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„ Introduzione alla Trigonometria

Ritorna la Geometria …

Appunti e complementi per gli studenti

Franco Fusier - 2012

(2)

Appunti di Trigonometria Sommario

Appunti di Trigonometria ... 3

Introduzione storica... 3

Richiami di geometria euclidea (ripasso) ... 4

Angoli al centro, angoli alla circonferenza e teoremi correlati ... 4

Corde, secanti e tangenti in una circonferenza... 6

Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili ad una circonferenza... 7

Punti notevoli di un triangolo ... 9

Ortocentro ... 9

Incentro ... 9

Baricentro...10

Circocentro ...10

Excentro...10

Teorema di Talete ...11

Teoremi di Euclide e di Pitagora ...12

Primo teorema di Euclide ...12

Secondo teorema di Euclide ...13

Teorema di Pitagora ...14

Inverso del Teorema di Pitagora ...14

Introduzione alla trigonometria ...16

Risoluzione dei triangoli rettangoli ...16

Triangoli qualunque...17

Teorema delle proiezioni...17

Teorema della corda...17

Teorema dei seni (o di Eulero) ...18

Risoluzione di un triangolo con il teorema dei seni ...19

Il caso ambiguo del teorema dei seni ...19

Teorema del coseno (o di Carnot) ...20

Regole pratiche (importanti) ...21

Sono noti due lati e l’angolo compreso ...22

Sono noti tre lati ...22

Sono noti due angoli e un lato...22

Sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi...23

Aree di triangoli e quadrilateri ...23

(3)

essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla

APPUNTI DI TRIGONOMETRIA

Introduzione storica

La trigonometria si occupa della risoluzione dei triangoli, ovvero la determinazione dei sei elementi (tre lati e tre angoli) a partire dalla conoscenza di tre di essi, di cui almeno uno è un lato. La parola trigonometria deriva dal greco e significa misurazione del triangolo.

Risultati concernenti rapporti fra lati di triangoli simili erano già noti a egiziani e babilonesi, ma è con i greci che per la prima volta vengono studiate le relazioni fra angoli (archi) di una circonferenza e le lunghezze delle corde che li sottendono. Essi studiano e usano queste relazioni per applicarle a problemi astronomici. Vanno ricordati Eratostene di Cirene (280-195 a.C. circa), che determina il raggio della terra e Aristarco di Samo (310-230 a.C.) che stabilisce il rapporto fra le distanze luna-terra e terra-sole.

Le origini della trigonometria si confondono con le origini dell’astronomia. Il sorgere del Sole, l’alternarsi dei giorni e delle notti, il succedersi sempre uguale delle fasi della Luna sono fenomeni che hanno sempre interessato l’uomo. Due sono gli astri che colpiscono maggiormente l’attenzione: il Sole e la Luna. Quanto distano dalla Terra?

Quanto sono grandi? è con queste domande che ha inizio l’astronomia, ma anche la trigonometria.

È però Ipparco di Nicea (180-125 a.C. circa) che per primo si preoccupa di compilare una tavola trigonometrica, dove per diverse ampiezze sono tabulati i valori corrispondenti dell’arco e della corda. A Ipparco, considerato il padre della trigonometria, si deve l’introduzione sistematica della suddivisione del cerchio in 360°, già usata dai babilonesi.

L’opera fondamentale per l’astronomia e la trigonometria dell’antichità è la Sintassi matematica di Claudio Tolomeo, astronomo greco vissuto ad Alessandria d’Egitto.

Quest’opera è nota a noi con il nome d’origine araba Almagesto; essa ci è pervenuta in buono stato e non presenta soltanto delle tavole delle corde migliori rispetto a quelle di Ipparco, ma anche un’esposizione dei metodi usati per la loro costruzione.

Il contributo della trigonometria indiana è essenziale per l’introduzione di un concetto equivalente alla funzione seno, in sostituzione delle tavole delle corde della matematica greca, che si deve a Aryabhata (circa 500 d.C.).

Gli arabi usano sia la trigonometria indiana basata sulle tavole dei seni sia quella greca basata sulle tavole delle corde. Ben presto però prevale il sistema indiano.

L’astronomia di Al-Battani (850-925 d.C.) contribuisce a diffondere quest’uso.

Nell’opera di Abùl-Wafa (940-998 d.C.) vengono usate tutte le funzioni trigonometriche e vengono stabilite le relazioni esistenti fra esse. Inoltre è data anche una nuova tabella per i seni degli angoli, con valori esatti fino all’ottava cifra decimale.

La trigonometria, come del resto l’algebra, fiorisce in Europa con la fine del Medioevo,

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essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla

Regiomontanus1, forse il matematico più influente del XV secolo. La sua opera “De triangulis omnimodis”, scritta nel 1464, rappresenta un’esposizione sistematica dei metodi per risolvere problemi relativi ai triangoli. In quest’opera per la prima volta la trigonometria viene presentata come disciplina indipendente dall’astronomia. La forma che Regiomontanus ha dato alla trigonometria è pressoché rimasta invariata fino ad oggi.

Altri risultati per lo sviluppo della trigonometria sono stati ottenuti da N. Copernico (1473-1543), J. Rhaeticus (1514-1576), F. Viète2 (1540-1603), J. Napier (1550-1617), J.

Kepler (1571- 1630) e Leonhard Euler (1707-1783), che considerò la trigonometria come una parte dell’analisi e introdusse le notazioni abbreviate per le funzioni trigonometriche, che ancor oggi usiamo.

Richiami di geometria euclidea (ripasso)

Angoli al centro, angoli alla circonferenza e teoremi correlati

Si dice angolo alla circonferenza un angolo avente vertice sulla circonferenza e i lati entrambi secanti, oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza. Si dice che l’angolo alla circonferenza insiste sull’arco in esso contenuto.

1 Regiomontano (latino Regiomontanus) nome umanistico (dal nome latino della città natale, Regiomons), dell'astronomo e matematico tedesco Johann Müller (Königsberg 1436-Roma 1476).

Eccezionalmente precoce, fu tra gli allievi (e successore nel 1461) di G. Peurbach nell'università di Vienna, all'età di dodici anni. Peurbach, morendo, affidò a R. l'incarico di portare a termine la traduzione in lat. dell'Almagesto di Tolomeo. R. venne in Italia per completare la sua cultura di astronomo e, al seguito del cardinale Bessarione, celebre erudito greco, fu uno dei primi che ricercarono in modo sistematico le opere originali greche. Viaggiò alla ricerca di antichi testi matematici (a lui si deve, tra l'altro, il ritrovamento dell'Aritmetica di Diofanto). Il frutto più importante di questi suoi studî è l'opera De triangulis (1464), prima esposizione sistematica, in forma che possiamo dire già moderna, della trigonometria piana. Dopo vari trasferimenti (Vienna, Budapest) nel 1471 si stabilì a Norimberga, dove con B. Walther fondò il primo osservatorio astronomico europeo, da cui osservò la grande cometa del 1472, poi detta di Halley. Sempre a Norimberga fondò una stamperia nella quale pubblicò uno dei primi calendari completi con dati astronomici sulle posizioni del Sole e della Luna, eclissi e feste mobili, nonché le Ephemerides ab anno 1475 ad annum 1506, molto utili ai navigatori dei sec. XV e XVI. Ottimo conoscitore dei testi greci, studioso di Euclide e Tolomeo, condusse a termine una rigorosa traduzione latina dell'Almagesto, iniziata dal suo maestro Purbach, ed espose il sistema tolemaico in un'opera dal titolo Epitome in Almagestum (pubblicata postuma nel 1496). Si interessò anche di matematica e compose un grande trattato di trigonometria piana e sferica dal titolo De triangulis omnimodis (postumo, 1533). Nel 1475 tornò a Roma, chiamato da papa Sisto IV per preparare la riforma del calendario e ivi morì prematuramente.

2 Viète è considerato il padre della goniometria; le principali innovazioni da lui introdotte sono: la circonferenza goniometrica di raggio unitario, l’applicazione la trigonometria a problemi aritmetici ed algebrici, le formule dette oggi di prostaferesi.

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essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla

Un angolo alla circonferenza e l’angolo al centro che insiste sullo stesso arco sono detti corrispondenti; nelle figure precedenti l’angolo alla circonferenza ACBˆ e l’angolo al centro AOCˆ sono corrispondenti in quanto insistono sul medesimo arco AC.

È immediato notare che ad uno stesso angolo al centro corrispondono infiniti angoli alla circonferenza.

La relazione che intercorre fra l’angolo al centro e uno degli angoli alla circonferenza corrispondenti è stata già indicata nelle figure precedenti e viene adesso precisata dal seguente

Teorema

Ogni angolo alla circonferenza è metà del corrispondente angolo al centro.

Per la dimostrazione di questo teorema si distinguono casi diversi a seconda che il centro della circonferenza sia su un lato dell’angolo, o

interno, o esterno all’angolo alla circonferenza e che i lati dell’angolo siano entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza.

Conseguenze importanti di questo teorema sono:

1) gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali dal momento che risultano B

α

A

2αO α α

α α

B A

O

B α

A

O 2α

α

A

C

O 2α

B

B A

O 2α α

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essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla

essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli

CAPˆ e CBPˆ . Essi sono retti in quanto inscritti in una semicirconferenza: le rette PA e PB, essendo perpendicolari ai raggi CA e CB della circonferenza, sono pertanto tangenti ad

essa. Questo procedimento illustra

quindi come costruire con riga e compasso le tangenti a una circonferenza da un punto esterno ad essa.

4) Un’altra conseguenza importante è la seguente: in un triangolo rettangolo la mediana CO relativa all’ipotenusa è congruente a metà dell’ipotenusa ed è uguale al raggio del cerchio circoscritto; inoltre il circocentro del triangolo è il punto medio dell’ipotenusa.

Corde, secanti e tangenti in una circonferenza Teorema (delle due corde)

Il punto P comune a due corde di una circonferenza divide le corde in modo che le due parti di una corda siano i medi e le due parti dell’altra gli estremi di una proporzione.

In formule:

PA : PC = PD : PB

Teorema (delle due secanti)

Una circonferenza divide due secanti condotte da uno stesso punto P, esterno alla circonferenza, in modo che un’intera secante e la sua parte esterna siano i medi, l’altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione.

B A

C

O P

B A

C

D

O P

B

A

C P O

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essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla In formule:

PA : PC = PD : PB

Teorema della secante e della tangente

Condotte da un punto P esterno ad una circonferenza una tangente ed una secante, il segmento di tangente è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna.

In formule:

PC : PT = PT : PD

La dimostrazione di tre questi teoremi, che costituisce un utile esercizio, si basa sull’individuazione di due triangoli simili, sulle proprietà degli angoli alla circonferenza e sulle proprietà dei quadrilateri inscritti in una circonferenza.

Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili ad una circonferenza

Un quadrilatero si dice inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza (che si dice circoscritta al quadrilatero stesso).

Un quadrilatero si dice invece circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza stessa.

Mentre ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza, in generale un poligono con più di tre vertici è inscrittibile solo in situazioni particolari. Per i quadrilateri vale, in particolare, il seguente teorema:

un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.

Indicati cioè con α, β, γ, δ gli angoli del quadrilatero, risulta che esso è inscrivibile in una circonferenza se e solo se α+γ=β+δ=π.

Come caso

particolare del teorema si deduce che gli unici

parallelogrammi inscrivibili sono i rettangoli e i quadrati.

A

C

α

β γ δ

A B D C

A B

C D

T C

D O P

(8)

essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla Per quel che riguarda la circoscrivibilità di un quadrilatero vale invece il seguente Teorema

un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Indicati cioè con a, b, c, d i lati del quadrilatero, risulta che esso è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo

a + c = b + d

Si deduce allora che gli unici parallelogrammi circoscrittibili sono i rombi e i quadrati.

A

C

A C

A B

(9)

essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla Per i quadrilateri inscrittibili vale anche il seguente

Teorema di Tolomeo

in un quadrilatero inscritto in una circonferenza, il prodotto delle misure delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti.

È anche vero il viceversa (teorema inverso), ossia:

se in quadrilatero la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali, allora il quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza.

Per il teorema di Tolomeo possiamo dunque affermare che:

· · · ,

AC BD = AB CD + BC AD

Il teorema compare nel libro primo dell’Almagesto di Claudio Tolomeo.

Punti notevoli di un triangolo

Particolarmente importanti in un triangolo sono i punti dove s’intersecano specifici segmenti o semirette. Questi punti sono detti punti notevoli di un triangolo. I punti notevoli sono utilizzabili per definire alcune caratteristiche dei triangoli e sono cinque: ortocentro (incontro delle altezze), incentro (incontro delle bisettrici), baricentro (incontro delle mediane), circocentro (incontro degli assi) ed excentro.

Ortocentro

L’ortocentro è dato dall’incrocio delle altezze, cioè le rette passanti per i vertici e perpendicolari ai lati opposti; è interno nei triangoli acutangoli, esterno nei triangoli ottusangoli e coincide col vertice dell’angolo retto nei triangoli rettangoli.

Incentro

L’incentro è ottenuto con l’incrocio delle bisettrici, è sempre interno al triangolo. È un punto equidistante da tutti i lati ed è il centro del cerchio inscritto.

Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi può essere facilmente determinato notando che l’area S del triangolo è data da:

1 1 1 1

2 2 2 2 2

S = AB R⋅ + BC R⋅ + AC R⋅ = ⋅ p R⋅ = p RR S

= p

Il raggio r del cerchio inscritto in un triangolo rettangolo è dato dalla formula:

2 b c a R = + −

dove a è la misura dell’ipotenusa mentre b, c sono le misure dei cateti.

Dimostrazione: applicando la relazione generale e il teorema di Pitagora, si ottiene:

A

C

(10)

essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla

( )

( )

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

12

2 2 2 2 2

2

2 2

2

S bc bc bc b c a

R p a b c a b c b c a b c a

bc b c a bc b c a bc b c a

b c a bc bc

b c a

b c a

+ −

= = + + = + + = + + ⋅ + − =

⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −

= = = =

+ − +

+ −

= + −

Baricentro

Il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle sue mediane, cioè dei segmenti che uniscono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto. Per ogni triangolo il baricentro è il punto d’equilibrio della figura ed è sempre interno. Si può dimostrare che ciascuna delle tre mediane viene divisa dal baricentro in due parti, di cui quella contenente il vertice è doppia dell’altra. Il baricentro di un triangolo qualsiasi si trova sempre ad 1/3 dell’altezza.

Nel caso particolare del triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è metà dell’ipotenusa stessa (come abbiamo già visto in precedenza).

Circocentro

In un triangolo ABC, l’asse relativo ad un lato è la retta perpendicolare a questo e passante per il suo punto medio. I tre assi del triangolo passano tutti per uno stesso punto, detto circocentro. Questo punto è equidistante dai tre vertici A, B e C, ed è il centro del cerchio passante per questi tre punti. Esterno nei triangoli ottusangoli.

Cade a metà ipotenusa nei triangoli rettangoli.

Excentro

Punto d’intersezione delle bisettrici di due angoli esterni e della bisettrice dell’angolo interno non adiacente ad essi. Ogni triangolo ha tre excentri, che sono i centri delle tre circonferenze exinscritte (o exscritte), cioè tangenti a un lato del triangolo e ai prolungamenti degli altri due.

(11)

essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla circonferenza di centro C nei punti A e B. Unendo P con A e B otteniamo gli angoli essere angoli alla circonferenza corrispondenti al medesimo angolo al centro;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: infatti esso è corrispondente ad un angolo al centro piatto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza. Considerata la circonferenza di centro C e un punto P esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro CP che risulta secante alla

Teorema di Talete

Definizione: si dice fascio di rette parallele l’insieme di tutte le rette del piano che sono parallele ad una data retta a.

Due rette r, r’ che intersecano a nei punti A, A’, intersecano la retta b parallela ad a nei punti B, B’, intersecano la retta c parallela ad a nei punti C e C’. Le rette r e r’ sono chiamate trasversali; i punti A e A’ , B e B’, C e C’ si dicono corrispondenti.

Anche i segmenti come AB e A’B’ che congiungono punti corrispondenti vengono chiamati corrispondenti.

Enunciato

Un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali.

Il teorema afferma, in pratica, che se prese tre parallele a b c, , taglianti due rette trasversali r e r′- rispettivamente nei punti A B C, , e A B C′ ′ ′, , -, allora il rapporto tra i segmenti omologhi dell’una e dell’altra è sempre costante.

: :

AB A B′ ′ = BC B C′ ′

Inoltre se presi AC e A ‘C’, segmenti omologhi, si ha tra loro lo stesso rapporto di AB con A’B’ e di BC con B’C’, ovvero

AB BC AC AB BC

A B B C A C A B B C

= = = +

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ ′ ′

Queste relazioni permettono di trovare la lunghezza di uno qualsiasi dei segmenti della quaterna, a patto di averne almeno uno della stessa traversa e due dell’altra, o la loro somma. Ovviamente, queste relazioni valgono presa qualsiasi coppia di segmenti omologhi.

Dal teorema di Talete possono essere dedotti altri importanti risultati, utili per la risoluzione degli esercizi:

Corollario 1.

In un triangolo una retta parallela ad un lato determina sugli altri due lati o sui loro prolungamenti segmenti proporzionali.

Teorema 1 (inverso del corollario 1)

Una retta che determina su due lati di un triangolo o sui loro prolungamenti segmenti proporzionali è parallela al terzo lato.

Teorema 2 a

b c

A B

C C'

B' A'

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