           () () () () () ()    ∃ X () () () () () ()() () Z B A ∈Μ ∈Μ , … , Z n m × ~ , k m N 0,1 x C = ⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟∈Μ VarX Z () ()… () ⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟∈ ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ Z X = = A Z Z , … + , Z X X X = = = = X X X , , , , … … …

Mattia  Natali  

  1  

Vettori  Aleatori  

µ Sommario:  

Ø Normali  multivariate;  

Ø Vettori  gaussiani;  

Ø Variabili  aleatorie  congiuntamente  gaussiane.  

 

µ Richiami  di  algebra  lineare:  

Ø

x 

= x

₁

…

… x

_n

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

∈

ⁿ,  

x



T

= x (

1

,…, x

n

)

^.  

Ø

A =

A

₁₁

… A

1m

… … … A

_n1

… A

_nm

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

∈Μ n × m ( )

^.  

Ø

( A ⋅ B )

ij

= A

_in

B

_nj

∑

n  con  

B ∈Μ m,k ( )

^.  

Ø

x 

T

⋅ x 

= x

²_i

∑

i

^{= x }

^2.  

 

µ Definizioni:  

Ø Normale  Standard:  

Z 

= Z

₁

… Z

_n

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

 vettore  aleatorio  è  normale  standard  se:  

§

Z

₁

,…,Z

n

~ N 0,1 ( )

^.  

§ Indipendenti.  

Ø Media:  sia  

X

 = X (

₁

,…, X

_n

)

^T  vettore  aleatorio  à  

E X 

( ) ^{:= E X ( ( )}

¹

^{,…,E X ( )}

ⁿ

⁾

^T.  

Ø Vettore  normale:  

X

 = X (

₁

,…, X

_n

)

^T  è  normale  se  

∃

  Z

= Z

(

₁,…,Z_N

)

 vettore  aleatorio  normale   standard,  

A ∈Μ n × m ( )

^,  

_µ ^{ =} ( ^µ

1

,…, µ

_n

)

^T

^∈

ⁿ  tale  che  

X

 = A 

Z 

+ µ 

.    

µ Matrice  di  Covarianza:  

Ø Definizione:  sia  

X

 = X (

₁

, …, X

_n

)

^T,    si  definisce  matrice  di  covarianza

C

^_X

:=

Cov X (

₁

, X

₁

) ^{Cov X} (

¹

^{, X}

²

) ^{… Cov X} (

¹

^{, X}

ⁿ

)

Cov X (

₂

, X

₁

) ^{Cov X} (

²

^{, X}

²

) ^{… Cov X} (

²

^{, X}

ⁿ

)

… … … …

Cov X (

_m

, X

₁

) ^{Cov X} (

m

, X

₂

) ^{… Cov X} (

m

, X

_n

)

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

.  

Ø Proprietà:  

§

C

_ii

= Var X ( )

_i ,  sulla  diagonale  maggiore  abbiamo  le  varianze  di  

X

_i.  

Mattia  Natali  

  2  

§

C = C

^T  à  è  una  matrice  simmetrica.  

§ Se  

X

₁

,…, X

n  sono  indipendenti  

⇒

 è  una  matrice  diagonale.  Ricordiamo  che  la  covarianza  di   due  variabili  indipendenti  è  uguale  a  

0

.  

§ Sia  

a

¹

,…,a

n

∈

,  

C ≥ 0 ⇔ a



T

Ca 

≥ 0,∀a 

∈

ⁿ.  In  parole  la  matrice  è  semidefinita  positiva   (gli  auto  valori  non  possono  essere  negativi).  

• Dimostrazione:  

0 ≤ Var a

_i

X

_i

i=1

∑

n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

^{Var Y( )=Cov Y ,Y}

=

^{( )}

Cov a

_i

X

_i

i=1

∑

n

^{, a}

^j

^X

^j j=1

∑

n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = a

_i

a

_j

Cov X (

_i

, X

_j

)

∑

i, j

^{= a}

ⁱ

^a

^j

^C

^ij

∑

i, j

⁼

= a

_i

a

_j

C

_ij

∑

j

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= C a( )_i

    

∑

i

^{= a}

ⁱ

( ) ^{Ca }

i

∑

i

^{= a }

^T

^{Ca  ≥ 0}

 

^{∀a  ∈}

^n.  

§ Sia  

X

 = A 

Z 

+ µ 

 un  vettore  aleatorio.  

•

E X 

⎡⎣ ⎤⎦ = E A 

Z 

+ µ 

⎡⎣ ⎤⎦ = A 

E Z 

⎡⎣ ⎤⎦

=0

+ µ 

= µ 

.  

•

C

_ij

= Cov X (

_i

, X

_j

) ^{= Cov A} ( ^{  Z + µ } )

i

, A 

Z 

+ µ 

( )

j

( ) ^{= Cov} ∑

h

^A

^ih

^Z

^ih

⁺

^numero

^µ

ⁱ

^{, A}

^jk

^Z

^jk

∑

k

⁺

^numero

^µ

^j

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = A

_ih

A

_jk

Cov Z (

_h

, Z

_k

)

∑

k

∑

h

^{= A}

^ih

^A

^jk

^{δ h,k}

^{krone ker}

^{( )}

∑

h, k

^{= A}

^ih

^A

^jh

∑

h

^{= A}

^ih

( ) ^A

^T hj

∑

h

^{= A} ( ) ^{  A}

^T ij

.  à  

C

_X^

= A 

A 

T

.      

µ Vettori  Gaussiani  

Ø

Z ~ N 0,1 ( ) ^{⇔ f}

Z

( ) z ^{= 1} 2π e

⁻

z² 2 .  

Ø

X ~ N ( µ,σ

²

)

 ^à  

^{X = σZ + µ}

.  Dalla  definizione  segue:  

X ~ N ( µ,σ

²

) ⇒ aX + b ~ N *,* ( )

^.  

Ø Nota:  

Z 

 è  normale  standard.