Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2013/2014
Calcolo delle Probabilit`a e Statistica Matematica
Nome ...
N. Matricola ... Ancona, 16 giugno 2014
1. Si inseriscono due palline in un’ urna; ciascuna di esse pu`o essere blu o rossa con uguale probabilit`a. Si eseguono due estrazioni con rimpiazzo; se entrambe le palline estratte sono rosse, qual`e la probabilit`a che
(i) entrambe le palline nell’urna fossero rosse ?
(ii) se si estrae nuovamente una pallina questa sia rossa ?
Soluzione. Definiamo gli eventi:
R1= “la pallina 1 `e rossa”; R2= “la pallina 2 `e rossa”;
Y1= “la prima pallina estratta `e rossa”; Y2= “la seconda pallina estratta `e rossa”;
Abbiamo P (R1) = P (R2) = 1/2. Si chiede
(i) La probabilit`a richiesta `e P ({R1∩ R2}|{Y1∩ Y2}) per la quale, usando Bayes, abbiamo P ({R1∩ R2}|{Y1∩ Y2}) = P ({Y1∩ Y2}|{R1∩ R2}) P (R1∩ R2)
P (Y1∩ Y2) Ora:
P ({Y1∩ Y2}|{R1∩ R2}) = 1 P (R1∩ R2) = 1
4
P (Y1∩ Y2) = P ({Y1∩ Y2}|{R1∩ R2}) P (R1∩ R2) +P ({Y1∩ Y2}|{R1∩ Rc2}) P (R1∩ Rc2) +P ({Y1∩ Y2}|{Rc1∩ R2}) P (R1c∩ R2) +P ({Y1∩ Y2}|{Rc1∩ Rc2}) P (R1c∩ Rc2)
= 11 4 +1
4 1 4 +1
4 1 4 + 01
4 = 1 8+1
4 = 3 8 e quindi
P ({R1∩ R2}|{Y1∩ Y2}) = 1 1/4 3/8 = 8
3 1 4 = 2
3
(ii) Sia Y = “la pallina estratta `e rossa”; la probabilit`a richiesta `e: P (Y |Y1∩ Y2). Abbiamo P (Y |Y1∩ Y2) = P (Y ∩ {Y1∩ Y2})
P (Y1∩ Y2) = 8
3P (Y ∩ {Y1∩ Y2})
Inoltre, usando le probabilit`a totali ed indicando, per brevit`a, A = Y ∩ {Y1∩ Y2}, P (Y ∩ {Y1∩ Y2}) = P (A|{R1∩ R2}) P (R1∩ R2) + P (A|{R1∩ Rc2}) P (R1∩ R2c)
+P (A|{Rc1∩ R2}) P (Rc1∩ R2) + P (A|{Rc1∩ Rc2}) P (Rc1∩ Rc2)
= 11 4+ 1
2 1 4 +1
2 1
4 + 0 = 5 16 e quindi
P (Y |Y1∩ Y2) = 8 3
5 16 = 5
6
2. Siano X ed Y due variabili aleatorie indipendenti uniformi sull’intervallo [0, 1]. Determinare:
• E[|X − Y |];
• E[M ax(X, Y )];
• E[M in(X, Y )];
• E[X2+ Y2];
• E[(X + Y )2];
Soluzione. Si ha fX(x) = 1 se 0 ≤ x ≤ 1 ed fX(x) = 0 altrimenti. Analogamente fY(y) = 1 se 0 ≤ y ≤ 1 ed fY(y) = 0 altrimenti. Inoltre, siccome X ed Y sono indipendenti, fXY(x, y) = 1 se 0 ≤ x, y ≤ 1 e fXY(x, y) = 0 altrimenti. Indichiamo con D il dominio D = {(x, y) ∈ R2, t.c.0 ≤ x, y ≤ 1}.
•
E[|X − Y |] = Z Z
D
|x − y| fXY(x, y) dx dy = Z 1
0
dx Z x
0
(x − y) dy + +
Z 1 0
dx Z 1
x
(y − x) dy = Z 1
0
dx
x y − y2 2
x 0
+ Z 1
0
dx y2 2 − x y
1 x
=
= Z 1
0
dxx2 2 +
Z 1 0
dx 1
2− x + x2 2
= 1 6+1
2 −1 2 +1
6 = 1 3
•
E[M ax(X, Y )] = Z Z
D
M ax(x, y) fXY(x, y) dx dy =
= Z 1
0
dx Z x
0
x dy + Z 1
0
dx Z 1
x
y dy =
= Z 1
0
dx x2+ Z 1
0
dx 1 2 −x2
2
=
= 1 3 +1
2 −1 6 = 2
3
•
E[M in(X, Y )] = Z Z
D
M in(x, y) fXY(x, y) dx dy =
= Z 1
0
dx Z x
0
y dy + Z 1
0
dx Z 1
x
x dy =
= Z 1
0
dxx2 2 +
Z 1
0
dx x (1 − x) =
= 1 6+1
2 −1 3 = 1
3
•
E[X2+ Y2] = Z Z
D
(x2+ y2) fXY(x, y) dx dy =
= Z 1
0
dx Z 1
0
(x2+ y2) dy =
= Z 1
0
dx
x2+1
3
=
= 1 3 +1
3 = 2 3
•
E[(X + Y )2] = Z Z
D
(x + y)2fXY(x, y) dx dy =
= Z 1
0
dx Z 1
0
(x + y)2dy = Z 1
0
dx Z 1
0
(x2+ y2+ 2xy) dy =
= Z 1
0
dx
x2+1
3 + x
= 1 3 +1
3+ 1 2 = 7
6
3. Un insieme di misurazioni del punto di fusione del piombo fornisce i seguenti dati, in gradi centigradi:
330, 328.6 342.4 334 337.5 341 343.3 329.5 322 331
Supponendo che i dati provengano da una popolazione normale di varianza incognita, determi- nare gli intervalli di confidenza al 90%, 95 % e 99% per la media.
Soluzione. Il rango del campione `e n = 10 e dobbiamo usare la distribuzione di Student con 9 gradi di libert`a. Dalle tavole di Student abbiamo: t0.05(9) = 1.833, t0.025(9) = 2.262 e t0.005(9) = 3.25. Dai dati abbiamo X = 333.9 e S2 = 48.5. Gli intervalli di confidenza sono pertanto:
Al 90%:
X − S
√nt0.05(9), X + S
√nt0.05(9)
= [329.9, 338.0]
Al 95%:
X − S
√nt0.025(9), X + S
√nt0.025(9)
= [328.9, 338.9]
Al 99%:
X − S
√nt0.005(9), X + S
√nt0.005(9)
= [326.8, 341.1]
4. Su un ponte passano in media 10 pedoni al minuto, e il numero di pedoni che transitano attra- verso il ponte segue una legge di Poisson. Una cellula fotoelettrica viene posizionata alla fine del ponte ma, per costruzione, non riesce ad effettuare pi`u di 20 conteggi. Se Y `e il numero di conteggi effettuati dallo strumento, qual `e la sua distribuzione ?
Soluzione. Sia X il numero di pedoni che passano al minuto. Abbiamo P (X = k) = e−1010k
k! , k = 0, 1, 2, ...
P (Y = k) = e−1010k
k! , k = 0, 1, 2, ..., 19 P (Y = 20) =
∞
X
k=20
e−1010k k!
P (Y = k) = 0, k = 21, 22, ...
