           () () () () () ()    ∃ X () () () () () ()() () Z B A ∈Μ ∈Μ , … , Z n m × ~ , k m N 0,1 x C = ⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟∈Μ VarX Z () ()… () ⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟∈ ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ Z X = = A Z Z , … + , Z X X X = = = = X X X , , , , … … …

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Testo completo

(1)

Mattia  Natali  

  1  

Vettori  Aleatori  

µ Sommario:  

Ø Normali  multivariate;  

Ø Vettori  gaussiani;  

Ø Variabili  aleatorie  congiuntamente  gaussiane.  

 

µ Richiami  di  algebra  lineare:  

Ø

x

= x

1

x

n

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎟ ⎟

⎟ ⎟

∈

n,  

x

T

= x (

1

,…, x

n

)

.  

Ø

A =

A

11

… A

1m

… … … A

n1

… A

nm

⎜ ⎜

⎟ ⎟

∈Μ n × m ( )

.  

Ø

( A ⋅ B )

ij

= A

in

B

nj

n  con  

B ∈Μ m,k ( )

.  

Ø

x

T

⋅ x

= x

2i

i

= x

2.  

 

µ Definizioni:  

Ø Normale  Standard:  

Z 

= Z

1

Z

n

⎜ ⎜

⎟ ⎟

 vettore  aleatorio  è  normale  standard  se:  

§

Z

1

,…,Z

n

~ N 0,1 ( )

.  

§ Indipendenti.  

Ø Media:  sia  

X

 = X (

1

,…, X

n

)

T  vettore  aleatorio  à  

E X 

( ) := E X ( ( )

1

,…,E X ( )

n

)

T.  

Ø Vettore  normale:  

X

 = X (

1

,…, X

n

)

T  è  normale  se  

  Z

= Z

(

1,…,ZN

)

 vettore  aleatorio  normale   standard,  

A ∈Μ n × m ( )

,  

µ  = ( µ

1

,…, µ

n

)

T

∈

n  tale  che  

X

 = A 

Z 

+ µ 

.    

µ Matrice  di  Covarianza:  

Ø Definizione:  sia  

X

 = X (

1

, …, X

n

)

T,    si  definisce  matrice  di  covarianza

C

X

:=

Cov X (

1

, X

1

) Cov X (

1

, X

2

) … Cov X (

1

, X

n

)

Cov X (

2

, X

1

) Cov X (

2

, X

2

) … Cov X (

2

, X

n

)

… … … …

Cov X (

m

, X

1

) Cov X (

m

, X

2

) … Cov X (

m

, X

n

)

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎟ ⎟

⎟ ⎟

.  

Ø Proprietà:  

§

C

ii

= Var X ( )

i ,  sulla  diagonale  maggiore  abbiamo  le  varianze  di  

X

i.  

(2)

Mattia  Natali  

  2  

§

C = C

T  à  è  una  matrice  simmetrica.  

§ Se  

X

1

,…, X

n  sono  indipendenti  

 è  una  matrice  diagonale.  Ricordiamo  che  la  covarianza  di   due  variabili  indipendenti  è  uguale  a  

0

.  

§ Sia  

a

1

,…,a

n

∈

,  

C ≥ 0 ⇔ a

T

Ca

≥ 0,∀a

∈

n.  In  parole  la  matrice  è  semidefinita  positiva   (gli  auto  valori  non  possono  essere  negativi).  

• Dimostrazione:  

0 ≤ Var a

i

X

i

i=1

n

⎝⎜

⎠⎟

Var Y( )=Cov Y ,Y

=

( )

Cov a

i

X

i

i=1

n

, a

j

X

j j=1

n

⎝⎜

⎠⎟ = a

i

a

j

Cov X (

i

, X

j

)

i, j

= a

i

a

j

C

ij

i, j

=

= a

i

a

j

C

ij

j

⎝⎜

⎠⎟

= C a( )i

    

i

= a

i

( ) Ca

i

i

= a

T

Ca ≥ 0

 

∀a ∈

n.  

§ Sia  

X

 = A 

Z 

+ µ 

 un  vettore  aleatorio.  

E X 

⎡⎣ ⎤⎦ = E A 

Z 

+ µ 

⎡⎣ ⎤⎦ = A 

E Z 

⎡⎣ ⎤⎦

=0

+ µ 

= µ 

.  

C

ij

= Cov X (

i

, X

j

) = Cov A (   Z + µ  )

i

, A 

Z 

+ µ 

( )

j

( ) = Cov

h

A

ih

Z

ih

+

numero

µ

i

, A

jk

Z

jk

k

+

numero

µ

j

⎝⎜

⎠⎟ = A

ih

A

jk

Cov Z (

h

, Z

k

)

k

h

= A

ih

A

jk

δ h,k

krone ker

( )

h, k

= A

ih

A

jh

h

= A

ih

( ) A

T hj

h

= A ( )   A

T ij

.  à  

C

X

= A 

A 

T

.      

µ Vettori  Gaussiani  

Ø

Z ~ N 0,1 ( ) ⇔ f

Z

( ) z = 1e

z2 2 .  

Ø

X ~ N ( µ,σ

2

)

 à  

X = σZ + µ

.  Dalla  definizione  segue:  

X ~ N ( µ,σ

2

) ⇒ aX + b ~ N *,* ( )

.  

Ø Nota:  

Z 

 è  normale  standard.  

figura

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