Corso di Fisica- Fluidi (2)

Corso di Fisica

- Fluidi (2)

Prof. Massimo Masera

Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Anno Accademico 2011-2012

dalle lezioni del prof. Roberto Cirio Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia

I fluidi reali La viscosità

Flussi laminare e turbolento

La resistenza idrodinamica

La lezione di oggi

Forze di trascinamento nei fluidi La legge di Stokes

La centrifuga

La lezione di oggi

 Viscosità

 Flusso laminare

 Flusso turbolento

 Resistenza idrodinamica

 La legge di Stokes

 La centrifuga

Dy

Definizione operativa di viscosità

Domanda: come faccio a tener conto dell’attrito tra le molecole di un fluido?

Esperimento

Lastra in moto con velocità v

Fluido viscoso (magari miele…)

Lastra fissata a terra di area A

y ηA v

F D

 D

La viscosità

 h è la viscosità

 Si misura in Pa^.s (pascal x secondo)

 poise (P) = 0.1 Pa^.s (è una unità c.g.s ...)

DIMENSIONALMENTE

Temperatu ra

oC

Olio di

ricino (!) Acqua Aria Sangue Plasma 20 0.986 1.005 x

10^-3 1.81 x 10^-

5

3.015 x

10^-3 1.810 x 10^-3

37 - 0.695 x

10^-3 1.87 x 10^-

5

2.084 x

10^-3 1.257 x 10^-3

Nota:

h / h e h / h rimangono ~ costanti ] T ]/[L] [ML

[LT

] ]/[L [MLT

y v/

F/A

1

2

2  







D 

D

 Viscosità

 Flusso laminare

 Flusso turbolento

 Resistenza idrodinamica

 La legge di Stokes

Un fluido ideale scorre in un condotto

Pareti del condotto

In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo uguale

Tutte le molecole viaggiano

Un fluido reale scorre in un condotto

Pareti del condotto

In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo diverso

Le molecole viaggiano a velocità diverse:

Il flusso laminare



Il fluido è reale



Non ci sono turbolenze (vedi dopo)

Il flusso laminare

Se la velocità al centro è v

, si trova che la v

= 0.5 v

PORTATA Q = Av

= 0.5Av

dove A è l’area della sezione del condotto

Caduta di pressione dovuta alla viscosità



Tubo orizzontale



Fluido viscoso



Lavoro per vincere le forze di viscosità  l’energia meccanica non si conserva



Caduta di pressione

Fluido non viscoso

Fluido viscoso

Caduta di pressione dovuta alla viscosità

in un tubo cilindrico orizzontale

Legge di Hagen-Poiseuille Q  DP p R ⁴

8 h l

Esercizio

Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1.0 cm

/s. Si

trovi:

1.

Velocità media e massima del sangue Condizioni al

contorno

v A Q 

v

2 v  1



 A

v Q  

R π Q 1

m) 10

(4.0 π

s m 10

1.0

2 3

-

-1 3

-6







ms 10

2.0 

-1 -2

ms 10

4.0 



 2 v

v

Esercizio

Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1.0 cm

/s. Si

trovi:

2.

La caduta di pressione in un tratto lungo 10 cm Condizioni a

contorno 8 η l

R π Q P

D



s Pa 10

2.084

η  







D π R

lQ η

P 8















m) 10

(4.0 π

) s m 10

m)(1.0 s)(0.1

Pa 10

(2.084 8

4 3

-

-1 3 -6

-3

Pa

1

.

2

Esercizio

Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1 cm³/s. Si trovi:

3. La potenza necessaria a mantenere la portata





 D D



 D

 L/ t x/ t F v

W F







 ( 4 . 0 10 ) m )( 2 . 0 10

ms ) π

)(

Pa 1

. 2

(







D P ( πR

) v

W 10

1 .

2 

 Viscosità

 Flusso laminare

 Flusso turbolento

 Resistenza idrodinamica

 La legge di Stokes

Il flusso turbolento

Dissipazione di energia meccanica

(maggiore rispetto al caso del flusso

Il numero di Reynolds



I vortici dissipano energia meccanica



La legge di Hagen-Poiseuille non è più valida



E’ il dominio della fisica non - lineare



Uso regole empiriche



Definisco il Numero di Reynolds (N

)



Nel caso di un tubo di flusso di raggio R, N

vale:

Sperimentalmente si trova che:

 N_R < 2000: flusso laminare

 2000 < N_R < 3000: flusso instabile (può cambiare da laminare 

η

R

v

N

 2ρ

Esercizio

Nella grande arteria di un cane, il raggio è 4.0x10

m, la velocità media del sangue 1.99x10

ms

e

la viscosità

= 2.084x10

Pa

s.

La densità è

= 1.06x10

kg

m

.

Trovare il numero di Reynolds e stabilire se il flusso sia o meno laminare.

Il flusso è quindi



 η

R v N

2ρ

 













 

s Pa 10

2.084

m) 10

)(4.0 ms

10 (1.99

) m kg

10 (1.06

2

3 -

-3 -1

-2 -3

3

 81

 Viscosità

 Flusso laminare

 Flusso turbolento

 Resistenza idrodinamica

 La legge di Stokes

La resistenza idrodinamica

 Fluido viscoso

 Condotto con pareti rigide

 Se voglio una portata Q devo applicare una DP

 Definisco Resistenza di un condotto:

se utilizzo Poiseuille:

Analoga alla resistenza elettrica (legge di Ohm):

 DP analoga a DV (differenza di potenziale)

Unità di misura Pa

s

m

r  DP Q

Q  DP π R

8 h l

r  8 h l

πR

Esercizio (parte I)

Nell’aorta umana di raggio interno r

= 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min.

La viscosità del sangue è h = 4.75

10

Pa

s. Se vi sono 5

10

capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di r

= 4 mm, determinare:

1. La velocità media del sangue nell’aorta

2. La velocità massima del sangue nell’aorta

3. La velocità media del sangue nei capillari

Domanda 1

La velocità media del sangue nell’aorta

Esercizio

Domanda 2

La velocità massima del sangue nell’aorta

media

A v Q 

v

 Q

A  Q

π R



5 l min æ

è ç ö

ø ÷ 10

m

l æ

è ç ö

ø ÷ 1 min 60 s æ

è ç ö ø ÷

(3.14)(10

)

 2.6510

m/s

media

max

2 v

v  

v

 2  v

 2 (2.6510

m /s)  5.310

m/s

L’area dei capillari si ottiene moltiplicando

l’area di 1 capillare per l’area del singolo capillare

La portata è costante per l’equazione di continuità

Domanda 3

Esercizio





9

capillari

(5 10 ) π ( 4 10 m) 0.251 m

A     



media

A v Q 

v

 Q

A 

5 l min æ

è ç ö

ø ÷ 10

m

l æ

è ç ö

ø ÷ 1 min 60 s æ

è ç ö

ø ÷

0.251 m

 0.33 mm/s

26

Nell’aorta umana di raggio interno r

= 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min.

La viscosità del sangue è h = 4.75

10

Pa

s. Se vi sono 5

10

capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di r

= 4 mm, determinare:

4. La perdita di carico (DP/l) nell’aorta

5. La perdita di carico media dei capillari nel letto vascolare dell’aorta

6. La resistenza idrodinamica per unità di lunghezza nell’aorta

7. La resistenza idrodinamica media per unità di

Esercizio (parte II)

Domanda 4

Applico Poiseuille per calcolare la DP/l nell’aorta

Esercizio

l η 8

R π Q P

D



DP

l  8 h Q

π R



(8)(4.75 10

) 5 l min æ

è ç ö

ø ÷ 10

m

l æ

è ç ö

ø ÷ 1 min 60 s æ

è ç ö ø ÷

(3.14)(10

)

 100 N/m

Domanda 5

Applico Poiseuille per calcolare la DP/l nei capillari, sapendo che la portata in ciascun

capillare è data da

Esercizio

l η 8

R π Q P

D



3 5

4 6

14 -3

4

8 10 N/m

) 10 4

)(

14 . 3 (

) 10

7 . 1 )(

10 (8)(4.75

R π

Q η 8 l

P  





  D 





/s m 10

10 1.7 5

s 60

min 1

l 10 m

min 5 l

Q

3 3 -

capillare

 



÷ ø ç ö

è

÷÷ æ ø çç ö

è

÷ æ ø ç ö

è æ



Domanda 6

Applico Poiseuille per calcolare la r/l nell’aorta

Esercizio

r/l  8 h

πR

 (8)(4.7510

)

(3.14) (10

)

 1.2 10

N s m

e usando Poiseuille

Domanda 7

Applico Poiseuille per calcolare la r/l, usando il raggio del capillare

Esercizio

r  DP

Q r/l  8 h

πR ⁴

r/l  8 h

πR

 (8)(4.7510

)

(3.14) (410

)

 4.7310

N s m

Nei fluidi reali l’attrito tra le molecole causa dissipazione dell’energia

meccanica che è maggiore quando si instaurano fenomeni di turbolenza

Riassumendo fin qui…

 Viscosità

 Flusso laminare

 Flusso turbolento

 Resistenza idrodinamica

 La legge di Stokes

 La centrifuga

La legge di Stokes

Un oggetto è immerso in un fluido viscoso,

inizialmente in quiete. Se su di esso agisce una forza F, l’oggetto accelera.

Per effetto della viscosità,sull’oggetto inizia ad agire una forza di attrito viscoso F_A

La velocità cresce e con essa cresce la forza di attrito viscoso

La velocità raggiunge un valore limite (e rimane costante) quando la forza di attrito viscoso eguaglia la forza esterna.

La legge di Stokes

Quando la particella

ha forma sferica e raggio R

v R η

π

6

-

F _A 

 Viscosità

 Flusso laminare

 Flusso turbolento

 Resistenza idrodinamica

 La legge di Stokes

36

Velocità limite 

Moto rettilineo uniforme  Accelerazione = 0 

Risultante delle forze 0 

Verso la centrifuga...

Qual è la velocità massima (ovvero la velocità limite, v

) per una piccola sfera di raggio R, densità r che cade in un fluido di viscosità h e

densità r

?

F_d A

w y

Velocità

Archimede

g ρ R 3 π

A  4 ³ ₀

Stokes

v η R π 6

F



peso

g ρ R 3 π

w  4 ³

π R ρ g

3 g 4

ρ R 3 π v 4

η R π

6





) ρ - (ρ R g

v 2

 2

0 w A

F

  

Esercizio

Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 mm e densità 1.3

10

kg m

. Quanto tempo

ci vuole per ottenere un sedimento di 1.0 cm:

1.

Sotto l’azione dell’accelerazione di gravità della terra ?

Condizioni a contorno ^ R = 2.0 mm = 2.0^.10 ^-6 m

 S = 1.0 cm = 1.0^.10^-2 m

 a = 9.81 m s^-2



 a (ρ-ρ ) η

R 9

v 2 _o

2 T







 



 (9.81 m s ) (1.3 - 1.056 ) 10 kg m s)

Pa 10

(2.084

m) 10

(2 9

2

3 -

2 -6

-1 -6

m s 10

1.0  



La centrifuga

 Grandi accelerazioni

 Velocità della molecola dipende da:

 forza di trascinamento viscoso

 massa della molecola m

 fattore geometrico fR della molecola (per la sfera f6p)^*

 densità della molecola r e del mezzo r0

 velocità angolare della centrifuga w  accelerazione centripeta a = w² r (a>>g)

Velocità limite



Moto rettilineo uniforme



Spessore del sedimento x = v

 t

v

 m

j R h ^{a (1-} r

r ⁾

Sfera: fattore geometrico

Per una sfera

Esercizio

Condizioni a contorno ^ R = 2.0^.10 ^-6 m

 S = 1.0 cm = 1.0^.10^-2 m

 a = 9.81^.10⁵ m s^-2

Tempo di

Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 mm e densità 1.3

10

kg m

. Quanto tempo ci vuole per ottenere un sedimento di

1.0 cm:

2. In una centrifuga con accelerazione uguale a 1.0

10

g

?



 a (ρ - ρ ) η

R 9

v 2

2 T









 



 (9.81 10 m s ) (1.3 - 1.056 ) 10 kg m s)

Pa 10

(2.084

m) 10

(2 9

2

3 -

2 -6

-1 -1

m s 10

1.0  



s 10 m 1.0

10

t s

2

 





Con la legge di Stokes spieghiamo il funzionamento della centrifuga

Prossima lezione:

I fenomeni molecolari

Riassumendo

A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm.

Assumendo che la soluzione iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20

C, trovare la differenza di pressione necessaria per iniettare la

soluzione a 1.5 g/s

Esercizio

A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm.

Assumendo che la soluzione iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20

C, trovate la differenza di pressione necessaria per iniettare la

soluzione a 1.5 g/s

Esercizio

1 - 3 6

- 3

- 3

-1 -3

s m 10

m 1.5 kg

10

s kg 10

1.5 t

Δm ρ

1 t

Q ΔV  





 

 D

 D

Pa 10

R 3.2 π

Q l η

P  8

 

D