2) Scrivere un’equazione differenziale ordinaria il cui integrale generale sia

FOGLIO DI ESERCIZI 1 EDO Esercizi su equazioni lineari scalari 1) Data l’equazione

y ^iv − 2y ⁰⁰⁰ + 9y ⁰⁰ − 18y ⁰ = 0,

determinare: tutte le soluzioni per cui lim _t→+∞ y(t) esiste finito; tutte le soluzioni per cui lim _t→−∞ y(t) esiste finito; tutte le soluzioni limitate.

2) Scrivere un’equazione differenziale ordinaria il cui integrale generale sia

© c ₁ e ^t + c ₂ e ^−2t + log(1 + t ² ) ª .

Esercizi su sistemi lineari

I) Determinare l’integrale generale di

½ x ⁰ = x

y ⁰ = 3x − 2y.

 



x ⁰ = x + 3y − 2z y ⁰ = 2y + 4z z ⁰ = y + 2z.

II) Considerato il sistema omogeneo sulla destra di I), si scriva l’integrale generale del corrispondente sistema non omogeneo con termine noto g(t) = (0, t, t ² ), e si risolva il corrispondente problema di Cauchy con dato iniziale (x(0), y(0), z(0)) = (0, 0, 0).

3. Esercizi su equazioni scalari non lineari

Delle seguenti equazioni, determinare l’integrale generale dell’equazione e dove indicato, risolvere il corrispondente problema di Cauchy con dati iniziali come indicato.

Una cosa importante `e riconoscere il tipo di equazione che si ha davanti in modo da utilizzare la tecnica pi`u appropriata (variabli separabili, Bernoulli, omogenea, esatta, esatta con fattore integrante). In alcuni caso pu`o essere necessario svolgere qualche passaggio algebrico e/o sostituzione per porre l’equazione in una qualche forma nota. In pagine successive ci sono le tracce di soluzioni di alcune di queste equazioni: sbirciare tali pagine solo dopo aver provato a risolvere da soli!

a) y ⁰ = t + y

3y − t , (t 0 , x 0 ) = (0, 1).

b) y ⁰ (x) = 2x p

1 − y(x) ² , (x 0 , y 0 ) = (1, 1/4).

c) −t ² yy ⁰ + y ³ + ty ³ = 0.

d) (y ³ − t)y ⁰ = y, (t ₀ , x ₀ ) = (1, 1), (t ₀ , y ₀ ) = (0, 0).

e) y ⁰ = y t + p

t ² + y ² , (t ₀ , y ₀ ) = (0, 1) f) y ⁰ = t ⁷ + 7y(y + 3t) ⁶

7t(y + 3t) ⁶ . g) y ⁰ = y + ty ²

t . h) y ⁰ = ty + ty ²

1 − t ² . (t 0 , x 0 ) = (0, 1).

i) y ⁰ + y sin t + y ² sin(2t) = 0 l) y ⁰ = 3y + 1

y ³ , (t ₀ , x ₀ ) = (0, −2) m) 5xy ⁴ y ⁰ + 3x ² y ⁵ + y ⁵ + 1

x ² + 1 = 0 n) y ⁰ = − y + ty ²

t .

a) ` E un’equazione della forma y <sup>0</sup> = −P (t, y)/Q(t, y) con P (t, y) = t + y e Q(t, y) = t − 3y. L’equazione ha senso se y 6= t/3. L’equazione `e esatta con potenziale

ϕ(t, y) = t ²

2 + yt − 3 2 y ² ,

da cui si ha l’integrale generale (ogni ± genera due soluzioni; l’annullarsi della radice produce y(t) = t/3 non ammissibile)

y :] − ∞, +∞[→ R, t 7→ t ± √

4t ² − 3c

3 , c < 0, y

#

−∞, − r 3

4 c

"

→ R, t 7→ t ± √

4t ² − 3c

3 , c ≥ 0, y :

#r 3 4 c, +∞

"

→ R, t 7→ t ± √

4t ² − 3c

3 , c ≥ 0.

La soluzione del problema di Cauchy `e dunque y :] − ∞, +∞[→ R, t 7→ t + √

4t ² + 9

3 .

c) Notiamo subito che la costante nulla `e soluzione dell’equazione e che anzi ne `e l’unica soluzione costante; se inotre t = 0, allora si deve avere y(t) = 0 e quindi, per unicit`a, abbiamo ancora la soluzione nulla. Cerchiamo l’integrale generale nel primo quadrante (t, y > 0). Allora l’equazione `e a variabili separabili della forma

y ⁰ = y ² (1 + t) t ² .

d) Notare che y ³ (t) − t = 0 solamente se y(t) = t

, ma che la funzione

t 7→ t

non `e soluzione dell’equazione. Quindi dividere per y ³ − t e studiare

l’equazione come differenziale esatta nel dominio R ² \ {t = y ³ }. L’integrale

generale risulta essere in forma implicita 4ty − y ⁴ = c e lo si lasci pure in

forma implicita. Per quanto riguarda i problemi di Cauchy, il dato (1, 1)

non `e ammissibile (non c’`e soluzione del problema) in quanto mettendo (1, 1)

nell’equazione si avrebbe la contraddizione y(1) = 0. Il dato (0, 0) non porta

alla contraddizione come sopra. Dalla forma implicita dell’integrale generale si ha che c = 0 e, lavorando un pochino, si deduce che l’unica soluzione `e y ≡ 0.

e) ` E omogenea (rispetto alla moltiplicazione per λ > 0). Nei conti pu`o essere utile ottenere una primitiva di 1/(z √

1 + z ² ), che `e

− 1 2 log( √

1 + z ² + 1) + 1 2 log( √

1 + z ² − 1), (porre √

1 + z ² = τ ). Esplicitare poi √

1 + z ² in funzione di t (ad un certo punto si dovrebbe ottenere un’equazione di secondo grado in √

1 + z ² ) e quindi proseguire eplicitando z e poi determinando y.

g) Cercare un fattore integrante e/o risolverla come equazione di Bernoulli...

l) ` E un’equazione di Bernoulli con α = −3. Quindi poniamo z = y <sup>4</sup> , e dobbiamo quindi impore z > 0 (y non pu`o essere nulla e z, essendo una potenza pari, deve essere positiva). L’equazione in z `e

z ⁰ = 12z + 4, il cui integrale generale `e

z(t) = µ

c + 1 3

¶

e ^12t − 1 3 , e si ha z(t) > 0 per

c > − 1

3 , t > 1 12 log

µ 1

3c + 1

¶

per cui l’integrale generale dell’equazione in y `e, al variare di c > −1/3, y :

¸ 1 12 log

µ 1

3c + 1

¶ , +∞

·

→ R, t 7→ ¡¡

c + ¹ ₃ ¢

e ^12t − ¹ ₃ ¢

4

, y :

¸ 1 12 log

µ 1

3c + 1

¶ , +∞

·

→ R, t 7→ − ¡¡

c + ¹ ₃ ¢

e ^12t − ¹ ₃ ¢

4

. Si ha poi,

y(0) = −2 ⇐⇒ c = 16,

da cui la soluzione del problema di Cauchy `e

y :

¸ 1 12 log 1

49 , +∞

·

→ R, t 7→ − µ 49

3 e ^12t − 1 3

¶

4

,

P.S. Altri conti possono portare a scrivere la dipendenza dalla costante c in modo diverso. Al variare di c fra tutti i numeri reali si dovrebbe comunque descrivere lo stesso insieme di funzioni.

n) Cercare un fattore integrante della forma λ(t, y) = t ^α y ^α e/o risolverla

come equazione di Bernoulli.