SUCCESSIONI IN FORMA DI POTENZA
Proposizione 1. Siano {an} e {bn} due successioni numeriche, con an > 0, ∀ n ∈ N. Supponiamo che
n→+∞lim an = L ∈ [0, +∞] e lim
n→+∞bn = L0 ∈ R . Allora:
1. lim
n→+∞abnn = LL0 , se L ∈]0, +∞[ , L0 ∈ R ,
2. lim
n→+∞abnn = +∞ , se
L ∈]1, +∞[ , L0 = +∞ , L = +∞ , L0 ∈]0, +∞] , L ∈]0, 1[ , L0 = −∞ , L = 0 , L0 ∈ [−∞, 0[ ,
3. lim
n→+∞abnn = 0 , se
L ∈]1, +∞[ , L0 = −∞ , L = +∞ , L0 ∈ [−∞, 0[ , L ∈]0, 1[ , L0 = +∞ , L = 0 , L0 ∈]0, +∞] . 1
La verifica delle relazioni di limite precedente si basa su:
I. L’identit`a abnn = ebnlog an (an > 0, ∀ n ∈ N);
II. Le propriet`a seguenti:
Proposizione 2. Se {cn} `e una successione tale che cn > 0, ∀ n ∈ N e lim
n→+∞cn = L ∈ [0, +∞], allora:
n→+∞lim log cn =
log L , se L ∈]0, +∞[ , +∞ , se L = +∞ ,
−∞ , se L = 0 .
Proposizione 3. Se {cn} `e una successione tale che
n→+∞lim cn = L ∈ R, allora:
n→+∞lim ecn =
eL , se L ∈ R ,
+∞ , se L = +∞ , 0 , se L = −∞ .
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Il limite lim
n→+∞abnn presenta:
1. La forma indeterminata 00, quando lim
n→+∞an =
n→+∞lim bn = 0;
2. La forma indeterminata +∞0, quando lim
n→+∞an = +∞ e lim
n→+∞bn = 0;
3. La forma indeterminata 1±∞, quando lim
n→+∞an = 1 e lim
n→+∞bn = ±∞.
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