che X e Y sono indipendenti, ma non sono identicamente distribuite.

Siano X₁ e X₂ v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X₁ + X₂. (3.4) Per la proprietà riproduttiva della Gamma, S ~ Gamma(2,1/2) = χ²4. Siano Y₁,…,Y_n v.c. indipendenti e distribuite come Y e sia T_n = Y₁ + … + Y_n. (3.5) Per la Legge dei grandi numeri, Tn / n converge in probabilità a

( )

3

4 1

3 4 4 1

) (

1 3 1

4  =



 



− 

=

=

=

+∞ +∞

+∞

∞

−

∫ ∫

dx y dy y

y y Y

E ψ ^.