Corso di Fisica
- Biomeccanica
Prof. Massimo Masera
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Anno Accademico 2011-2012
dalle lezioni del prof. Roberto Cirio Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia
1
L’elasticità in un solido e la legge di Hooke
La lezione di oggi
Equilibrio statico e dinamico
Leve
3
Si definisce corpo rigido un corpo che non si può deformare,
qualunque sia l’entità delle forze che agiscono su di esso.
Si definisce corpo rigido un corpo che non si può deformare,
qualunque sia l’entità delle forze che agiscono su di esso.
Corpo rigido
Momento di una forza
Equilibrio statico
Le leve
L’elasticità
Sforzo e stiramento nelle ossa
5
Il momento di una forza
Il momento di una forza mi permette di
quantificare la capacità di una forza di causare
una rotazione
Il momento di una forza mi permette di
quantificare la capacità di una forza di causare
una rotazione
t = r ´
F
Il momento di una forza
Il vettore t ha:
Modulo: r F sin q
Direzione: perpendicolare al piano di r e F
Verso: regola della mano destra (r: pollice, F: indice, t: medio)
Unità di misura: N m (non Joule !)
Dimensionalmente: [L][MLT-2] = [M][L2][T-2]
t > 0 se produce un’accelerazione angolare (a) in verso antiorario
t < 0 se produce un’accelerazione angolare (a) in verso orario
t = r ´ F
7
Il momento di una forza
F e r
perpendicola ri
F e r
perpendicola ri
rF )
sen(90 F
r
τ = o =
Il momento di una forza
F e r paralleli
F e r paralleli
0 )
sen(0 F
r
τ = o =
9
Il momento di una forza
F e r con angolo qualunqu
e
F e r con angolo qualunqu
e
Nota. Il segno ‘-’ tiene conto del fatto che l’accelerazione è in verso orario (ovvero, negativo)
2p-q
senθ F
r - θ)
- sen(2π F
r
τ = =
Momento di una forza
Equilibrio statico
Equilibrio dinamico
Le leve
L’elasticità
Sforzo e stiramento nelle ossa
Questo sistema (tavola+bambino) è ESTESO
Se la risultante delle forze esterne è nulla, come in questo caso:
Il sistema nel suo insieme non accelera e si muove con moto rettilineo uniforme (in particolare può stare fermo)
MA, a seconda di come forze e masse sono distribuite, può compiere dei movimenti di rotazione
11
Se F1 + F2 = mg il sistema è in
equilibrio ?
Momento ed equilibrio
statico
Momento ed equilibrio statico
Condizione di equilibrio statico
La risultante delle forze deve essere 0
La risultante dei momenti deve essere 0
La risultante dei momenti deve essere 0
Se F1 + F2 = mg il sistema è in
equilibrio?
Per sapere se c’è
equilibrio statico, non basta porre delle
condizioni sulla risultante delle forze
0 F =
0 τ =
13
Momento ed equilibrio statico
Problema unidimensionale (y)
-1 1
Calcoliamo F1 ed F2
0 mg
- F
F1 2 = 0
F =
0 τ =
0 senθ
F r
senθ mg
r senθ
F
r1 1 1 b b 2 2 2 =
0 )
sen(90 F
L )
sen(270 4 mg
senθ 3L F
0 1 1 o 2 o =
4 mg F 3L
L 2 =
Momento ed equilibrio statico
Condizione di
equilibrio statico Condizione
di
equilibrio statico
0 mg
- F
F1 2 =
4 mg F 3L
L 2 =
4 mg F1 = 1
4 mg F2 = 3
15
Centro di massa ed equilibrio
Condizione di equilibrio statico
Condizione di equilibrio statico
q x1
w1
x2 w2
q
0 τ =
0 ) sen(270 g
m x
) sen(90 g
m
x1 1 o 2 2 o =
Centro di massa ed equilibrio
Condizione di equilibrio statico
Condizione di equilibrio statico
Calcolo la xcentro di massa
Calcolo la xcentro di massa
Un sistema è in equilibrio quando il suo centro Un sistema è in equilibrio quando il suo centro
xCM
0 τ =
0 ) sen(270 g
m x
) sen(90 g
m
x1 1 o 2 2 o = 0
m x
m
x1 1 2 2 =
M x xCM = i mi i =
2 1
2 2 1
CM 1
2 2 1
1 CM
2 1
CM 2
2 1
CM 1
m m
x m x
x m
x m x
m x
) m m
(
0 )
x g(x
m )
x - g(x
m
=
=
=
17
Il centro di massa
Il centro di massa di un sistema è il punto di equilibrio in un campo
gravitazionale uniforme
Il centro di massa di un sistema è il punto di equilibrio in un campo
gravitazionale uniforme
M x m m
...
m m
x m ...
x m x
x m i i
n 2
1
n n 2
2 1
1
CM =
= i
M y m m
...
m m
y m ...
y m y
y m i i
n 2
1
n n 2
2 1
1
CM =
= i
18
Esercizio
Calcolare il centro di massa del braccio in figura.
Nota: Il centro di massa non è nel braccio, ma al di fuori di Nota: Il centro di massa non è nel braccio, ma al di fuori di
cm kg 9.5
0.64 kg
1.6 kg
2.5
kg)(0) (0.64
kg)(0) (1.6
cm) kg)(18
yCM (2.5 =
=
cm kg 9.5
0.64 kg
1.6 kg
2.5
cm) kg)(40
(0.64 cm)
kg)(12 (1.6
kg)(0)
xCM (2.5 =
=
19
Momento di una forza
Equilibrio statico
Equilibrio dinamico
Le leve
L’elasticità
Sforzo e stiramento nelle ossa
Le leve
La leva è una macchina semplice composta da
una forza motrice, una forze resistente e un fulcro
1o tipo
2o tipo
3o tipo
Fr
Fm
fulcro
Fr Fm
fulcro
Fr Fm
fulcro
21
Le leve
Leva Fulcro Forza
resistente
Forza motrice (applicata)
Tipo di leva Forbici Cerniera Oggetto da
tagliare impugnatura 1 Carrucola
fissa Asse centrale Oggetto da
sollevare Forza fisica 1
Remo Pala immersa in acqua
Forza della barca applicato
allo scalmo
Forza fisica applicata sul
remo
2
Carriola Asse della
ruota Peso da
trasportare Manici 2
Pinza da
ghiaccio Perno Cubetto di
ghiaccio Mano 3
Braccio
umano Gomito Oggetto sorretto
dalla mano Muscoli del
braccio 3
Le leve
nel corpo uman
o
1o tipo
2o tipo In punta di piedi
23
Le leve e il guadagno meccanico
Guadagno meccanico è il rapporto tra le
forze
Vale per tutti i tipi di leva
Condizione di equilibrio statico
con forze perpendicolari alla leva
Condizione di equilibrio statico
con forze perpendicolari alla leva
x y
0 F
b - F
br r m m =
r m m
r
b b F
G.M.= F =
motrice resistente
F G.M.= F
0 τ =
Le leve e il guadagno meccanico
Tipo di leva Guadagno meccanico 1o tipo Può essere
<1 o >1 2o tipo Sempre > 1 3o tipo Sempre <1
Fr
Fm
fulcro
Fr Fm
Fr Fm
fulcro
25
Momento di una forza
Equilibrio statico
Equilibrio dinamico
Le leve
L’elasticità
Sforzo e stiramento nelle ossa
L’elasticità
Corpo elastico
un corpo che riprende la sua forma
originale una volta rimosse le cause della deformazione Corpo elastico
un corpo che riprende la sua forma
originale una volta rimosse le cause della deformazione
l
F modulo della forza applicata A area della sezione del corpo Y modulo di elasticità di Young
Corpi elastici Legge di Hooke
Corpi elastici Legge di Hooke
Dl
Corpo plastico
un corpo che rimane deformato, anche dopo aver rimosso le
cause della deformazione Corpo plastico
un corpo che rimane deformato, anche dopo aver rimosso le
cause della deformazione
F
A = Y Dl l
=
27
La legge di Hooke e il modulo di Young
Legge di Hooke Legge di Hooke
Un campione lungo è allungato più
di uno corto
A parità di forza un campione
sottile è allungato più di uno
spesso
Se definisco F/A = s (sforzo) Dl/l = e (stiramento)
Se definisco F/A = s (sforzo) Dl/l = e (stiramento)
l Y l
A
F = D
e
s
= YLa legge di Hooke e il modulo di Young
Materiale Y (N m-2)
Acciao 2 1011
Ossa lungo l’asse (trazione) 1.8 1010 Ossa lungo l’asse
(compressione) 0.9 1010
Vasi sanguigni 2 105
Esempio
Calcolare lo stiramento di un vaso sanguigno della sezione di 1 cm2 al quale sia applicata una forza di 10 N.
Quanto varrebbe lo stiramento se il materiale fosse acciaio ? Sforzo
Stiramen to
ovvero ½ mm su 1 m
(ppm) milione
per parti
5 . 0 10
5 . 10 0
2
10 6
11
5 = ´ =
= ´
e
2 - 5
2 4 -
2 10 Nm
m 10
N 10 cm
1 N
10 = =
s =
% 50 5
. 10 0
2 10
5
5 = =
= ´
= Y e s
29
Esercizio
Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2
e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di elasticità in compressione di 9x109 Nm-2.
b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima della rottura se assumiamo sempre valida una relazione di proporzionalità fra il carico e la deformazione?
a) Prima di rompersi può sopportare un carico Smax pari a 1.7x108 Nm-2.
Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere applicata ?
Esercizio
100 volte il peso corporeo
100 volte il peso corporeo
~ 1 cm
~ 1 cm
Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2 e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di
elasticità
in compressione di 9x109 Nm-2.
Prima di rompersi può sopportare un carico Smax pari a 1.7x108 Nm-2.
a) Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere applicata ?
b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima della rottura se assumiamo sempre valida una relazione di proporzionalità fra il carico e la deformazione?
N 10 1.0
) Nm 10
(17 )
m 10
(6 A
FMax = s Max = ´ -4 2 ´ ´ 7 -2 = ´ 5
% 1.9 0.019
Nm 10
17
l Max 7 -2
=
´ =
= D = s
31
Momento di una forza
Equilibrio statico
Equilibrio dinamico
Le leve
L’elasticità
Sforzo e stiramento nelle ossa
Sforzo e stiramento nelle ossa
trazione
compressio
ne Sforzo terminale compressivo
(S) Sforzo terminale tensile
(S)
s (F/A) Nm-2 x 107
e (Dl/l) x 10-3
5 10 15
-15 -10 -5 -5 -10
-15 5 10 15
Le pendenze sono diverse
(trazione ~ 2x
compression e)
I valori di S sono diversi tra compressione e
F = mg ~ 103 N A~1 cm2 = 10-4 m2
Le ossa sono più
deformabili in compressione
33
Per ogni gamba F ~ 1000 N A=10 cm2
l = 40 cm Per le ossa:
Y= 0.9·1010 N/m2
compressione
Y= 1.8·1010 N/m2 trazione
La gamba si accorcia di:
Elasticità delle ossa
F F
N s 2000
9.8 m kg
210 2
F =
l Y Δl AF =
m 10 N 0.9
cm 40 cm
10
N 1000 Y
l A F Δl
2 2 10
=
= 0.9 10 cm
m 10
4 11
2 4
=
10 m 0.9
10 4
9 4
= 10 m
0.9
4 49
= = 4.410-5 m
m 10 10
0.9
m 10 4
2 - 11
2 4
=
Prossima lezione: i 34
fluidi
Riassumendo
La legge di Hooke è valida per molti casi reali
I momenti delle forze sono molto usati
nel corpo umano (le leve).
Le ossa hanno valori diversi per lo stiramento
a seconda che lo sforzo sia in compressione o
trazione
