Introduzione all'algebra delle matrici

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Introduzione all'algebra delle matrici

Lucio Barabesi

Lorenzo Fattorini

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I piani di studio per lauree in discipline economiche o sociali contemplano corsi avanzati di statistica applicata che sono focalizzati su tecniche statistiche multivariate. Gli studenti che frequentano questo tipo di corsi non posseggono generalmente una conoscenza adeguata degli strumenti matematici necessari alla piena comprensione degli argomenti statistici proposti. Questa carenza è particolarmente evidente per quanto riguarda i concetti di algebra delle matrici. Per risolvere questa difficoltà sarebbe desiderabile introdurre la propedeuticità di un apposito corso di analisi matriciale, anche se questa soluzione non è usualmente praticabile a causa dei vincoli presenti nei piani di studio.

Un ragionevole compromesso viene spesso ottenuto dai docenti dedicando circa un terzo del corso di statistica multivariata (supponendo sessanta ore di lezione frontale) all'introduzione dell'algebra delle matrici. Tuttavia, i testi di analisi matriciale disponibili sono generalmente di un livello troppo tecnico per gli studenti e coprono un insieme esteso di argomenti non tutti necessari per le finalità del corso.

Di conseguenza, scopo del presente testo è quello di fornire i concetti di base dell'algebra delle matrici in modo estremamente succinto ed elementare.

Il testo non richiede nessun prerequisito da parte dello studente se non la conoscenza di elementi minimi di analisi matematica. Data la natura del testo, nessuna dimostrazione dei risultati presentati è stata considerata. Al contrario, al fine di migliorare la comprensione dello studente, i risultati sono estensivamente illustrati e verificati mediante numerosi esempi. In ogni caso, le notazioni e le terminologie sono state particolarmente curate cercando di adottare gli standard generalmente presenti in letteratura.

Gli studenti più preparati ed esigenti che desiderano approfondire gli argomenti proposti possono trovare una introduzione più completa all'algebra delle matrici nei testi di Bellman (1970), Bretscher (1997) e

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VI Introduzione all'algebra delle matrici

Hadi (1996). Testi più avanzati sono quelli di Abadir e Magnus (2005), Horn e Johnson (1985) e Zhang (1999). I lettori particolarmente interessati alle applicazioni statistiche dell'algebra delle matrici dovrebbero considerare i testi di Graybill (1983), Harville (1997), Searle (1982) e Schott (2004). Le tematiche connesse alla generalizzazione dell'inversione di matrici sono analizzate in dettaglio nel testo di Rao e Mitra (1971). Infine, gli aspetti computazionali relativi all'analisi matriciale sono considerati da Gentle (2007).

Gli autori hanno beneficiato dei commenti e dei rilievi di alcuni colleghi sulle prime stesure del testo. I suggerimenti di questi colleghi hanno permesso di ottenere una versione finale notevolmente migliorata.

In particolar modo, gli autori sono grati al Prof. Franco Fineschi, alla Dott.ssa Sara Franceschi, al Prof. Marco Lonzi, alla Prof.ssa Marzia Marcheselli e al Prof. Luca Pratelli. Ovviamente, errori ed omissioni sono da addebitare esclusivamente agli autori.

Lucio Barabesi Lorenzo Fattorini Siena Marzo, 2010

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Prefazione . V. . . 1 Vettori

1.1 Definizioni e notazioni . . . 1

1.2 Operazioni sui vettori . . . 4

1.3 Combinazioni lineari . . . 9

1.4 Prodotto interno e norma . . . 11

1.5 Vettori ortogonali . . . 14

1.6 Proiezioni di vettori . . . 18

1.7 Iperpiani . . . 20

2 Matrici 2.1 Definizioni e notazioni . . . 23

2.2 Matrici a blocchi . . . 26

2.3 Matrici quadrate . . . 28

2.4 Matrici ortogonali . . . 30

2.5 Operazioni sulle matrici . . . 31

2.6 Traccia . . . 34

3 Prodotto di matrici 3.1 Prodotto di Cayley . . . 37

3.2 Prodotto interno e norma di matrici . . . 42

3.3 Alcuni prodotti particolari . . . 43

3.4 Prodotto di Kronecker . . . 47

4 Rango e determinante 4.1 Operazioni elementari . . . 49

4.2 Matrici a scala . . . 52

4.3 Rango . . . 57

4.4 Determinante . . . 59

4.5 Calcolo del determinante . . . 63

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VIII Introduzione all'algebra delle matrici

5 Matrici inverse

5.1 Definizioni e notazioni . . . 67

5.2 Inverse di alcune matrici particolari . . . 71

5.3 Calcolo della matrice inversa . . . 73

5.4 Matrici inverse generalizzate . . . 75

6 Applicazioni lineari 6.1 Definizioni e notazioni . . . 79

6.2 Alcune applicazioni lineari particolari. . . 80

6.3 Traslazioni . . . 87

6.4 Proiezioni ortogonali . . . 88

7 Sistemi lineari 7.1 Definizioni e notazioni . . . 91

7.2 Sistemi lineari omogenei . . . 93

7.3 Sistemi lineari non omogenei . . . 95

7.4 Calcolo della soluzione di sistemi lineari . . . 98

8 Autovalori e autovettori 8.1 Definizioni e notazioni . . . 101

8.2 Proprietà degli autovalori e autovettori . . . 103

8.3 Rappresentazione dei valori singolari . . . 110

8.4 Applicazioni di matrici . . . 112

9 Forme quadratiche 9.1 Definizioni e notazioni . . . 117

9.2 Ellissoidi . . . 120

10 Calcolo differenziale per matrici 10.1 Derivazione di funzioni di variabile vettoriale . . . 127

10.2 Derivazione di funzioni di variabile matriciale . . . 130

10.3 Derivazione di applicazioni vettoriali . . . 132

10.4 Ottimizzazione di funzioni vettoriali e matriciali . . . 133

Bibliografia . . . 139

Indice analitico . . . 141

(7)

Vettori

1.1. Definizioni e notazioni

Sia l'insieme dei numeri reali e sia ‘ ‘⁸ œ‘‚‘‚ á ‚‘, ovvero

‘⁸ rappresenta il prodotto cartesiano di copie di . Un elemento8 ‘ x− ‘⁸, ovvero

xœ B B ã B

  

 

 

"

#

8

,

è detto vettore (o vettore colonna) di ordine . I numeri reali8 B ß B ß á ß B_" _# ₈ sono le componenti del vettore . I vettori di ordine x "

sono gli usuali elementi di e sono detti ‘ scalari.

Il vettore opposto a è un vettore di ordine definito comex 8

 œ

x ã

 

 

 

B

"

#

8

.

Due vettori e , le cui -esime componenti sono rispettivamentex y 3 date da e , sono detti B₃ C₃ uguali se sono entrambi di ordine e se8 B₃œC₃ per ogni 3 œ "ß #ß á ß 8. Per indicare che i due vettori sono uguali si adotta la notazione

xœ .y

In caso contrario i vettori sono detti diversi e si scrive xÁ .y

(8)

2 Introduzione all'algebra delle matrici

Esempio 1.1. Se x− ‘^$ è un vettore tale che

xœ œ

B #

B "

B %

   

   

"

#

$

,

allora il vettore opposto a è dato dax

 œ œ

B #

B "

B %

x    

   

 

"

#

$

.

Se y− ‘^$ è un vettore tale che

yœ œ

C #

C "

   

   

"

#

$

,

allora risulta xÁy in quanto si ha B_$ÁC_$ pur essendo B_"œC_" e

B_#œC_#. 

Il vettore con componenti nulle viene indicato con o con ! !₈ quando si vuole enfatizzare l'ordine del vettore. Analogamente, il vettore con componenti unitarie viene indicato con o con " "₈.

I vettori di ‘⁸ con componenti nulle tranne una componente unitaria nell' -esima posizione sono detti 3 vettori elementari. Evidentemente esistono distinti vettori elementari e l' -esimo vettore elementare viene8 3 indicato con la notazione , ovveroe₃

e_" œ e_# œ á e₈œ

" ! !

! " !

ã ã ã

! ! "

     

     

     

, , , .

Esempio 1.2. Il vettore di ordine con componenti nulle è dato da$

!œ! œ

!

$

 

  ,

mentre il vettore di ordine con componenti unitarie risulta$

(9)

"œ" œ

"

$

 

  . Infine, i tre vettori elementari di ‘^$ sono dati da

e_"œ e_#œ e_$œ

" ! !

! " !

! ! "

     

  ,   ,   . 

Risulta interessante considerare i vettori anche da un punto di vista

geometrico. un In un sistema di riferimento cartesiano, vettore può

essere messo in corrispondenza biunivoca ad un segmento orientato (usualmente indicato con una freccia) che ha il punto di inizio coincidente con l'origine degli assi e il punto finale con coordinate date dalle componenti del vettore.

In questo ambito geometrico, la lunghezza (o modulo) del vettore è data dalla lunghezza del corrispondente segmento orientato. Inoltre, si dice che due vettori hanno la stessa direzione se i corrispondenti segmenti orientati appartengono ad una medesima retta passante per l'origine degli assi. Infine, si dice che due vettori hanno lo stesso verso se i corrispondenti segmenti orientati posseggono la medesima direzione ed uguale orientamento. Dunque il vettore opposto corrisponde ad un segmento orientato con la stessa lunghezza e direzione del vettore originale, sebbene con verso opposto.

Esempio 1.3. Si consideri il vettore x− ‘^# tale che xœ #

"

  .

Dunque si ha

 x œ  #

 "

  .

La Figura 1.1 riporta la rappresentazione geometrica dei due vettori ex

 x. 

(10)

x

0

-x

-2 -1 1 2

Figura 1.1.

1.2. Operazioni sui vettori

Se x yß − ‘⁸, il vettore somma è definito come

xyœ  œ

ã ã ã



     

     

     

B C B C

" " " "

# # # #

8 8 8 8

.

Risultato 1.1. Se , x y zß ß − ‘⁸ per la somma di vettori valgono le proprietà:

(i) xyœyx (proprietà commutativa);

(ii) Ð  Ñ  œx y z x Ð  Ñy z (proprietà associativa);

(iii) x!œx (esistenza dell'elemento neutro);

(iv) x Ð  Ñ œ ! (esistenza dell'elemento inverso).x

Per indicare il vettore somma x Ð  Ñ si adotta semplicemente lay notazione xy. Il vettore xy è detto vettore differenza.

(11)

Esempio 1.4.Si considerino i vettori x yß − ‘^$ tali che

xœ yœ

" #

% $

! "

   

  ,   . Il vettore somma è quindi dato da

xyœ  œ

" # $

% $ (

! " "

     

      ,

mentre il vettore differenza risulta

xyœ  œ

" # "

% $ "

! " "

     

     



. 

Se x− ‘⁸, la moltiplicazione di xper uno scalare è definita comeα il vettore

α α α

xœx œ œ

ã ã

   

   

   

B B

" "

# #

8 8

.

Risultato 1.2. Se α "ß sono scalari ex− ‘⁸, per la moltiplicazione per uno scalare valgono le proprietà:

(i) α "Ð xÑ œ Ðα"Ñx (proprietà associativa);

(ii) " œx x (invarianza rispetto alla moltiplicazione per lo scalare )."

Risultato 1.3. Se α "ß sono scalari e per x yß − ‘⁸, la somma di vettori e la moltiplicazione per uno scalare valgono le proprietà:

(i) αÐ  Ñ œx y αxαy (proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori);

(ii) Ð  Ñ œα " x αx"x (proprietà distributiva rispetto alla moltiplicazione per uno scalare).

(12)

Esempio 1.5. Si considerino lo scalare α œ # e il vettore x− ‘^$ tale che

xœ

#

"

$

 

  .

In questo caso, la moltiplicazione di per uno scalare risultax α

αx œ # œ

# %

" #

$ '

   

    . 

Dato uno scalare α Á !, i vettori e di ordine x y 8 sono detti collineari se vale la relazione yœαx. Evidentemente, i vettori e x x sono collineari dal momento che si ha xœαx con αœ  ".

Esempio 1.6.Si considerino i vettori x yß − ‘^# tali che xœ # yœ %

$ '

  ,   .

Dal momento che

yœ % œ # # œ x

' $

    α

con α œ #, i vettori x e sono collineari.y  Da un punto di vista geometrico il vettore xy può essere messo in corrispondenza ad un segmento orientato coincidente con la diagonale (avente punto di inizio nell'origine degli assi) del parallelogramma individuato dai vettori x e . y Inoltre, il vettore αx può essere messo in corrispondenza ad un segmento orientato con la stessa direzione di x e lunghezza pari ad l lα volte la lunghezza di (e conx lo stesso verso di x se α ! e verso opposto ad x se α !). Di conseguenza, se x e sonoy collineari, i due vettori posseggono la stessa direzione, sebbene con lunghezza e verso eventualmente differenti.

Esempio 1.7. Si considerino i vettori x yß − ‘^# tali che

(13)

xœ $ yœ "

" #

  ,   ,

per cui

xyœ %

 $ e

xyœ #

"

  .

Inoltre se α œ #, si ha

αy œ #

  .%

Le Figure 1.2, 1.3 e 1.4 riportano rispettivamente le rappresentazioni geometriche del vettore somma xy, del vettore differenza xy e del

vettore .#y 

0 x

y

x+y

-4 -2 2 4

Figura 1.2.

(14)

x 0

y

-y x-y

-4 -2 2 4

Figura 1.3.

y 0

2y

-4 -2 2 4

Figura 1.4.

(15)

In generale, un insieme non vuoto per cui esistono una operazionei di addizione sugli elementi di e una operazione di moltiplicazione trai un qualsiasi numero reale e un qualsiasi elemento di (che soddisfanoi alle proprietà elencate nei Risultati 1.1, 1.2 e 1.3) è detto spazio vettoriale reale. L'insieme dei vettori in ‘⁸ è dunque uno spazio vettoriale reale per ogni .8

Si consideri inoltre un sottoinsieme non vuoto di uno spazioT vettoriale . Se è uno spazio vettoriale con le operazioni di ristrettei T i ad , allora è detto T T sottospazio vettoriale Ad esempio, è un. ‘ sottospazio vettoriale di ‘^#, di ‘^$ ed in generale di ‘⁸ (8  #Ñ, così come ‘^# è un sottospazio vettoriale di ‘^$, di ‘^% ed in generale di ‘⁸ (8  $) e così via.

Esempio 1.8. Si consideri il sottoinsieme T di ‘^# dei vettori x che posseggono componenti identiche, ovvero

xœ B

  .B

Il sottoinsieme di T ‘^# costituisce un sottospazio vettoriale di ‘^# in quanto

xyœ B  C œ B  C −

B C B  C

      T ,

mentre

α α α T

xœ B œ αB −

B B

    . 

1.3. Combinazioni lineari

Dati vettori 5 x x_"ß _#ß á ßx₅ di ordine e scalari 8 5 α α_"ß _#ß á ßα₅, si dice combinazione lineare il vettore

α" " α# # α5 5 α3 3

3œ"

5

x  x  á  x œ x .

(16)

I vettori x x_"ß _#ß á ßx₅ sono detti linearmente dipendenti se esistono 5 scalari α α_"ß _#ß á ßα₅ non tutti nulli tali che



3œ"

5

α x œ ! .3 3

Se i vettori sono linearmente dipendenti, almeno uno dei vettori5 può essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti. Infatti, dal momento che esiste almeno un α₃Á ! per qualche 3 œ "ß #ß á ß 5, si ha

x₃ ₄ x₄

4Á3œ"

5

3"

œ  Ð α α Ñ .

Due vettori collineari sono linearmente dipendenti in quanto la collinearità è un caso particolare della dipendenza lineare con 5 œ #. Se invece la relazione è verificata solo per α_"œα_#œ á œα₅ œ !, i vettori sono detti linearmente indipendentie nessuno di essi può essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti.

Il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in un sottospazio vettoriale di T ‘⁸ è detta dimensione di e viene indicataT con la notazione dimÐ ÑT . Da un punto di vista geometrico, uno spazio vettoriale a dimensione in " ‘⁸ è una retta di ‘⁸ passante per l'origine, uno spazio vettoriale a dimensione in # ‘⁸ è un piano di ‘⁸ passante per l'origine, á, uno spazio vettoriale a dimensione in 8 ‘⁸ coincide con ‘⁸. Infine Ö!₈× è l'unico spazio vettoriale di ‘⁸ a dimensione nulla.

Se è un sottoinsieme non vuoto di vettori in E ‘⁸, l'insieme diT combinazioni lineari di vettori in è detto E spazio vettoriale generato da E. Inoltre si dice che un insieme di vettori 5 F œ Ö ßx x_" _#ß á ßx₅× costituisce una base per se è generato da ed i vettoriT T F

x x_"ß _#ß á ßx₅ sono linearmente indipendenti. Facendo riferimento allo

spazio ‘⁸, per verificare che un insieme di vettori costituisce una base8 di ‘⁸ è sufficiente verificare una delle due condizioni, ovvero che ‘⁸ sia generato da , oppure che gli vettori di siano linearmenteF 8 F indipendenti.

Esempio 1.9.Si considerino i vettori x x_"ß _#− ‘^# tali che

(17)

x_" œ " x_#œ "

" #

  ,   .

Un qualsiasi vettore in ‘^# può essere espresso come combinazione lineare di x_" e x_# dal momento che

xœ B œ Ð "  Ð "

B " #

 ^"_# #B  B Ñ_" _#   B  B Ñ_# _"  œα" "x α# #x ,

dove α_"œ #B  B_" _# e α_#œ B  B_# _". Dunque, E œ Öx x_"ß _#× genera ‘^#.

Inoltre, .E costituisce una base per ‘^# 

Esempio 1.10.Si considerino i vettori x x_"ß _#− ‘^# tali che

x_" œ " x_#œ #

# %

  ,   .

Essendo x_#œ #x_", le combinazioni lineari di x_" e x_# sono del tipo xœα_"x_"α_#x_#œ Ðα_" #α_#Ñ .x_"

Dunque, E œ Öx x_"ß _#× genera una retta passante per l'origine cheT contiene tutti i vettori proporzionali ad x_". Quindi risulta dimÐ Ñ œ "T .

In questo caso, E non è una base di ‘^#. 

1.4. Prodotto interno e norma

Se x yß − ‘⁸, il prodotto interno (o prodotto scalare) di e è definitox y come

Ø ß Ù œx y 

3œ"

8

B C .3 3

Risultato 1.4. Se è uno scalare eα x y zß ß − ‘⁸, per il prodotto interno valgono le proprietà:

(i) Ø ß Ù œ Ø ß Ùx y y x ;

(ii) Ø ß  Ù œ Ø ß Ù  Ø ß Ùx y z x y x z ; (iii) Øαx yß Ù œ Ø ß Ùα x y ;

(iv) Ø ß Ù !x x , con Ø ß Ù œ !x x se e solo se xœ!.

(18)

Vale inoltre la disuguaglianza di Schwarz, ovvero Ø ß Ù Ÿ Ø ß ÙØ ß Ùx y ^# x x y y ,

dove l'uguaglianza si ha se e solo se e sono collineari.x y Esempio 1.11.Si considerino i vettori x yß − ‘^# tali che

xœ " yœ #

" $

  ,   .

In questo caso si ha Ø ß Ù œ &x y , mentre Ø ß Ù œ #x x e Ø ß Ù œ "$y y . Risulta dunque verificata la disuguaglianza di Schwarz.  Se , x− ‘⁸ la norma euclidea (o semplicemente norma) di x è definita come

m m œ Ø ß Ùx x x ^"Î# .

Da un punto di vista geometrico, m mx rappresenta la lunghezza del segmento orientato corrispondente al vettore . Inoltre, x m mx può essere anche interpretata come la distanza fra l'origine degli assi e il punto le cui coordinate sono le componenti del vettore . Analogamente, x m  mx y può essere interpretata come la distanza fra due punti le cui coordinate sono rispettivamente date dalle componenti dei vettori e .x y

Risultato 1.5. Se è uno scalare eα x yß − ‘⁸, per la norma euclidea valgono le proprietà:

(i) mαxm œ| |α † m mx ;

(ii) m m !x , con m m œ !x se e solo se xœ!;

(iii) m  m Ÿ m m  m mx y x y con uguaglianza se e solo se x e sonoy collineari (disuguaglianza triangolare).

Da un punto di vista geometrico, la disuguaglianza triangolare costituisce un'estensione a ‘⁸ del fatto che in un triangolo la somma delle lunghezze di due lati deve essere maggiore del terzo lato. In maniera equivalente, la disuguaglianza triangolare afferma che il percorso più breve fra due punti è dato dal segmento che congiunge i due punti.

(19)

Esempio 1.12.Si considerino i vettori x yß − ‘^# tali che xœ ! yœ %

" $

  ,   .

In questo caso si ha m m œ "x e m m œ &y , mentre m  m œ %x y #. Risulta dunque verificata la disuguaglianza triangolare.  Un vettore per cui risulta x m m œ "x è detto normalizzato (o versore).

Un vettore può essere normalizzato considerando la moltiplicazione dix x per lo scalare m mx ^", ovvero

x x

‰œ x"

m m .

In particolare, se x rappresenta un vettore di ordine , # allora un vettore normalizzato può essere espresso come

x_‰œcos  sin

9 9 , dove .! Ÿ9Ÿ #1

Esempio 1.13.Si consideri il vettore x− ‘^# tale che xœ "

"

  .

Dal momento che m m œx #, il vettore normalizzato è dato da

x_‰œ #Î# œ Ð Î%Ñ

#Î# Ð Î%Ñ

 

 cos 

sin 1

1 .

In questo caso risulta 9œ Î%1 . 

In generale uno spazio vettoriale reale dotato di una norma (che soddisfa all'insieme di proprietà elencate nel Risultato 1.5) è detto spazio vettoriale reale normato. L'insieme dei vettori in ‘⁸ è dunque uno spazio vettoriale reale normato con la norma euclidea.

(20)

1.5. Vettori ortogonali

Tenendo presente l'interpretazione geometrica dei vettori, sia l'arco) relativo all'angolo convesso compreso fra i segmenti orientati corripondenti a due vettori x yß − ‘⁸ tali che x yß Á !. Si ha

cos) œ Ø ß Ù m m † m m

x y x y , dove ! Ÿ)Ÿ1.

Il precedente risultato può essere facilmente verificato tenendo presente che dal Teorema di Carnot si ottiene

m  m œ m m  m m  #m m † m mx y ^# x ^# y ^# x y cos) .

Inoltre dalla definizione di norma e per le proprietà (i)-(iii) del Risultato 1.4 si ha

m  m œ Ø  ß  Ù œ m m  #Ø ß Ù  m mx y ^# x y x y x ^# x y y ^# .

Combinando le precedenti relazioni si ottiene infine l'espressione data per .cos)

Infine, per le proprietà di cos) si ha

" Ÿ Ø ß Ù Ÿ "

m m † m m x y

x y ,

che costituisce una interpretazione geometrica della disuguaglianza di Schwarz.

Esempio 1.14.Si considerino i vettori x yß − ‘^# tali che xœ # $ yœ

# $

"

    

,  .

Dunque risulta Ø ß Ù œ %x y $ m m œ %, x e m m œ #y . Di conseguenza si ha che

cos) œ $

#



e quindi risulta )œ Î'1 . I vettori x y, e l'arco sono rappresentati nella)

Figura 1.5. 

(21)

x 0

y q

-4 -2 2 4

Figura 1.5.

Due vettori x yß − ‘⁸ sono detti ortogonali se cos) œ ! (e quindi )œ Î#1 ), ovvero se x yØ ß Ù œ !. Per indicare che due vettori e sonox y ortogonali si adotta la notazione x¼y. Due vettori x e , y per i quali risulta x¼ e m m œ m m œ "y x y , sono detti ortonormali.

Infine, s e x¼ si ha la relazioney

m  m œ m m  m mx y ^# x ^# y ^# ,

che da un punto di vista geometrico può essere interpretata come una estensione del Teorema di Pitagora in ‘⁸.

Esempio 1.15.Si considerino i vettori x yß − ‘^# tali che xœ # $ yœ

# $ $

    $ 

,  .

Dal momento che si ha Ø ß Ù œ !x y risulta x¼y. I vettori non sono ortonormali in quanto m m œ %x e m m œ 'y . Essendo m  m œx y &#,

risulta verificato il Teorema di Pitagora. 

Esempio 1.16.Si considerino i vettori x yß − ‘^# tali che

(22)

xœ $Î# yœ

"Î# $Î#

"Î#

   

,  .

In questo caso e sono ortonormali in quanto si ha x y Ø ß Ù œ !x y , mentre risulta m m œ m m œ "x y . I vettori x e sono rappresentati nella Figuray

1.6. 

x

0 y

-1 -¹

2

1

2 1

-1 -¹

2 1 2

1

Figura 1.6.

In generale, si dice che vettori 5 x x_"ß _#ß á ßx₅ − ‘⁸ costituiscono un insieme ortonormale se x₃ ¼x ₄ per ogni 3 Á 4 œ "ß #ß á ß 5 e m m œ "x₃ per ogni 3 œ "ß #ß á ß 5.

Tenendo presente quanto detto nella Sezione 1.3, una base è detta ortonormale se è costituita da vettori ortonormali. In particolare, l'insieme

F_!ß8œ Ö ße e_" _#ß á ße₈×

è una base ortonormale di ‘⁸ in quanto gli elementi di F_!ß8 costituiscono un insieme ortonormale e ogni vettore x− ‘⁸ può essere espresso come combinazione lineare degli , ovveroe₃

(23)

xœ œ B  B  á  B œ e

B " ! !

B ! " !

ã ã ã ã

B ! ! "

       

       

       



"

#

8

" # 8 3 3

3œ"

8

α ,

dove α₃œ B₃per 3 œ "ß #ß á ß 8.

La base F_!ß8 è detta base canonica di ‘⁸, anche se essa non costituisce l'unica base ortonormale di ‘⁸. In effetti, qualsiasi insieme di 8 vettori ortonormali è una base ortonormale di ‘⁸. In generale, se F œ Ö ß₈ x x_" _#ß á ßx₈× è una qualsiasi base ortonormale, ogni vettore x− ‘⁸ può essere espresso come

xœ œ x

B B ã B

  

 

 



"

#

8

3œ"

8

α3 3 ,

dove α₃œ Ø ß Ùx x₃ per 3 œ "ß #ß á ß 8.

Infine, si noti che ogni spazio vettoriale a dimensione unitaria,T ovvero tale che dimÐ Ñ œ "T , ammette una sola base ortonormale costituita dall'unico vettore normalizato di (a meno del segno).T Esempio 1.17. Mediante la base canonica F_!ß#œ Ö ße e_" _#× un qualsiasi vettore x− ‘^# può essere espresso come

xœ œ "  !

! "

 B    

B^" B B

# " # œα" "e α# #e ,

dove α_"œB_" e α_#œB_#. Inoltre, si considerino i vettori x x_"ß _#−‘^#

x_"œ #Î# x_# œ #Î#

#Î# #Î#

    

 ,  .

La base F œ Öx x_"ß _#× costituisce un'ulteriore base ortonormale di ‘^# in quanto si ha Øx x_"ß _#Ù œ !, mentre m m œ m m œ "x_" x_# . Dunque, un qualsiasi vettore x− ‘^# può essere espresso anche come

xœ α" "x α# #x , dove

(24)

α_"œ Ø ß Ù œ #Ð _" _# œ Ø ß Ù œ #Ð _# _"

# #

x x_"  _# x x_# 

B  B Ñ , α B  B Ñ . 

Esempio 1.18. Se è lo spazio vettoriale in T ‘^$ di dimensione unitaria generato da

xœ

"

#

 

  , allora il vettore normalizzato

x_‰œ

"Î$

#Î$

 

 

costituisce una base ortonormale di ed esiste solo una altra baseT ortonormale di data dal vettore T  x_‰. 

1.6. Proiezioni di vettori

Tenendo presente l'interpretazione geometrica dei vettori, dati due vettori x zß − ‘⁸ tali che x zß Á !, si consideri la proiezione del segmento orientato corrispondente a sulla retta che contiene ilx segmento orientato corrispondente a . Il vettore che si ottiene dallaz y proiezione è dato da

y x z z œ Ø ß Ùz

m m^# .

Questo risultato può essere facilmente verificato tenendo presente innanzitutto che i vettori e deveno essere collineari. Inoltre, daly z momento che

m m œ m m † ly x cos)l deve risultare

(25)

y x z œ m mz

m m cos)

.

Considerando l'espressione di cos) si ottiene infine l'espressione del vettore y.

Esempio 1.19.Si considerino i vettori x zß − ‘^# tali che xœ " zœ $

$ "

  ,   .

In questo caso si ha Ø ß Ù œ 'x z , mentre m m œ m m œx z "!. Quindi l'arco relativo ad x e risulta z ) œarccosÐ$Î&Ñ. Il vettore y che si ottiene proiettando su è quindi dato dax z

yœ $zœ

&

*Î&

$Î&

  .

I vettori x e e il relativo vettore sono riportati nella Figura 1.7.z y 

0 z x

q y

-4 -2 2 4

Figura 1.7.

Esempio 1.20.Si considerino i vettori x zß − ‘^# tali che

(26)

xœ # zœ $

# "

   

, .

In questo caso si ha Ø ß Ù œx z %, mentre m m œ #x # e m m œz "!. Quindi l'arco relativo ad x e risulta z ) œarccosÐ &Î&Ñ. Il vettorey che si ottiene proiettando su è quindi dato dax z

yœ #zœ

&

'Î&

#Î&

 

  .

I vettori x e e il relativo vettore sono riportati nella Figura 1.8.z y 

z 0

x

y q

-4 -2 2 4

Figura 1.8.

1.6. Iperpiani

Dati un vettore α di costanti e un vettore x− ‘⁸, lo spazio vettoriale c œ Ö À Ø ß Ù œ !×x α x

è detto iperpiano Dal momento che.

(27)

Ø ß Ù œα x  B œ !

3œ"

8

α3 3

dove α₃ e rappresentano rispettivamente le -esime componenti di eB₃ 3 α x, supponendo α₃ Á ! per qualche 3 œ "ß #ß á ß 8, si ha

B œ₃ Ð  ₄ÑB₄

4Á3œ"

8

3"

 α α .

Dunque, lo spazio vettoriale è costituito da tutti i vettori di c ‘⁸ la cui 3-esima componente è data dalla combinazione lineare delle rimanenti Ð8  "Ñ componenti. Ogni iperpiano di ‘⁸ ha dimensione Ð8  "Ñ, ovvero dimÐ Ñ œ 8  "c . Da un punto di vista geometrico, ogni retta passante per l'origine è un iperpiano di ‘^#, ogni piano passante per l'origine è un iperpiano di ‘^$, e così via.

Dato un ulteriore scalare α_!, l'insieme g œ Ö À Ø ß Ù œx α x α_!×

è detto iperpiano traslato e non costituisce uno spazio vettoriale dal momento che non contiene il vettore . Da un punto di vista geometrico,! ogni retta è un iperpiano traslato di ‘^#, ogni piano è un iperpiano traslato di ‘^$, e così via.

Esempio 1.21. Dati α_"œ %ßα_#œ #, si consideri l'iperpiano di ‘^# c œ Ö À %B  #B œ !×x _" _# ,

che dunque è costituito dai vettori per cui B œ B Î#_" _# , ovvero dai vettori del tipo

xœ Î#

" 

" ,

dove " −‘. Da un punto di vista geometrico coincide con la retta dic equazione B œ #B_# _". Analogamente, se α_! œ  ", l'iperpiano traslato

g œ Ö À %B  #B œ  "×x _" _# ,

che è costituito dai vettori per cui B œ B Î#  "Î%_" _# , ovvero dai vettori del tipo

(28)

xœ Î#  "Î%

" 

" ,

dove " −‘. Da un punto di vista geometrico coincide con la retta dig

equazione B œ "Î#  #B_# _". 

(29)

Matrici

2.1. Definizioni e notazioni

Un insieme di numeri reali disposti in righe e colonne8 5

Aœ

+ + á +

ã ã ã

+ + á +

 

 

 

"" "# "5

#" ## #5

8" 8# 85

è detto matrice di ordine Ð8 ‚ 5Ñ. Una matrice di ordine Ð8 ‚ "Ñ è in effetti un vettore colonna di ordine . Il numero reale 8 +₃₄ rappresenta la componente di che appartiene contemporaneamente alla -esima riga eA 3 alla -esima colonna. La matrice di ordine 4 A Ð8 ‚ 5Ñ può essere indicata in forma più concisa tramite l'espressione

Aœ Ð+ Ñ₃₄ . La matrice opposta ad è definita comeA

 œ Ð  + Ñ œ

+ + á +

ã ã ã

+ + á +

A ₃₄

"" "# "5

#" ## #5

8" 8# 85

 

 

 

  

.

Due matrici Aœ Ð+ Ñ₃₄ e Bœ Ð, Ñ₃₄ sono dette uguali se sono entrambe di ordine Ð8 ‚ 5Ñ e se + œ ,₃₄ ₃₄ per ogni 3 œ "ß #ß á ß 8 e 4 œ "ß #ß á ß 5. In questo caso si adotta la notazione

Aœ .B

In caso contrario le matrici sono dette diverse e si scrive

(30)

AÁ .B

La matrice di ordine Ð8 ‚ 5Ñ con componenti tutte nulle viene indicata con o con O O_8‚5 quando si vuole enfatizzare l'ordine della matrice.

Data una matrice di ordine A Ð8 ‚ 5Ñ si dice trasposta di laA matrice di ordine Ð5 ‚ 8Ñ

A^Tœ Ð+ Ñ œ

+ + á +

ã ã ã

+ + á +

43

"" #" 8"

"# ## 8#

"5 #5 85

 

 

 

che si ottiene da scambiando le righe con le colonne. In altri termini,A la prima riga di è la prima colonna di A A^T, la seconda riga di è laA seconda colonna di A^T, á, la -esima riga di è la -esima colonna di8 A 8 A^T. In generale, la componente di posto Ð3ß 4Ñ di è la componente diA posto Ð4ß 3Ñ di A^T. Inoltre si ha ÐA^{T T}Ñ œA.

Esempio 2.1. Si consideri la matrice di ordine A Ð# ‚ $Ñ data da Aœ $ " !

! # %

  .

La matrice opposta ad di ordine A Ð# ‚ $Ñ risulta

 œ $ " !

! # %

A   ,

mentre la trasposta di A è la matrice di ordine Ð$ ‚ #Ñ data da

A^Tœ

$ !

" #

! %

 

  .

Infine, la matrice di ordine Ð# ‚ $Ñ con componenti nulle è data da OœO œ ! ! !

! ! !

#‚$   . 

(31)

Se un vettore colonna di ordine viene considerato come una8 matrice di ordine Ð8 ‚ "Ñ, il corrispondente vettore trasposto è detto vettore riga di ordine ed è in effetti una matrice di ordine 8 Ð" ‚ 8Ñ. Risulta adesso evidente la motivazione per la definizione di vettore colonna introdotta nella Sezione 1.1.

Una matrice di ordine Ð8 ‚ 5Ñ può essere espressa come un insieme di vettori colonna di ordine 5 8

Aœ Ða_ñ"a_ñ# á a_ñ5Ñ , dove

a_ì4

"4

#4

84

œ + + ã +

 

 

 

indica il -esimo vettore colonna di . Alternativamente, una matrice di4 A ordine Ð8 ‚ 5Ñ può essere espressa come un insieme di vettori riga di8 ordine 5

A a a a

œ ã

 

 

 

"ì

#ì

8ì T T

T

,

dove

a_3ì^T œ Ð+ + á + Ñ_3" _3# ₃₅

indica l' -esimo vettore riga di . Di conseguenza, una matrice di ordine3 A Ð8 ‚ 5Ñ può essere interpretata come un insieme di vettori in 5 ‘⁸, oppure come un insieme di vettori in 8 ‘⁵.

Esempio 2.2. Si consideri la matrice di ordine A Ð$ ‚ #Ñ data da

Aœ

# "

" %

" !

 

  .

La matrice può essere espressa come un insieme di vettori colonnaA # di ordine , ovvero$

(32)

a_ñ" œ a_ñ#

# "

" %

" !

   

  , œ  ,

o alternativamente come un insieme di vettori riga di ordine , ovvero$ # a_"ì^T œ Ð# "Ñ , a_#ì^T œ Ð" %Ñ , a_$ì^T œ Ð" !Ñ . 

2.2. Matrici a blocchi

Estendendo il concetto di rappresentazione per vettori colonna o vettori riga, ogni matrice può essere suddivisa in insiemi detti sottomatrici considerando gruppi di vettori colonna e vettori riga. Se i gruppi di vettori sono contigui, la matrice è detta a blocchi. In particolare, quando si considerano due gruppi contigui di vettori riga e due gruppi contigui di vettori colonna, ogni matrice di ordine Ð8 ‚ 5Ñ può essere espressa come matrice a blocchi del tipo

A A A

A A

œ ^""_#" ^"#_## ,

dove A_"", A_"#, A_#" e A_## sono sottomatrici di ordine rispettivamente pari a Ð7 ‚ 2Ñ Ð7 ‚ Ð5  2ÑÑ ÐÐ8  7Ñ ‚ 2Ñ ÐÐ8  7Ñ ‚ Ð5  2ÑÑ, , , , mentre e sono tali che 7 2 " Ÿ 7 Ÿ 8 " Ÿ 2 Ÿ 5 e .

Se 7 œ 8, allora la matrice è costituita da due blocchi del tipo Aœ ÐA_""A_"#Ñ ,

mentre se 2 œ 5, allora la matrice è costituita da due blocchi del tipo

A A

œA^""_#" .

Si noti che definendo l'ordine di A_"" anche gli ordini delle restanti sottomatrici sono automaticamente definiti. Inoltre, per enfatizzare la separazione in blocchi della matrice si utilizza eventualmenteA l'ulteriore notazione

(33)

A A A

A A

œ ^""_#" ^"#_## , o le notazioni

Aœ ÐA_""lA_"#Ñ e

A A

œA^""

#"

, che possono risultare utili con matrici numeriche.

Infine, per quanto riguarda la trasposta di una matrice a blocchi si ha

A A A

A A

T T T

T T

œ ^"" ^#"

"# ##

.

Esempio 2.3. Si consideri la matrice a blocchi di ordine Ð& ‚ 'Ñ data

Aœ

! " " " ! !

" " # ! " !

! ! " # " "

" $ # # ! "

# " % ! ! "

 

 

 

.

In questo caso risulta 7 œ # 2 œ % e . Inoltre si ha

A_""œ ! " " " A_"#œ ! !

" " # ! " !

  ,   ,

mentre

A_#"œ A_##œ

! ! " # " "

" $ # # ! "

# " % ! ! "

   

  ,   . 

Esempio 2.4. Si consideri la matrice a blocchi di ordine Ð& ‚ $Ñ data da

(34)

Aœ

! " !

" " !

! ! "

" $ "

# " "

 

 

 

.

In questo caso si ha 7 œ # 2 œ 5 œ $ e , mentre

A_""œ ! " ! A_#"œ

" " !

! ! "

" $ "

# " "

   

 

, .

Inoltre la trasposta di A risulta

A^Tœ

! " ! " #

" " ! $ "

! ! " " "

 

  ,

dove

A_""^T œ A_#"^T œ

! " ! " #

" " ! $ "

! ! " " "

   

  ,   . 

2.3. Matrici quadrate

Una matrice per la quale il numero delle righe è uguale al numero delle colonne, ovvero quando 8 œ 5, è detta matrice quadrata di ordine .5 Ovviamente, ogni matrice quadrata di ordine 5 œ " è costituita da un solo numero reale, ovvero Aœ Ð+Ñ.

In una matrice quadrata di ordine le componenti A 5 + ß + ß á ß +_"" _## ₅₅ costituiscono la diagonale principale della matrice. Inoltre, una matrice quadrata è detta A simmetrica quando + œ +₃₄ ₄₃ per ogni 3 Á 4 œ "ß #ß á ß 5, ovvero quando AœA^T. In particolare si ha AœA^T se e solo se è simmetrica.A

Una matrice quadrata le cui componenti che non appartengono alla diagonale principale sono nulle, ovvero se + œ !₃₄ per ogni

(35)

3 Á 4 œ "ß #ß á ß 5, è detta matrice diagonale. Ovviamente, ogni matrice diagonale è simmetrica.

Per ogni insieme di scalari 5 + ß + ß á ß +_" _# ₅, si definisce con dgÐ+ ß + ß á ß + Ñ_" _# ₅ la matrice diagonale

dgÐ+ ß + ß á ß + Ñ œ .

+ ! á !

! + á !

ã ã ã

! ! á +

" # 5

"

#

5

 

 

 

Inoltre, se è una matrice quadrata di ordine , la matrice diagonale leA 5 cui componenti non nulle coincidono con le componenti della diagonale di Aœ Ð+ Ñ₃₄ viene indicata con la notazione

dgÐ Ñ œ .

+ ! á !

! + á !

ã ã ã

! ! á +

A

 

 

 

""

##

55

Una matrice diagonale nella quale le componenti della diagonale principale sono uguali allo scalare , ovvero del tipo dgα Ð ß ß á ß Ñα α α , è detta matrice scalare. Una matrice scalare di ordine per la quale5 risulta α œ " è detta matrice identità e viene indicata con la notazione I₅, ovvero

I₅ œ

" ! á !

! " á !

ã ã ã

! ! á "

 

 

 

.

Si noti che risulta I₅ œ Ðe e_" _#á e₅Ñ.

Infine, una matrice quadrata Aœ Ð+ Ñ₃₄ è detta triangolare inferiore quando + œ !₃₄ per ogni 3  4. Una matrice quadrata Aœ Ð+ Ñ₃₄ è detta triangolare superiore quando + œ !₃₄ per ogni 3  4.

Esempio 2.5. La matrice

Aœ

# " !

" % "

! " "

 

 

(36)

è una matrice simmetrica di ordine e si ha$

dgÐ Ñ œ .

# ! !

! % !

! ! "

A  

 

La matrice

Aœ

# ! !

! # !

! ! #

 

 

è una matrice scalare di ordine con $ αœ #. La matrice

I_$œ

" ! !

! " !

! ! "

 

 

è una matrice identità di ordine . $ La matrice

Aœ

$ ! !

" # !

# ! $

 

 

è una matrice triangolare inferiore di ordine , mentre la matrice$

Aœ

% " !

! # %

! ! $

 

 

è una matrice triangolare superiore di ordine .$ 

2.4. Matrici ortogonali

Una matrice quadrata di ordine le cui colonne sono costituite da 5 5 vettori ortonormali # #"ß #ß á ß#5 è detta matrice ortogonale e si indica generalmente con , ovvero>

>œ Ð# #_" _#á #₅Ñ .

(37)

Si noti che una matrice ortogonale dovrebbe essere definita più correttamente come matrice ortonormale, anche se questa terminologia non è usualmente adottata.

Si può verificare che se > è ortogonale anche >^T è ortogonale.

Inoltre, nel caso particolare in cui , 5 œ # ogni matrice ortogonale può essere espressa nella forma

> œ 

cos sin 

sin cos

9 9

9 9 ,

o nella forma

> œ 

 

 cos sin 

sin cos

9 9

9 9 ,

dove .! Ÿ9Ÿ #1

Esempio 2.6. I vettori #" e ## di ordine #

#_"œ $Î# #_#œ

"Î# $Î#

   

, "Î# ,



sono ortonormali in quanto m m œ m m œ "#" ## , mentre Ø ß# #" #Ù œ !. Quindi la matrice

>œ Ð# # Ñ œ $Î# "Î# œ Ð Î'Ñ  Ð Î'Ñ

"Î# $Î# Ð Î'Ñ Ð Î'Ñ

" #    

 cos sin

sin cos

1 1

è ortogonale. È immediato verificare che

>^Tœ $Î# "Î#

"Î# $Î#

 



è a sua volta una matrice ortogonale. 

2.5. Operazioni sulle matrici

Se A e sono matrici di ordine Ð8 ‚ 5ÑB , la matrice somma è definita come

(38)

ABœ Ð+ Ñ  Ð, Ñ œ Ð+  , Ñ₃₄ ₃₄ ₃₄ ₃₄ .

Risultato 2.1. Se , e A B C sono matrici di ordine Ð8 ‚ 5Ñ, per la somma di matrici valgono le proprietà:

(i) ABœBA (proprietà commutativa);

(ii) Ð  Ñ A B CœA Ð  ÑB C (proprietà associativa);

(iii) AOœ (esistenza dell'elemento neutro);A (iv) A Ð  Ñ œA O (esistenza dell'elemento inverso).

Per indicare la somma di matrici A Ð  Ñ si adotta semplicementeB la notazione AB. La matrice AB è detta matrice differenza. Inoltre, per quanto riguarda la trasposta della matrice somma si ha

Ð  Ñ œA B ^T A^TB^T .

Esempio 2.7. Si considerino le matrici e di ordine A B Ð$ ‚ #Ñ tali che

Aœ Bœ

" " ! "

# " " "

# ! $ "

   

  ,   .

In questo caso risulta

ABœ  œ

" " ! " " #

# " " " $ #

# ! $ " & "

     

      ,

mentre

ABœ  œ

" " ! " " !

# " " " " !

# ! $ " " "

     

      . 

Se è una matrice di ordine A Ð8 ‚ 5Ñ, la moltiplicazione perdi A uno scalare è definita comeα

αAœAαœ Ð + Ñα ₃₄ .

(39)

Risultato 2.2. Se α "ß sono scalari e è una A matrice di ordine Ð8 ‚ 5Ñ, per la moltiplicazione per uno scalare valgono le proprietà:

(i) α "Ð AÑ œ Ðα"ÑA (proprietà associativa);

(ii) "AœA (invarianza rispetto alla moltiplicazione per lo scalare )."

Risultato 2.3. Se α "ß sono scalari e A e sono B matrici di ordine Ð8 ‚ 5Ñ, per la somma di matrici e la moltiplicazione per uno scalare valgono le proprietà:

(i) αÐ  Ñ œA B αAαB (proprietà distributiva rispetto alla somma di matrici);

(ii) Ð  Ñ œα " A αA"A (proprietà distributiva rispetto alla moltiplicazione per uno scalare).

Inoltre, per ogni matrice scalare di ordine si ha5 dgÐ ß ß á ß Ñ œα α α αI₅ .

Infine, per quanto detto nella Sezione 1.2, si noti che l'insieme delle matrici di ordine Ð8 ‚ 5Ñ costituisce uno spazio vettoriale reale.

Esempio 2.8. Si consideri la matrice di ordine A Ð# ‚ $Ñ tale che Aœ " " "

# ! $

  .

In questo caso, se α œ $ risulta

αA œ $ " " " œ $ $ $

# ! $ ' ! *

    . 

Date le matrici a blocchi e di ordine A B Ð8 ‚ 5Ñ definite come

A A A B B B

A A B B

œ ^""_#" ^"#_## , œ ^""_#" ^"#_## ,

con A_"" e B_"" sottomatrici dello stesso ordine, allora la matrice somma è

data da

A B A B A B

A B A B

 œ  

 

 ^""_#" ^""_#" ^"#_## ^"#_## .

(40)

Inoltre la moltiplicazione di per lo scalare risultaA α

α α α

α α

A A A

A A

œ ^""_#" ^"#_## .

Esempio 2.9. Si considerino le matrici quadrate e di ordine Ð$ ‚ %ÑA B tali che

Aœ Bœ

! " ! ! # " # !

" ! " ! ! % ! "

! # " " ! " ! "

   

  ,   .

In questo caso si ha

ABœ

# # # !

" % " "

! " " #

 

  ,

mentre se α œ $ risulta

αA œ

! $ ! !

$ ! $ !

! ' $ $

 

  . 

2.6. Traccia

La somma delle componenti della diagonale principale di una matrice quadrata Aœ Ð+ Ñ₃₄ di ordine è detta 5 traccia e viene indicata con la notazione

trÐ Ñ œA + .

3œ"

5 33

La traccia è un operatore lineare, nel senso che se e sono matriciA B quadrate dello stesso ordine e è uno scalare, allora si ha:α

(i) trÐ  Ñ œ Ð Ñ  Ð ÑA B tr A tr B ; (ii) trÐαAÑ œαtrÐ ÑA .

Inoltre se è uno scalare si pone+

(41)

trÐ+Ñ œ + .

Infine, data la matrice quadrata a blocchi di ordine con A 5 A_""

sottomatrice quadrata di ordine , la traccia di risulta2 A trÐ Ñ œ ÐA tr A_""Ñ  Ðtr A_##Ñ .

Esempio 2.10. Si considerino le matrici quadrate e di ordine taliA B $ che

Aœ Bœ

" " " $ ! "

# ! $ " # #

& " $ # ! $

   

 ,  .

In questo caso si ha trÐAÑ œ  # e trÐBÑ œ ). Dal momento che

ABœ

% " #

$ # "

( " !

 

  ,

allora risulta

trÐ  Ñ œ ' œ Ð Ñ  Ð ÑA B tr A tr B . Inoltre, se α œ # si ha

αA œ

# # #

% ! '

"! # '

 

  ,

per cui

trÐαAÑ œ  % œαtrÐ ÑA . 

(42)

(43)

Prodotto di matrici

3.1. Prodotto di Cayley

Data una matrice Aœ Ð+ Ñ₃₆ di ordine Ð8 ‚ :Ñ e una matrice Bœ Ð, Ñ₆₄ di ordine , Ð: ‚ 5Ñ la matrice prodotto di Cayley(o matrice prodotto righe per colonne, o semplicemente matrice prodotto) è definita come

ABœ ÐØa_3ìßb_ì4ÙÑ œ + ,_{36 64}

6œ"

:

  ,

dove a_3ì^T e b_ì4 rappresentano rispettivamente l' -esimo vettore riga di e3 A il -esimo vettore colonna di . Dunque la componente di posto 4 B Ð3ß 4Ñ della matrice AB è ottenuta effettuando il prodotto interno dell' -esimo3 vettore riga di con il -esimo vettore colonna di . Evidentemente laA 4 B matrice AB è di ordine Ð8 ‚ 5Ñ.

Affinchè il prodotto tra due matrici sia possibile, occorre che il numero delle colonne di sia uguale al numero delle righe di . InA B questo caso le due matrici sono dette conformabili rispetto al prodotto.

Nel prodotto di Cayley è fondamentale considerare l'ordine in cui compaiono le matrici coinvolte. In effetti la matrice BA può non essere definita o essere diversa dalla matrice AB. In particolare i prodotti AB e BA esistono entrambi solamente quando le matrici e sonoA B rispettivamente di ordine Ð8 ‚ 5Ñ e Ð5 ‚ 8Ñ. In questo caso i prodotti danno luogo rispettivamente a matrici quadrate di ordine o di ordine5 8. Dunque in generale non vale per il prodotto di Cayley la proprietà commutativa, ovvero

ABÁBA .

Per questo motivo con AB si specifica che premoltiplica o che A B B postmoltiplica .A