Le equazioni cinematiche

Esercizi di Cinematica

Le equazioni cinematiche

Moto rettilineo uniforme Moto rettilineo

uniformemente accelerato

v v

a

0

costante 0

=

=

=

) (

costante e

0

0

at v

t v a

+

=

≠

t v x

t x

v v

0 0

0

) (

costante +

=

=

=

) (

2

2 ) 1

( ) (

0 2

0 2

2 0

0 0

x x

a v

v

at t

v x

t x

at v

t v

f

− = −

+ +

=

+

=

ESERCIZIO n.1

Quando il semaforo diventa verde, un’automobile parte con accelerazione a=3.0m/s², mentre una seconda auto che sopraggiunge in quel momento continua la sua corsa con velocità costante v=72.0 Km/h.

a) Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà nuovamente la seconda?

nuovamente la seconda?

b) Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà percorso?

c) In quale istante le auto hanno la stessa velocità e a quale distanza dal semaforo si trovano?

Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.

SOLUZIONE

Quando il semaforo diventa verde, un’automobile parte con accelerazione a=3.0m/s², mentre una seconda auto che sopraggiunge in quel momento continua la sua corsa con velocità costante v=72.0 Km/h.

a) Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà nuovamente la seconda?

b) Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà percorso?

c) In quale istante le auto hanno la stessa velocità e a quale distanza dal semaforo si trovano?

Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.

Prima cosa da fare: DISEGNO

ovvero uno schema che ci aiuti a descrivere il moto.

Automobile 1, accelerazione = costante

Automobile 2, velocità = costante

Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà nuovamente la seconda?

Poniamo x

Poniamo x₁₁ = x= x₂₂

vt x

at x

=

=

2

2

1

2

1

vt at =

2

1 at = v

2 1

a t = 2 v

sec 3 . 40 13

72000 3600

2 = =

t =

Automobile 1, accelerazione = costante

Automobile 2, velocità = costante

Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà percorso?

at v

at x

=

=

1

2

1

2

1

0 sec . 40 )

3 . 13 ( 3

3 . 265 )

3 . 13 ( 2 3 1

1

2 1

v m

m x

=

=

=

=

Automobile 1, accelerazione = costante

Automobile 2, velocità = costante

In quale istante le auto hanno la stessa velocità ?

costante

2 1

=

= v

at

v v

= v

= at

sec 6 . 3600 6

72000

2

= =

= v

t

Automobile 1, accelerazione = costante

Automobile 2, velocità = costante

A quale distanza dal semaforo si trovano?

(quando hanno la stessa velocità)

vt x

at x

=

=

2

2

1

2

1

m x

m x

132 6

. 3600 6 72000

34 . 65 )

6 . 6 ( 2 3 1

2

2 1

=

=

=

=

Automobile 1, accelerazione = cost Automobile 2, velocità = cost

Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.

X [m]

tempo [s]

Automobile 1, accelerazione = cost

Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.

v [m/s]

Automobile 2, velocità = cost

tempo [s]

ESERCIZIO n.2

Un uomo di 70.0kg salta da una finestra nella rete dei vigili del fuoco tesa a 11.0m più in basso.

•Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete.

La rete, cedendo di 1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo.

La rete, cedendo di 1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo.

•Calcolare la decelerazione dell’uomo durante la fase di arresto.

SOLUZIONE

Dividiamo lo studio in due fasi:

1) Moto in caduta libera dell’uomo per 11.0 m, con velocità iniziale pari a zero;

Un uomo di 70.0kg salta da una finestra nella rete dei vigili del fuoco tesa a 11.0m più in basso.

•Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete.

La rete, cedendo di1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo.

•Calcolare la decelerazione dell’uomo durante la fase di arresto.

velocità iniziale pari a zero;

2) Moto uniformemente decelerato per 1.5 metri.

Importante: MOTO IN CADUTA LIBERA SIGNIFICA CHE C’E’

ACCELERAZIONE DI GRAVITA’ g = 9.8 m/s², DIRETTA VERSO IL BASSO.

Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete.

11 metri

velocità iniziale v₀ = 0

v=v₀+at=gt, con a = g = 9.8 m/s²

Non conosciamo il tempo necessario a raggiungere terra, cioè a percorrere 11 metri. Usiamo

g

2 2

0

0

2

1 2

1 at gt t

v x

x = + + =

11 metri ^{0 0}

2 2 at gt t

v x

x = + + =

sec 5 . 8 1

. 9

22

2 = =

= g t x

Da cui si ricava

E quindi

7 sec . 14 )

5 . 1 ( 8 .

9 m

gt

v = = =

Calcolare la decelerazione dell’uomo durante la fase di arresto.

velocità finale

velocità finale v_f=0

velocità iniziale v₀ = 14.7m/s

Dopo avere percorso uno spazio s=1.5m

Si può applicare l’equazione

v

= v

+ 2 as = 0

Da cui si ricava

( )

2

14 . 7 m

v

ESERCIZIO n.3

Un cannone lancia un proiettile a velocità v₀=300m/sec.

Calcolare l’alzo del cannone per avere la massima gittata determinandone anche il valore.

alzo

gittata

y

v_0x v_y v

SOLUZIONE

Nella schematizzazione del problema si osserva che la velocità iniziale può essere decomposta nelle due componenti lungo l’asse x e lungo l’asse y rispettivamente.

α α sin cos

0 0

0 0

v v

v v

y x

=

=

x v_0x

v_0x v_0y

v_y

v₀

0 x_g

α

La componente della velocità lungo l’asse x resterà inalterata e costante.

Lungo x il moto è rettilineo uniforme con velocità v_0x.

y

v_0x v_y v

SOLUZIONE

Lungo l’asse y, invece, agisce l’accelerazione di gravità. Ma agisce nella direzione contraria; pertanto si avrà una decelerazione.

La componente della velocità lungo l’asse y varierà, annullandosi nel punto di massima quota.

-g

x v_0x

v_0x v_0y

v_y

v₀

0 x_g

α

t v gt

t

y

2 ) 1

( = − +

Lungo y il moto è rettilineo uniformemente

accelerato.

Pertanto si può scrivere

SOLUZIONE

In sintesi ecco le equazioni orarie per le due componenti del moto

t v gt

t y

t v t

x

y x

0 2

0

2 ) 1

( ) (

+

−

=

=

le componenti

della velocità

y t gt v t

t v

t x

) 2 sin(

) 1 (

) cos(

) (

0 2

0

α α

+

−

=

=

Ora per determinare la gittata si osserva che il tempo per percorrere lo spazio x_g può essere calcolato come

α

0 cos

0 v

x v

t x ^g

x g =

=

e dopo tale tempo dovrà essere y(t)=0, quindi

0

1 ² sin

=

 +

−  x v α ^x

g ^{g g}

SOLUZIONE

Con qualche passaggio algebrico …

( ^{gx − 2 v}

^{sin α cos α} ) ^{= 0}

x

… escludendo la soluzione x_g=0 (l’origine del moto), si ha

) 2 sin(

2

0

α

g x

= v

g

Per determinare la gittata massima

0 α =

d dx

0 )

2 cos(

2

2

0

α =

g

v 2 α = 90 ° α = 45 °

E quindi la massima gittata vale

v m

x

( 300 )

9183 . 67

=

=

=

ESERCIZIO n.4

Una palla di 0.40 Kg è lanciata in aria e raggiunge una altezza massima di 20 m. Calcolare la sua velocità iniziale.

h

y

Schematizziamo il problema Considerando che la velocità finale sarà nulla e la decelerazione è sempre costante si ha

0

2

2

2

= v + ah =

v

-g v₀

0

2

2

0

2

= v + ah =

v

e quindi

8 sec . 19 )

20 )(

8 . 9 ( 2 2

0

2 ah gh m

v = − = = =

ESERCIZIO n.5

Un oggetto viene spinto a salire su un piano inclinato con una velocità iniziale v₀=30m/sec. Essendo αααα=45° l’inclinazione del piano inclinato, si determini:

1. Il tempo necessario ad arrestarsi;

2. A che altezza dal suolo si fermerà.

v₀ α

α α α

SOLUZIONE

x y

Schematizziamo il problema s sarà lo spazio percorso lungo il piano inclinato fino al punto di arresto

h sarà la quota raggiunta rispetto al piano orizzontale Appare ovvia la scelta del g

αα αα

-g_x -g_y

v₀ α

αα α h

s

Appare ovvia la scelta del sistema di rifermento indicato

Il corpo è soggetto alla accelerazione di gravità che va decomposta secondo il riferimento scelto. Quindi …

α

g sin

g

=

SOLUZIONE

E dovendosi fermare si potrà calcolare il tempo di arresto come Riferendoci al moto lungo l’asse x ed essendo esso decelerato, si potrà scrivere

v₀ h

x y

g α α α α

-g_x

-g_y

v

= v

+ at = v

− g sin( α ) t

α αα

s α

4 . 32 sec

45 sin 8 . 9

30 sin

0

=

= °

= g α t v

Per trovare lo spazio percorso lungo x si ha

v

− v

= − 2 g sin ( ) α s

da cui

α sin 2

2 0

g

s = v

( ) m

v s v

h 30 45 . 9

sin sin

2 2 0 2

0

= = =

=

= α α

ESERCIZIO n.6

Un sasso è lanciato verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale v₀₁=25m/sec. Si calcoli la massima quota raggiunta ed il tempo impiegato.

Un secondo sasso è lanciato verso l’alto, lungo la stessa traiettoria del primo, quando il primo si ferma in quota. A tale traiettoria del primo, quando il primo si ferma in quota. A tale sasso è impressa una velocità iniziale v₀₂=15m/sec. Dopo quanto tempo si incontreranno i due sassi? E a quale quota?

SOLUZIONE

Schematizziamo il problema y

h

Appare evidente che, nella prima fase del moto, il corpo, lanciato verso l’alto, sarà decelerato dalla attrazione gravitazionale.

Pertanto si potrà scrivere g

v₀₁

gh ah

v

v

−

= 2 = − 2

Ma, alla quota h il corpo si fermerà. quindi

g m

h v 31 . 8

) 8 . 9 ( 2

) 25 ( 2

2 2

01

= =

=

SOLUZIONE

y h

g

Nota l’altezza raggiunta h=31.8m è possibile determinare il tempo di volo fino al punto di arresto.

Basta ricordare l’equazione cinematica della velocità per il caso di decelerazione

v₀₁

01

− = 0

= v gt v

Pertanto si ha

sec 55 . 8 2

. 9

01

25

=

=

= g

t v

SOLUZIONE

Ora il sasso n°1 è per un istante fermo, poi inizierà a cadere sotto l’azione della gravità

La sua legge oraria, con la quota valutata rispetto al terreno, è

2

1

2

1 gt h

y = −

y h

g

y₁

Una seconda schematizzazione

1

h 2 gt

y = −

Per il sasso n°2 si ha ovviamente

t v gt

gt

h 1

1

+

−

=

−

g v₀₂

y₂

t v gt

y

2

1 +

−

Quando si toccheranno dovrà

=

essere y₁=y₂. Quindi

da cui

sec 12 . 8 2

. 31 =

=

= h

t

SOLUZIONE

Per la determinazione della quota di impatto, utilizzando il valore t_i=2.12sec, basta applicare una qualsiasi legge oraria

2

1

2

1 gt h

y = −

y h

g

y₁

2

e sostituendo … v₀₂

y₂

m gt

h

y

9 . 8 ( 2 . 12 ) 9 . 77 2

8 1 . 2 31

1

=

−

=

−

=