Simmetrie e leggi di conservazione

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Simmetrie e leggi di conservazione

Lezione 5

Simmetrie in meccanica classica

•  Un sistema classico è descritto dal suo insieme di coordinate:

•  Simmetrie sono trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la lagrangiana (o l’hamiltoniana) del sistema.

–  Trasformazioni continue

–  Trasformazioni discrete

–  formalismo hamiltoniano

•  In forma differenziale

•  Inversione temporale

–  formalismo lagrangiano

•  Traslazioni

•  Rotazioni

•  Traslazione temporale

•  Parità:

L(q, !q) = T −U d

dt

∂L

∂ !q −∂L

∂q = 0

H (q, p) = T +U

!q = ∂H

∂p , !p = − ∂H

∂q

x → x + x₀ x → x +δ^x

x → Rx x → x +δω × x

t → t + t₀ t → t +δ^t

x → −x t → −t

Simmetrie in meccanica classica

•  Esempi:

–  T ed U indipendenti dal tempo:

•  simmetria per traslazione ed invarianza temporale

–  Moto di una particella in un campo centrale:

•  simmetria per rotazioni e parità

–  Sistema di due particelle interagenti tra loro

•  simmetria per traslazioni

•  e per rotazioni e parità se U dipende solo da |r_a-r_b| L(x, !x) = 1

2m!x² −U(| x |)

L(r_a, r_b, !r_a, !r_b) = 1

2m_a!r_a² + 1

2m_b!r_b² −U(r_a − r_b)

Teorema di Noether

•  Introduciamo le parentesi di Poisson:

•  La derivata rispetto al tempo di una quantità g(p,q) è

•  Se per una data trasformazione definiamo un g in modo tale che

•  per una simmetria abbiamo che:

•  Se per trasformazioni infinitesimali possiamo scrivere g=εG, G è detto generatore della trasformazione e:

•  Alla simmetria posso associare una quantità conservata.

{F, G}^{= ∂F}

∂q

∂G

∂p −∂F

∂p

∂G

∂q

{g, H}^{= ∂g}

∂q

∂H

∂p − ∂g

∂p

∂H

∂q = ∂g

∂q !q + ∂g

∂p !p = !g

δH = g, H{ }

δH = g, H{ }^{= 0}

G = G, H ! { } ^{= 0}

Teorema di Noether (più noto nel formalismo lagrangiano)

Simmetrie formalismo hamiltoniano

•  Esempi:

–  Traslazione

–  Rotazioni

δH = ∂H

∂x δx = ∂(δx ⋅ p)

∂p

∂H

∂x = ∂(δx ⋅ p)

∂p

∂H

∂x −∂(δx ⋅ p)

∂x

∂H

∂p = −{δx ⋅ p, H} G = p

=0

= ∂ p ⋅ (δω × x)

( )

∂p

∂H

∂x +∂ x ⋅ (δω × p)

( )

∂x

∂H δH = ∂H ∂p

∂x

(

)

∂p

(

)

= ∂

(

)

∂p

∂H

∂x +∂

(

)

∂x

∂H

∂p = ∂

(

)

∂p

∂H

∂x −∂

(

)

∂x

∂H

∂p

= −{δω ⋅ (x × p), H}

G = x × p

Simmetrie in meccanica quantistica

•  In meccanica quantistica le considerazioni sono analoghe al caso classico, sostituendo le parentesi di Poisson con il commutatore.

•  L’evoluzione temporale del valore di aspettazione di una variabile Q è data dal suo commutatore con l’Hamiltoniana:

•  In particolare Q è una quantità conservata se e soltanto se:

•  L’applicazione di una trasformazione U, lascia invariata l’Hamiltoniana se:

•  In generale se una trasformazione infinitesima si può scrivere:

G è una quantità conservata.

d

dt Q = 1

i!

[

]

[

]

UHU⁻¹ = H ^{UH = HU}

[

]

U = exp −i

(

)

Trasformazioni e generatori

•  Consideriamo una traslazione:

–  dove abbiamo usato l’operatore di momento

•  La serie è quella di un’esponenziale:

•  Si può quindi definire il generatore delle traslazioni:

•  e se l’Hamiltoniana è invariante per traslazioni

ψ( )x ^→ψ(^{x −ε})

=ψ( )x ^{−ε d}

dxψ( )x ^{+ 1} 2ε^{2 d}

2

dx²ψ( )x ^{− 1} 6ε^{3 d}

3

dx³ψ( )x ^{+ 1}

24ε^{4 d}

4

dx⁴ψ( )x ^+…

=ψ( )x ^{−ε⎛i p}_!^x

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ψ( )x ^{+ 1}

2ε² i p_x

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

ψ( )x ^{− 1}

6ε³ i p_x

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3

ψ( )x ^{+ 1}

24ε⁴ i p_x

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

4

ψ( )x ^+…

p_x = −i! d dx

ψ(x −ε) ^{= Uψ}( )^{x = exp −i⎛ ε p}_!^x

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ψ( )^x

G = p_x

!

p_x, H

[ ]

Simmetrie e autovalori

•  Dalla relazione di commutazione segue che se ψ è autostato di H, anche Gψ lo è:

•  Se ψ è unico, allora necessariamente deve anche essere autostato di G:

•  Se un certo livello energetico ha n autostati degeneri, ψ₁, ψ₂, ... ψ_n,

–  Il trasformato di un autostato deve potersi esprimere come sovrapposizione lineare degli altri:

–  Diagonalizzando la matrice G_m,i, si può creare una base di autostati sia di G che di H.

•  Esempio:

–  Particella in potenziale a simmetria sferica:

sono conservati L² e L_x, L_y, L_z, (generatori delle rotazioni).

–  Gli autovalori di H, E_n,l dipendono da L², con degenerazione n=2l+1

–  Tipicamente si scelgono come base autofunzioni:

–  che sono i 2l+1 autostati di L_z con autovalore mħ

Gli autovalori di G possono venire usati per classificare gli autostati di H

H (Gψ) = (HG)ψ = (GH )ψ = E_ψGψ

Gψ_i = G_m,iψ_m

m=1,…n

∑

Gψ = η_Gψ

G_m,i = ψ_m | G | ψ_i

ψ_n,l,m = u_n,l(r)

r Y_l,m(θ^,ϕ⁾

Simmetrie discrete

•  Oltre alle trasformazioni continue, in meccanica quantistica hanno particolare importanze le trasformazioni discrete:

–  Parità P

–  Inversione temporale T

–  Coniugazione di carica C

•  scambio di particelle con antiparticelle

•  non ha un analogo classico

•  Tutte hanno la proprietà: P²=T²=C²=1

–  I possibili autovalori sono solo 1 e -1

r ⎯ →^P⎯ −r

t ⎯ →^T⎯ −t

Parità

•  Grandezze vettoriali possono comportarsi diversamente per trasformazioni i parità:

–  Vettori polari: cambiano segno per parità

•  il vettore di coordinate cambia segno per definizione di trasformazione di parità;

•  allo stesso modo la velocità

•  ed il vettore di momento

–  Vettori assiali: non cambiano segno per parità

•  il momento angolare

•  lo spin.

•  Analogamente esistono:

–  grandezze scalari: non cambiano segno per parità

•  r², p²/2m, L², L⋅S

–  grandezze pseudoscalari: cambiano segno per parità

•  p⋅S

Parità e momento angolare

•  Nel caso di una particella in un campo centrale:

•  Le funzioni Y_lm(θ,φ) sono tali che:

•  In aggiunta possiamo assumere che una particella abbia una parità intrinseca, così come ha un momento angolare intrinseco.

•  Per cui

•  Nel caso di due particelle ed interazione a simmetria sferica, il problemà è esattamente analogo a quello di particella singola, a patto di prendere la massa ridotta:

•  Una volta definita la parità di una particella si possono ricavare le altre parità relative a partire da questa.

ψ_n,l,m = u_n,l(r)

r Y_l,m(θ^,ϕ⁾

Pψ_n,l,m =η_ψ(−1)^lψ_n,l,m

Pψ_n,l,m =η₁η₂(−1)^lψ_n,l,m P u_n,l(r)

r Y_l,m(θ^,ϕ⁾

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ = u_n,l(r)

r Y_l,m(π −θ^,ϕ+π_{) = (−1)}^{l un,l(r)}

r Y_l,m(θ,ϕ)

Parità del campo elettromagnetico

•  Il campo elettrico E è un vettore polare:

•  Il campo magnetico B è un vettore assiale:

•  Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di parità:

•  Le interazioni elettromagnetiche conservano la parità.

•  L’interazione del campo elettromagnetico è di natura polare:

–  Forza elettromagnetica:

–  Densità di quantità di moto (vettore di Poynting):

Il fotone ha parità negativa.

P(E) = −E P(B) = B

∇ ⋅ E = ρ

ε₀ ^{∇ ⋅ B = 0}

∇ × E +∂B

∂t = 0 ∇ × B −µ₀ε₀^∂E

∂t =µ₀J

-1 -1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 -1 +1 -1 -1

S = 1 µ0

E × B F = q E + v × B( )

Violazione della parità

•  Abbiamo appena detta che le interazioni elettromagnetiche conservano la parità.

•  È sperimentalmente osservato che questo vale anche per le interazioni forti.

•  Non è così per le interazioni deboli

•  L’osservazione sperimentale si basa sulla misura del valore di aspettazione di un’osservabile pseudoscalare S:

•  Se P è una simmetria, il valore di aspettazione prima e dopo l’applicazione della trasformazione deve coincidere:

•  quindi se P è una simmetria:

S ⎯ →^P⎯ −S

S ⎯ →^P⎯ −S = − S

S = − S = 0

Esperimento di Wu et al.

•  Lo spin dei nuclei del ⁶⁰Co è allineato al campo magnetico esterno B.

•  Critico raggiungere basse temperature (10^-3 K):

–  polarizzazione

•  Violazione di parità tramite osservazione di una correlazione on B degli elettroni emessi:

rivelatore elettroni

rivelatore fotoni rivelatore

fotoni

60Co

60Ni*

γ β

B

non dipende dal segno di B

B ⋅ ˆpˆ _e ≠ 0

dipende dal segno di B

= tanh B ⋅ µ / kT( )

Eu^152m

Elicità del neutrino

•  Successivamente fu osservata l’elicità degli elettroni:

•  Diventa importante poter verificare anche

•  Catena di decadimento:

–  Eu^152m (0^-)

–  cattura elettronica Q=840 keV ê

–  Sm^152* (1^-)

–  emissione γ E_γ^*=960 keV ê

–  Sm¹⁵² (0⁺)

•  Fotoni emessi lungo la direzione di volo del nucleo:

–  Hanno la stessa elicità del neutrino –  Sono più energetici

Sm^152*

ν

h_ν

m_z(Sm)=0,-hν

Sm¹⁵²

γ

h_γ=hν

Sm¹⁵²

γ

h_γ=-hν ˆp_e⋅ ˆS_e = −β

ˆp_ν ⋅ ˆS_ν

Apparato sperimentale

•  Riassorbimento dei gamma soppresso:

–  Righe di emissione ed assorbimento leggermente spostate

–  Emissione: parte dell’energia portata dal nucleo di rinculo:

–  Assorbimeno: parte dell’energia va al nucleo per conservare il momento

•  L’effetto doppler del nucleo in

movimento può compensare la distanza tra le righe.

–  Solo i fotoni emessi nella direzione di volo del Sm interagiscono con lo

“scatterer”

•  Polarimetro

–  Il ferro magnetizzato trasmette meglio fotoni con spin parallelo a quello degli elettroni

E_γ = Eγ^*(1 − E_γ^* / 2M (Sm)c²)

E_γ = E_γ^*(1 + E_γ^*/ 2M (Sm)c²)

Elicità del neutrino: risultati

•  Invertendo il campo magnetico:

–  Canali A e C non mostrano cambiamento di rate

–  Variazione osservata in B:

(dopo aver sottratto il fondo non risonante)

–  Atteso per elicità 100%:

•  <h

>=-(68±14)%

–  Tenuto conto di effetti

depolarizzanti, compatibile con 100% nel decadimento

δ = N₋ − N₊

12

(

)

δ = 0.025

Violazione della parità

•  Il fatto che i neutrini abbiano un’elicità definita presenta una violazione massimale della parità:

•  che non esiste.

•  Analogamente, le antiparticelle tendono ad avere elicità positiva:

P(ν_h=−1) = ν_h=+1

ˆp_e⁺ ⋅ ˆS_e⁺ = +β ˆp_ν ⋅ ˆS_ν = +1

P(ν_h=+1) = ν_h=−1

Coniugazione di carica

•  L’operatore di coniugazione di carica C scambia particelle con le rispettive antiparticelle.

–  Es.:

–  Tutti i numeri quantici vengono invertiti –  Es.:

•  Come per la Parità si ha che:

–  C²=1 ⇒ autovalori possibili η_C=±1

–  Solo gli stati completamente neutri possono essere autostati di C

•  C del fotone:

–  C inverte le cariche del sistema: tutti i campi E e B cambiano di segno.

C(e⁻) = e⁺ C(e⁺) = e⁻

n : numero barionico = +1, µ = −1.91µ_N C(n) = n : numero barionico = −1, µ = +1.91µ_N

C(γ ) = −γ

Positronio

•  Stato legato elettrone-positrone

•  Equazione di Schrödinger identica a quella dell’atomo di idrogeno

–  unica differenza la massa ridotta:

–  Ci sono quattro possibili configurazioni di spin –  Si combinano in:

•  un tripletto con S=1, S_z=+1,0,-1

•  un singoletto con S=0

•  Parità:

–  scambio della posizione relativa delle particelle –  parità intrinseca

•  Coniugazione di carica

–  lo scambio di particelle corrisponde alla trasformazione di parità –  in aggiunta scambio anche degli spin: -1 per S=0, +1 per S=1

µ = m_e ⋅ m_e

m_e + m_e = m_e

2 _{↑ ↓ ↑ ↓}

↑ ↑ ¹ ↑ ↓↑ ↓ ↓ ↑↓ ↑ ↓ ↓ 2

1 2

+

−

η_P =η_e⁻η_e⁺(−1)^l

η_C =η_P(−1)^S+1

Positronio

•  Lo stato fondamentale ha l=0

–  Stato di singoletto: para-positronio ¹s₀ –  Stato di tripletto: orto-positronio ³s₁ –  I due stati hanno la stessa parità

•  anche se i livelli differiscono di 8×10^-4 eV

non si può transire elettromagneticamente: emissione di un γ cambia parità η_γ=-1

–  Ma opposta coniugazione di carica

•  Il para-positronio decade in 125 ns in uno stato con 2γ: η_C=+1

•  L’orto-positronio decade in 140 µs in uno stato con 3γ: η_C=-1

–  η_P=η_e+η_e-=-1: parità di fermione ed antifermione sono opposte

•  Risultato, al pari di g=2, predetto dalla meccanica quantistica relativistica

•  Verificato direttamente dallo studio della correlazione tra le polarizzazioni ε₁ e ε₂ dei fotoni uscenti dal decadimento del parapositronio, discrimando i casi:

η_P =η_e⁻η_e⁺

η_C =η_P(−1)^S+1

ψ⁽²γ) ∝ ε₁⋅ ε₂ η_2γ = +1 ψ⁽²γ) ∝ ε( ₁ × ε₂ )^{⋅ k η}2γ = −1

momento del fotone

Violazione della coniugazione di carica

•  Nelle interazioni deboli viene anche violata C

•  Sempre nel caso del neutrino:

•  che non esiste.

•  Tuttavia funziona la trasformazione composta:

–  CP risulta una simmetria più fondamentale di C e P separatamente –  vedremo che anch’essa sarà violata dalle interazioni deboli, ma ad

un livello molto minore.

C(ν_h=−1) = ν_h=−1

CP(ν_h=−1) = C(ν_h=+1) = ν_h=+1

Inversione temporale

•  Classicamente l’operatore di inversione temporale T: ^t→-t

•  La versione quantistica è tale che:

–  Partendo dall’equazione di Schrödinger:

–  Facendone il coniugato:

–  E poi l’inversione t→-t

–  ψ^*(r,-t) è solutione dell’equazione di Schrödinger con la stessa energia di ψ(r,t) se THT^-1=H

•  Sotto T cambiano segno v, p=mv, L=r×p, S

–  Es.: particella libera:

–  Es.: momento angolare:

Tψ r, t

( )

(

)

i!∂ψ(r, t)

∂t = Hψ(r, t)

−i!∂ψ^*(r, t)

∂t = Hψ^*(r, t)

i!∂ψ^*(r, −t)

∂t = Hψ^*(r, −t)

ψ(p) = e

i

!(p⋅r−Et)

→ψ^*(p) = e⁻

i

!(p⋅r−Et)

→ Tψ(p) = e

i

!(−p⋅r−Et)

=ψ(−p) Y_l,m(θ^,ϕ) ∝ e^imϕ ⎯ →^T⎯ e^−imϕ = Y_l,−m(θ,ϕ)

Principio del bilancio dettagliato

•  Una conseguenza significativa dell’invarianza temporale è l’invarianza dell’elemento di matrice:

•  nelle probabilità di transizione:

–  Se vale l’invarianze per inversione temporale: |<f|U|i>|=|<i|U|f>|

–  la differenza di probabilità è dovuta solamente ai termini di densità di stati.

•  In una situazione di equilibrio:

Principio del bilancio dettagliato.

f U i =

∫

∫

P(i → f ) = 2π

! f U i ² ρ

(

)

P( f → i) = 2π

! i U f ² ρ(^E_i)

dN_f

dt = N_iP(i → f ) − N_fP( f → i) = 0 N_i

N_f = P( f → i)

P(i → f ) = ρ^(E_i⁾ ρ^(E_f ⁾

Invarianza di crossing

•  Il principio del bilancio dettagliato viene spesso applicato insieme all’invarianza di crossing:

–  reazioni derivate spostando una particella da stato iniziale a stato finale (o viceversa) e trasformandola in antiparticella.

–  Se ha elemento di matrice:

funzione dei momenti delle particelle.

–  Allora:

• 

• 

• 

•  ... e tutte le altre permutazioni

•  Il tasso delle reazioni è poi determinato dal termine di densità di stati.

A + B → C + D M (p_A, p_B, p_C, p_D)

A → B + C + D → M (p_A, −p_B, p_C, p_D) A + D → B + C

A + C → B + D B + C → A + D

→ M (p_A, −p_B, p_C, −p_D)

→ M (p_A, −p_B, −p_C, p_D)

→ M (−pA, p_B, −p_C, p_D)

Decadimento β inverso

•  (anti)neutrini vengono prodotti dai decadimenti β^± – 

–  dove il Q-valore della reazione è Q=M(A,Z)-M(A,Z±1)-m_e

•  I processi di interazione si ottengono applicando:

–  inversione temporale:

–  crossing:

•  L’elemento di matrice del decadimento β:

–  si applica anche al decadimento β inverso

–  dall’espressione della larghezza di decadimento:

ZAX → _Z−1^AX + eʹ ⁺ +ν _Z^AX → _Z+1^AX + eʹ ⁻ +ν

Masse nucleari!

Z−1AX + eʹ ⁺ +ν → _Z^AX _Z+1^AX + eʹ ⁻ +ν → _Z^AX

Z−1AX +ʹ ν → _Z^AX + e⁻ _Z+1^AX +ʹ ν → _Z^AX + e⁺ f H_W i = G_F(!c)³

V drψ_A,Z+1^(r)*(^O_X )^ψA,Z(r)

V

∫

3

V M_fi

Γ = !

τ = G_F² M_fi ²

(

)

2π³ f Z,Q

( )

f Z,Q( )^{= d Te}

m_ec²

!

"

# $

%& p_e

m_ec 1+ T_e m_ec²

!

"

# $

%& Q − T_e m_ec²

!

"

# $

%&

2

F Z,T( _e)

0 Q/m_ec²

∫ f H_W i ² = Γ(!c)⁶

V²

2π³

(m_ec²)⁵ f (Z,Q)

•  Tasso di transizione:

•  Confrontando con la relazione per la sezione d’urto:

–  L’espressione per il tasso di transizione:

–  Il termine di densità di stati, se trascuriamo la piccola quantità di energia portata via dal nucleo:

–  dove: E_e=E_ν-Q-m_e

–  dalla condizione E_e≥m_e, abbiamo l’energia di soglia del neutrino:

E_ν>Q+2m_e

–  Esercizio: dimostrare che la relazione relativistica corretta è:

Decadimento β inverso

•  Calcoliamo la sezione d’urto del decadimento β inverso.

λ = 2π

! f H_W i ²ρ E( f )

ρ^(E_f) = dN

dE_f =V × 4π^p_e² (2π!)³

dp_e dE_f

( )pc^{d pc}( )^=EdE

⎯⎯⎯⎯⎯→V × 4π peE_e (2π!)³c²

dE_e dE_f

=1

=V × 4πβ_eE_e² (2π!c)³

λ = 2π

!

(!c)⁶ V²

2π³! (m_ec²)⁵τ f (Z,Q)

V × 4πβ_eE_e² (2π!c)³

= 2π²(!c)³ V

β_eE_e²

(m_ec²)⁵τ f (Z,Q)

dn

dt = I_on_Tdσ

Fascio di una particella:

dn/dt = λ

Un (anti)neutrino percorre lo spessore d con velocità c: I₀=c/d

Un bersaglio nel volume V:

n_T=1/V

σ = 2π² β_eE_e²

(m_ec²)⁵ f (Z,Q)

!

τ (!c)²

Rapporto delle

=0 alla soglia

E ≥ Q + 2m( )^{⎡1 + Q + 2me ⎤}

Teorema CPT

•  Abbiamo visto che C e P sono violate dalle interazioni deboli.

–  tali simmetrie non sono simmetrie fondamentali della natura

•  Si può invece dimostrare che:

–  Una teoria quantistica:

•  invariante per trasformazioni di Lorenz

•  locale

•  con Hamiltoniana hermitiana

–  deve essere invariante rispetto al prodotto delle tre trasformazioni C, P, T

•  Conseguenze della simmetria CPT:

–  particelle ed antiparticelle devono avere la stessa massa

–  particelle ed anti-particelle devono avere la stessa vita media totale

•  Verifiche di tale simmetria si effettuano:

–  nelle proprietà di particelle

–  nella ricerca di violazioni all’invarianza per trasformazioni di Lorentz –  arxiv:0801:0287 per una rassegna dello stato sperimentale

FORMULE PER SCATTERING COMPTON POLARIZZATO

Appendice

Scattering Compton polarizzato

•  Nel sistema di riferimento in cui l’elettrone è in quiete:

•  dove r_e è il raggio classico dell’elettrone:

•  e l’energia E del fotone uscente è collegata all’angolo di emissione θ dalla relazione:

•  è la sezione d’urto non polarizzata

•  Polarizzazione lineare:

φ angolo azimutale tra direzione di scattering e polarizzazione del fotone.

•  Polarizzazione longitudinale

•  ξ=±1 elicità del fotone

•  ζ=vettore di spin dell’elettrone (ζ²=1) dσ

dΩ = 1

2r_e² E E₀

"

#$$ %

&

''

2

Φ₀ + Φ₁+ Φ₂

( )

2

2 0

1 2.8 fm

e 4

e

r e

πε m c

= =

( )( )

0 0

1

1 / _e 1 cos E

E ⁼ + E m − θ

0 2 0

0

E sin E

E E θ

Φ = + −

2

1 sin θ cos 2φ Φ = −

Φ₂ = −ξ^{1− cos}θ m_e

ζ⋅ 

k cosθ + !

(

)

e

E₀,

(

)

(

)

e

E, k!

( )

E, E sinθ^cosφ^{, E sin}θ^sinφ^{, E cos}θ

( )

E₀+ m_e − E, k − 

k!

( )

m_e,

(

)

γ

γ