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ESERCIZIO SVOLTO APPLICANDO IL TEOREMA DEI SENI
Esercizio
Calcolare il perimetro del triangolo ABC sapendo che il lato a misura 24 cm, l’ampiezza dell’angolo ß è π/3 e l’ampiezza dell’angolo ɣ è π/4.
Sapendo che
β=π
3 → β °=60 ° e γ=π
4→ γ °=45 °
e che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto si ha α °=180°−60°−45 °=75 °
Ricordando che sen 60°=
√
32 , sen45 °=
√
22 e sen 75 °=
√
6+√
24 Si applica il teorema dei seni
a
senα= b
senβ= c senγ
Pertanto, ha senso scrivere
Prof. Mauro La Barbera
1
2
√
6−√¿2¿ 2
¿
√
6−√¿¿
√
6 +√¿ ¿¿ 48
√
3¿b=asenβ
senα =24 ×
√
32 × 4
√
6+√
2=48
√
3√
6+√
2=¿Ossia 2
√
6−√¿2¿
√
6−√¿2¿
√
6−√¿48
√
3¿48
√
3¿b=¿
Si può anche scrivere
2
√
2×√
3−√¿¿ b=12
√
3¿Analogamente si trova la misura del lato c, infatti
2
√
6−√¿2¿ 2
¿
√
6−√¿¿
√
6 +√¿ ¿¿ 48
√
2¿c=asenγ
senα =24 ×
√
22 × 4
√
6+√
2=48
√
2√
6+√
2=¿Ossia
Prof. Mauro La Barbera
2
2
√
6−√¿2¿
√
6−√¿2¿
√
6−√¿48
√
2¿48
√
2¿c=¿
Si può anche scrivere
2
√
2×√
3−√¿¿ c=12
√
2¿Pertanto, il perimetro misura
2 p=a+b+c=24 +12
√
6( √
3−1)
+24( √
3−1)
Ossia
2 p=12
[
2+√
6( √
3−1)
+2( √
3−1) ]
Cioè
2 p=12
[
2+( √
3−1)
(√
6+2)]
cmN.B.
b=12
√
6( √
3−1)
cm=21,46 cm(approssimato) c=24( √
3−1)
cm=17,52 cm(approssimato)2 p=a+b+c=(24 +21,46+17,52) cm=62,98 cm(approssimato)
