Algebra
OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ESERCIZI SVOLTI
ESERCIZIO N°1
Calcolare la somma algebrica dei numeri z1=3+7 i e z2=8+2 i
Si sommano algebricamente le parti reali tra di loro e si sommano algebricamente le parti immaginarie tra di loro, quindi si ha
z=z1+z2=3+7 i+8+2i=11+9 i
ESERCIZIO N°2
Calcolare la somma algebrica dei numeri z1=5−7 i e z2=−8+3i
Pertanto, si ha
z=z1+z2=5−7 i−8+3i=−3−4 i
ESERCIZIO N°3
Calcolare il prodotto dei numeri z1=5−7 i e z2=−8+3i
Pertanto, si ha
z=z1× z2=(5−7 i) (−8+3 i)=−40+15 i+56 i−21 i2
Sapendo che i2=−1 si ha
z=z1× z2=−40+71 i−21 (−1)=−40+71i+21=−19+71i
ESERCIZIO N°4
Calcolare il reciproco del numero z=2+3 i
1 z= 1
2+3 i= 1 ×(2−3 i)
(2+3i)(2−3 i)=2−3i
4 +9 =2−3 i 13 = 2
13− 3 13i
Calcolare il reciproco del numero z=1−i
1 z= 1
1−i= 1 ×(1+i)
(1−i)(1+i)=1+i 2 =1
2+1 2i N.B 1+i è il coniugato di 1−i
ESERCIZIO N°6
Calcolare il quoziente dei numeri z1=3+2 ie z2=2−i
Pertanto, si può scrivere
z=z1 z2
=3+2 i
2−i =(3+2i)×(2+i)
(2−i)(2+i) =6+ 3i+ 4 i−2
4+1 =4+ 7 i 5 =4
5+7 5i
ESERCIZIO N°7
Calcolare il quoziente dei numeri z1=5−7 i e z2=−8+3i
Pertanto, si può scrivere
z=z1
z2= 5−7 i
−8+3 i=(5−7 i)×(−8−3 i)
(−8+3 i)(−8−3 i)=−40−15 i+56 i−21
64+ 9 =−61+41 i 73 Cioè
z=−61 73 +41
73i ESERCIZIO N°8
Calcolare il quadrato del numero z=4−3 i
Pertanto, ricordando la regola del quadrato di binomio (a ± b)2=a2+b2± 2 ab si ha
z2=(4−3 i)2=16−9−24 i=7−24 i
Calcolare il quadrato del numero z=3+2 i
Pertanto, ricordando la regola del quadrato di binomio (a ± b)2=a2+b2± 2 ab si ha
z2=(3+2 i)2=9−4+ 12i=5+12 i
ESERCIZIO N°10
Calcolare il cubo del numero
z=3+2 i
Pertanto, ricordando la regola del cubo della somma di monomi (a+ b)3=a3+3 a2b+3 a b2+b3
si ha
z3=(3+2 i )3=27+54 i+36 i2+8 i3
Sapendo che i2=−1 e i3=−i si ha
z3=(3+2 i)3=27+54 i+36(−1)+8(−i)=27+54 i−36−8 i=−9+ 46 i
ESERCIZIO N°11
Calcolare il cubo del numero z=2−5 i
Pertanto, ricordando la regola del cubo della differenza di monomi (a−b)3=a3−3 a2b+3 a b2−b3
si ha
z3=(2−5 i)3=8−60 i+ 150i2−125 i3
Sapendo che i2=−1 e i3=−i si ha
z3=(2−5 i )3=8−60 i+150 (−1)−125 (−i)=8−60 i−150+125 i=−142+65 i
Calcolare le radici quadrate del numero z=7−24 i
Pertanto, bisogna determinare un numero complesso del tipo a+ib tale che il suo quadrato sia uguale al numero dato, cioè
(a+ib)2=7−24 i
Sviluppando il quadrato si ottiene a2−b2+2 abi=7−24 i
Per la definizione di uguaglianza tra due numeri complessi, si ha
{
2ab=−24a2−b2=7 →{
aab=−122−b2=7→{
ab=2−b−122a=7Applicando il metodo di sostituzione si ha
{
a2−b=(
−12−12aa)
2=7→{
a2b=−144a−122a=7→{
a4−7 ab=2−144=0−12aPer risolvere l’equazione biquadratica a4−7 a2−144=0 si può utilizzare l’incognita ausiliare t=a2
t2−7 t−144=0 →t=7 ±
√
49+5762 =7 ±
√
6252 =
7−25 2 =−18
2 =−9 7+25
2 =32 2 =16
La soluzione a2=−9 non è accettabile.
Se a2=16 allora a=± 4 pertanto, si ottengono i due sistemi
{
b=−124a=4→ b=−3→ z1=4−3 i{
b=+12a=−44 → b=3→ z2=−4 +3 i=−(4−3 i)N.B. z1=4−3 i e z2=−(4−3 i) sono numeri complessi opposti.
Calcolare le radici quadrate del numero z=5+12 i
Pertanto, bisogna determinare un numero complesso del tipo a+ib tale che il suo quadrato sia uguale al numero dato, cioè
(a+ib)2=5+12 i
Sviluppando il quadrato si ottiene a2−b2+2 abi=5+12 i
Per la definizione di uguaglianza tra due numeri complessi, si ha
{
a2ab=122−b2=5→{
a2ab=6−b2=5→{
a2−bb=26a=5Applicando il metodo di sostituzione si ha
{
a2−b=36a2a6=5→{
a4−5 ab=2−36=06aPer risolvere l’equazione biquadratica a4−5 a2−36=0 si può utilizzare l’incognita ausiliare t=a2
t2−5 t−36=0 → t=5 ±
√
25+1442 =5 ±
√
1692 =
5−13 2 =−8
2 =−4 5+13
2 =18 2 =9
La soluzione a2=−4 non è accettabile.
Se a2=9 allora a=±3 pertanto, si ottengono i due sistemi
{
b=63a=3→b=2→ z1=3+2 i{
b=−63a=−3→b=−2→ z2=−3−2 i=−(3+2i)ESERCIZIO N°14 Calcolare i17
Per calcolare la suddetta potenza bisogna ricordare che
i0=1 i1=i i2=−1 i3=−i
i4=1 i5=i i6=−1 i7=−i
i8=1 i9=i i10=−1 i11=−i
..e così via..
Pertanto basta determinare il resto della divisione tra l’esponente 17 e il divisore 4, cioè 1
7 4
1 4
i17=i1=i
ESERCIZIO N°15 Calcolare i26
Per calcolare la suddetta potenza bisogna ricordare che
i0=1 i1=i i2=−1 i3=−i
Pertanto, basta determinare il resto della divisione tra l’esponente 26 e il divisore 4, cioè 2
6 4 2 6
i26=i2=−1 ESERCIZIO N°16 Calcolare i35
Per calcolare la suddetta potenza bisogna ricordare che
i0=1 i1=i i2=−1 i3=−i
3 8
i35=i3=−i
ESERCIZIO N°17 Calcolare i40
Poiché il resto della divisione tra l’esponente 40 e il divisore 4 è 0 si ha i40=i0=1
