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Algebra 2 Esercizi 10 - 13 dicembre 2018 1. Nel campo R dei numeri reali, si considerino i seguenti sottocampi: K

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Academic year: 2021

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Algebra 2

Esercizi 10 - 13 dicembre 2018

1. Nel campo R dei numeri reali, si considerino i seguenti sottocampi: K1= Q[1 +

√

5] e K2= Q[√

5 − 3]. Provare che K1= K2.

2. Si consideri l’estensione di campi L : K. Provare che se a ∈ L `e algebrico su K, allora anche a + 1 `e algebrico su K. Se il polinomio minimo di a ha grado n, che grado ha il polinomio minimo di a + 1?

3. Si fissi un numero naturale n. Provare che esiste un numero a ∈ R tale che ha il polinomio minimo su Q di grado n.

4. Si consideri l’estensione di campi L : K. Sia a ∈ L e sia g ∈ K[x] un polinomio monico e irriducibile, tale che g(a) = 0. Provare che g `e il polinomio minimo di a su Q.

5. Trovare il polinomio minimo di√

8 su Q[√ 2].

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