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FORMA ESPONENZIALE DEI NUMERI COMPLESSI ESERCIZI SVOLTI
ESERCIZIO N°1
Scrivere in forma esponenziale il numero complesso z=
√
3+iDato il numero complesso nella forma cartesiana (algebrica), ovvero nella forma z=a+bi , bisogna scriverlo nella forma esponenziale z=ρ eiθ
Sapendo che a=ρ cos θ e b=ρ sen θ si ricava che
ρ=
√
a2+b2e θ=arc tg(
ba)
Quindi essedo a=
√
3 e b=1 si può scrivere ρ=√
(√
3)2+12=√
3+1=√
4=2(modulo di z)Mentre per calcolare l’ampiezza dell’angolo θ si ha
θ=arc tg
( √
13)
=arc tg( √
33)
=30 °(argomentodi z) Pertanto, si ottienez=
√
3+i=2 ei30 °=2 ei π6 Graficamente si haESERCIZIO N°2
Scrivere in forma esponenziale il numero complesso z=
√
2+√
2iDato il numero complesso nella forma cartesiana, ovvero nella forma z=a+bi , bisogna scriverlo nella forma esponenziale z=ρ eiθ
Sapendo che a=ρ cos θ e b=ρ sen θ si ricava che
ρ=
√
a2+b2e θ=arc tg(
ba)
Quindi essedo a=
√
2e b=√
2 si può scrivere ρ=√
2+2=√
4=2(modulo di z)Mentre per calcolare l’ampiezza dell’angolo θ si ha
θ=arc tg
( √ √
22)
=arc tg (1 )=π4(argomento di z ) Pertanto, si ottiene
z=
√
2+√
2i=2 ei π4Graficamente si ha
Osservazione
Il numero complesso scritto in forma trigonometrica è z=
√
2+√
2i=2(cosπ4+i senπ4)ESERCIZIO N°3
Determinare e rappresentare nel piano di Gauss i numeri complessi che verificano le condizioni
|z|=2 e ℜ(z)=1
In questo esercizio si conosce il modulo di z , ossia |z|=ρ=
√
a2+b2=2Inoltre si sa il valore della parte reale, cioè ℜ( z )=a=1 Pertanto, si ottiene il seguente sistema
{ √
a2a=1+b2=2Applicando il metodo di sostituzione si ha
{ √
12a=1+b2=2→{
b2=a=14−1→{
ba=12=3↗ b=±
√
3↘a=1
Pertanto, si trovano due numeri complessi che verificano le condizioni iniziali, cioè z1=1−
√
3 ie z2=1+√
3 iSapendo che un numero complesso espresso nella forma esponenziale è del tipo z=ρ eiθ bisogna calcolare le ampiezze degli angoli θ1e θ2 , pertanto, osservando che nel piano di Gauss z1 è situato nel quarto quadrante si ha
θ1=arc tg
(
−1√
3)
=arctg(−√
3)=53π quindila forma esponenzialeè z1=2 ei 53π Mentre essendo z2 è situato nel primo quadrante si haθ2=arc tg
( √
13)
=arctg(√
3)=13π quindila forma esponenziale è z2=2 ei 13π Graficamente si haESERCIZIO N°4
Determinare e rappresentare nel piano di Gauss i numeri complessi che verificano le condizioni
|z|=
√
2 e ℜ( z )=−1In questo esercizio si conosce il modulo di z , ossia |z|=ρ=
√
a2+b2=√
2 Inoltre si sa il valore della parte reale, cioè ℜ( z )=a=−1Pertanto, si ottiene il seguente sistema
{ √
a2a=−1+b2=√
2Applicando il metodo di sostituzione si ha
{ √(−1)a=−12+b2=√
2→{
ba=−12=2−1→{
a=−1b2=1 ↘ a=−1↗b=± 1
Pertanto, si trovano due numeri complessi che verificano le condizioni iniziali, cioè z1=−1−i e z2=−1+i
Sapendo che un numero complesso espresso nella forma esponenziale è del tipo z=ρ eiθ bisogna calcolare le ampiezze degli angoli θ1e θ2 , pertanto, osservando che nel piano di Gauss z1 è situato nel terzo quadrante si ha
θ1=arc tg
(
−1−1)
=arctg (1)=54π quindi la formaesponenziale è z1=
√
2 ei 54πMentre essendo z2 è situato nel secondo quadrante si ha
θ2=arc tg
(
−11)
=arctg(−1)=34π quindi la forma esponenziale è z2=√
2 ei 34πGraficamente si ha
ESERCIZIO N°5
Sapendo che z=−1+i calcolare la potenza z5
Dato il numero complesso nella forma cartesiana, ovvero nella forma z=a+bi , conviene scriverlo nella forma esponenziale z=ρ eiθ
Sapendo che a=ρ cos θ e b=ρ sen θ si ricava che
ρ=
√
a2+b2e θ=arc tg(
ba)
Essedo a=−1 e b=1 si ha che z è situato nel secondo quadrante, quindi ρ=
√
(−1)2+12=√
1+1=√
2(modulo di z)Mentre per calcolare l’ampiezza dell’angolo θ si ha θ=arc tg(−1)=3
4π (argomento di z) Quindi la forma esponenziale di z è
z=
√
2 ei 34πPertanto, per calcolare la potenza del numero complesso si ha
z5=(−1+i )5=(
√
2)5ei 34π × 5=4√
2ei 154 π=4√
2 ei2 π + 74π=4√
2 ei 74πa=4
√
2 cos74π=4
√
2×√
22 =4 e b=4
√
2 sen74π =4
√
2 ×(
−2√
2)
=−4Quindi si ottiene
z5=(−1+i)5=4−4 i=4(1−i)
Oppure si determinano i coefficienti binomiali
(−1)5× i0× 1 (−1)4×i1× 5 (−1)3× i2×10 (−1)2× i3×10 (−1)1× i4× 5 (−1)0×i5× 1
−1× 1× 1 1× i×5 −1× (−1)× 10 1× (−i)× 10 −1× 1× 5 1× i×1
−1 5 i 10 −10 i −5 i
z5=−1+5 i+10−10 i−5+i=4−4 i ESERCIZIO N°6
Sapendo che z=1+i calcolare la potenza z9
Dato il numero complesso nella forma cartesiana, ovvero nella forma z=a+bi , conviene scriverlo nella forma esponenziale z=ρ eiθ
Sapendo che a=ρ cos θ e b=ρ sen θ si ricava che
ρ=
√
a2+b2e θ=arc tg(
ba)
Essedo a=1 e b=1 si ha che z è situato nel primo quadrante, quindi ρ=
√
12+12=√
1+1=√
2(modulo di z)Mentre per calcolare l’ampiezza dell’angolo θ si ha θ=arc tg(1)=π
4(argomento di z ) Quindi la forma esponenziale di z è
z=
√
2 ei π4Pertanto, per calcolare la potenza del numero complesso si ha
z9=(1+i )9=(
√
2)9ei π4× 9=16√
2 ei 94π=16√
2 ei 2 π + π4=16√
2 ei π4a=16
√
2 cos π4=16√
2 ×√
22 =16 e b=16
√
2 senπ4=16√
2 ×√
22 =16 Quindi si ottiene
z9=(1+i)9=16+16 i=16(1+i)
