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Analisi Matematica 2 - Appello del 14 giugno 2017

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(1)

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Anno Accademico 2016/2017

Analisi Matematica 2 - Appello del 14 giugno 2017

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 14 giugno 2017

1. (8 punti) ` E data l’equazione differenziale

2 y 00 − 3 y 0 + y = x + e 2 x . (i) Classificare l’equazione (ordine, linearit` a, omogeneit` a);

(ii) scriverne la soluzione generale;

(iii) determinare la soluzione del problema di Cauchy per questa equazione con le condizioni iniziali y(0) = −1 e y 0 (0) = 0;

2. Calcolare l’integrale complesso ∗ Z

∂D

+

cosh z z (z 2 + π 2 ) dz

dove ∂D + ` e la frontiera del dominio D = {z ∈ C : |Re(z)| ≤ 1, −2 ≤ Im(z) ≤ 4}

∗ Per gli studenti da 6 crediti:

Calcolare la lunghezza della curva r : [0, 1] → R 2 con r(t) = (e t − t, 4 e t/2 ).

3. Calcolare il flusso del campo vettoriale F : R 3 → R 3 , F (x, y, z) = −ybi + xb j − y b k attraverso la frontiera del dominio D ⊂ R 3

D = {(x, y, z) ∈ R 3 : (x − 1) 2 + y 2 ≤ R 2 ; 0 ≤ z ≤ y}

sia usando il teorema della divergenza che con il calcolo diretto.

4. (8 punti) Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x) = x 3 + y 3 − x y

e calcolarne il massimo e il minimo assoluti nel quadrato di vertici (−1, −1), (−1, 1), (1, 1), (1, −1).

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Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Anno Accademico 2016/2017

Analisi Matematica 2 - Appello del 14 giugno 2017

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 14 giugno 2017

1. (8 punti) ` E data l’equazione differenziale

3 y 00 − 2 y 0 − y = e −x − 2 x.

(i) Classificare l’equazione (ordine, linearit` a, omogeneit` a);

(ii) scriverne la soluzione generale;

(iii) determinare la soluzione del problema di Cauchy per questa equazione con le condizioni iniziali y(0) = 0 e y 0 (0) = −1;

2. Calcolare l’integrale complesso ∗ Z

∂D

+

sinh z + 1 z (z 2 + π 2 /4) dz

dove ∂D + ` e la frontiera del dominio D = {z ∈ C : |Re(z)| ≤ 1, −2 ≤ Im(z) ≤ 1}

∗ Per gli studenti da 6 crediti:

Calcolare la lunghezza della curva r : [0, 1] → R 2 con r(t) = (e t − t, 4 e t/2 ).

3. Calcolare il flusso del campo vettoriale F : R 3 → R 3 , F (x, y, z) = xbi − y b j + z b k attraverso la frontiera del dominio D ⊂ R 3

D = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 } sia usando il teorema della divergenza che con il calcolo diretto.

4. (8 punti) Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x) = x 3 − y 3 − x y

e calcolarne il massimo e il minimo assoluti nel quadrato di vertici (−1, −1), (−1, 1), (1, 1), (1, −1).

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