VERIFICA DI MATEMATICA – Simulazione – Studio di funzione Risolvi uno dei seguenti problemi e cinque dei seguenti quesiti. Problema 1: data la funzione

VERIFICA DI MATEMATICA – Simulazione – Studio di funzione Risolvi uno dei seguenti problemi e cinque dei seguenti quesiti.

Problema 1: data la funzione 𝑓 _𝑎 (𝑥) = { 𝑥 ³ − 1 𝑠𝑒 𝑥 < 1 𝑙𝑛(𝑥 ^𝑎 ) 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1

a) trova a in modo che f (x) soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange in [0; e] e determina il punto c che

verifica il teorema; [𝑎 = 3; 𝑐 = ^3𝑒 ₄ ; 𝑐 = ²

√3𝑒 ] b) per il valore di a trovato, rappresenta graficamente 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑓(𝑥 ³ )

c) determina, se esiste nell’intervallo in cui è definita f, un punto P in cui la tangente è parallela alla retta di equazione 6 - y = 0. Classifica P.

d) Sapendo che f (x) = g’ (x) = h’’ (x), traccia il grafico di y = g (x) e di y = h (x).

e) Discuti al variare di a il limite _𝑥→1 ^{𝑙𝑖𝑚 𝑓}

^(𝑥)

𝑥−1

Problema 2: nel triangolo ABC, rettangolo in A, risulta AB = a, sin 𝐴𝐵𝐶 ̂ = ⁴

5 dove a è una lunghezza nota.

a) Indicato con D un punto della semicirconferenza di diametro BC, non contenente A, esprimere l’area S del triangolo ABD in funzione dell’ampiezza x dell’angolo 𝐵𝐴𝐷 ̂ .

b) Constatato che si ha 𝑆 = ^𝑎

6 (4𝑠𝑖𝑛 ² 𝑥 + 3 sin 𝑥 cos 𝑥) studiare questa funzione e disegnarne il grafico con riferimento alla questione geometrica.

c) Utilizzare il grafico disegnato per determinare x in modo che l’area S risulti uguale a 𝑘𝑎 ² dove k è un

parametro reale. [0 ≤ 𝑘 ≤ ²

3 , 1 𝑠𝑜𝑙; ²

3 ≤ 𝑘 ≤ ³

4 , 2 𝑠𝑜𝑙 ] d) Determinare il perimetro del triangolo ABD per il quale è massima l’area S. [𝑎(1 + √10)]

e) Determinare, per a = 1, senza l’utilizzo della calcolatrice, un’approssimazione al centesimo del perimetro

di cui al punto d. [2p = 4,16]

Quesito 1: calcola il limite _𝑥→0 ^𝑙𝑖𝑚

√1 + 𝑥 ⁴ [1]

Quesito 2: stabilisci in quale punto dell’intervallo [0; 3] la curva di equazione 𝑦 = 𝑒 ^𝑥 + 1 ha tangente parallela alla corda AB, essendo A il punto di ascissa 0 e B quello di ascissa 3. [𝑙𝑛 ( ^𝑒

₃ ⁻¹ )]

Quesito 3: determina per quali valori di a la funzione 𝑦 = ^𝑎𝑥−1

𝑥+2 è sempre crescente nel suo dominio.

[𝑎 > − 1 2 ] Quesito 4: determina i punti di flesso e le tangenti inflessionali della seguente funzione: y   2 e ^{ x}

.

1 1 1 1 1

2 tangenti in 2 2 2 2

f1. 2 ; 2 ; fless.: 2 2 2 , 2 2 2

2 e ^ y e ^ x e ^ y e ^ x e ^

   

        

   

  

   

   

   

    

Quesito 5: data una semicirconferenza di diametro AB che misura 2r, traccia esternamente a essa un segmento CA, adiacente al diametro e a esso congruente. Detto P un punto sulla semicirconferenza determina l’angolo 𝐵𝐴𝑃 ̂ = 𝑥 in modo che sia massima la somma delle aree del quadrato di lato CP e del

rettangolo di lati AB e BP. 1

arcsen 0,16 x 6

   

 

 

Quesito 6: Scrivi l’equazione di una funzione y = f (x) non costante tale che:

a) il suo dominio coincide con tutto R;

b) ha come asintoto orizzontale la retta y = 1;

c) per ogni x reale vale 𝑓(𝑥) ≥ 0.

2

per esempio ( ) 2

1 f x x

x

 

   

 

Quesito 7: Dato il grafico della funzione y = f (x), traccia l’andamento di quello della sua derivata prima:

Dato il grafico della funzione y = f ‘ (x), traccia un possibile andamento della funzione y = f (x).

Quesito 8: determina i punti stazionari della curva di equazione 𝑦 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − ¹

3 𝑎𝑥 ³ − 𝑥 e la loro natura al variare del parametro reale a.

Quesito 9: Discuti l’equazione parametrica x ³  3 x ²  k  2  0 , al variare di k.

𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑘 < −6 ⋁ 𝑘 > −2; 𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑝𝑒𝑟 − 6 ≤ 𝑘 ≤ −2 Quesito 10: in una semicirconferenza di centro O e diametro 2r è inscritto un trapezio isoscele ABCD di base AB; studia, in funzione della sua altezza x, la funzione che esprime il volume V del solido generato dalla rotazione completa del trapezio attorno alla retta della base AB e determinane i punti stazionari e i

punti di flesso. [𝑉 = ²

3 𝜋𝑥 ² (2√𝑟 ² − 𝑥 ² + 𝑟)]