Classe di Scienze Naturali - A. A. 2019-2020 Prova scritta di matematica

Scuola Galileiana di Studi Superiori

Classe di Scienze Naturali - A. A. 2019-2020 Prova scritta di matematica

Il candidato svolga quanti pi` u possibile dei seguenti esercizi.

(Selezione di 5 dei 6 esercizi assegnati) Esercizio 1

Consideriamo un triangolo ABC e un quadrilatero convesso P QRS come in figura:

A

B Q P C

U S

R T

• i vertici P e Q sono all’interno del lato BC;

• R `e all’interno del lato AC;

• S `e all’interno del lato AB;

• la distanza di R dal lato BC `e minore della distanza di S dal lato BC;

• la parallela per R al lato BC incontra SQ in T e AB in U .

Sia m il minimo fra le aree dei triangoli SP R e QP R.

a) Dimostrare che m ` e minore o uguale dell’area di BU R.

b) Posto x =

, dimostrare che il rapporto fra l’area di BU R e quella di ABC ` e x(1 − x).

c) Dimostrare che 4m ` e minore o uguale dell’area di ABC.

Esercizio 2.

Sia {a

} una successione di numeri reali di segno costante e tale che a

>

−1 per ogni n ∈ N.

a) Dimostrare che si ha 1 +

n

X

k=1

a

≤

n

Y

k=1

(1 + a

) ≤ e

. (1)

b) Sia {b

}

una successione di numeri reali positivi e tali che per ogni n ∈ N valga

b

b

≤ 1 − 1

2

. (2)

Si provi che {b

} `e convergente ma che il suo limite non `e necessariamente zero.

Esercizio 3.

a) Fra i punti del piano cartesiano a coordinate intere introduciamo la seguente curiosa regola di cancellazione e sdoppiamento. Sia P = (a

, a

) un punto del piano cartesiano a coordinate intere. Se a

e a

sono entrambi

≥ 0 o entrambi ≤ 0, diciamo che P `e concorde e lo lasciamo cos`ı com’`e.

Se invece a

e a

hanno segni discordi cancelliamo P e creiamo i nuovi punti Q = (a

, a

+ a

) e T = (a

+ a

, a

). A ciascuno di essi applichiamo la regola: se ` e concorde lo lasciamo cos`ı com’` e, altrimenti lo cancelliamo sdoppiandolo, e cos`ı via..

Dimostrare che, qualunque sia il punto iniziale P , questo algoritmo dopo un numero finito di passi si ferma e produce un insieme finito di punti che sono tutti concordi.

b) Studiamo adesso un caso pi` u generale. Sia n un numero naturale

≥ 2. Diremo che una lista di numeri interi P = (a

, ..., a

) ` e concorde se vale che a

≥ 0 per ogni i = 1, .., n oppure che a

≤ 0 per ogni i = 1, .., n.

A questo punto stabiliamo la seguente regola di cancellazione e sdoppi- amento. Se una lista P = (a

, ..., a

) ` e concorde la lasciamo cos`ı com’` e, altrimenti possiamo scegliere a nostro piacere due indici 1 ≤ i < j ≤ n, dopodich´ e cancelliamo P e creiamo le due nuove liste Q = (a

, .., a

+ a

, .., a

, .., a

) e T = (a

, .., a

, .., a

+ a

, .., a

) (per chiarire, Q differisce da P solo nella sua i-esima coordinata, che ` e a

+ a

, mentre T differisce da P solo nella sua j-esima coordinata, che ` e a

+a

). A ciascuna di esse applichi- amo la regola: se ` e concorde la lasciamo cos`ı com’` e, altrimenti scegliamo due indici, la cancelliamo sdoppiandola, e cos`ı via..

Per quali valori di n ≥ 2 vale che, qualunque sia la lista P iniziale, ` e

possibile fare una sequenza finita di cancellazioni e sdoppiamenti in modo

tale che alla fine tutte le liste rimaste siano concordi?

Esercizio 4.

Dato un insieme finito di punti Γ e un punto P definiamo distanza tra l’insieme Γ e il punto P la distanza tra P e il punto pi` u vicino di Γ ovvero:

d(P, Γ) := min {d(P, x)|x ∈ Γ} .

Consideriamo ora un cubo C di lato 1, e sia Γ un insieme costituito da 9 punti: gli otto vertici del cubo pi` u il centro del cubo. Sia infine S l’insieme dei punti interni del cubo che distano

da Γ. Ovvero:

S :=



P ∈ C    

d(P, Γ) = 1 2



Calcolare la superficie di S.

(Pu` o essere utile la seguente formula per il calcolo della superficie di una calotta sferica: S

= 2πrh dove r ` e il raggio della sfera e h ` e l’altezza della calotta.)

Esercizio 5. Sia n un intero positivo e a un intero coprimo con 2n.

Consideriamo l’insieme

S

= {ai mod 2n : i = 1, . . . , n},

dove k mod 2n indica il resto di k nella divisione per 2n, preso nell’intervallo [0, 2n − 1]. Sia poi b un intero tale che ab mod 2n = 1 e sia S

= {bj mod 2n : j = 1, . . . , n}. Sia N

il numero di elementi di S

com- presi fra 0 e n − 1, e sia Σ

la somma degli elementi di S

. Sia N

il numero di elementi di S

compresi fra 0 e n − 1, e sia Σ

la somma degli elementi di S

.

1. Per prendere pratica, nel caso particolare in cui n = 7, a = 3, b = 5, elencare gli elementi di S

ed S

e calcolare Σ

, Σ

, N

, N

.

2. Nel caso generale, dimostrare che Σ

= 3n

− n

2 − nN

.

3. Nel caso generale, dimostrare che Σ

= Σ

.

Traccia risoluzione esercizio 1.

a) Vale

m ≤ ar(T P R) ≤ ar(U P R) = ar(BU R) b) Sia x =

. Dunque x =

. Vale anche

ar(BAR)

ar(ABC) = AR

AC = 1 − RC

AC = 1 − x Da queste uguaglianze segue

ar(BU R) = xar(BAR) = x(1 − x)ar(ABC)

c) Segue dai punti a) e b) e dalla disuguaglianza x(1 − x) ≤

dimostra- bile in molti modi (equazioni di secondo grado/parabole, disuguaglianza della media aritmetica e geometrica).

Soluzione esercizio 2.

a). Per induzione, (1) ` e valida per n = 1. Supponendola vera per n, otteniamo

n+1

Y

k=1

(1 + a

) = (1 + a

)

n

Y

k=1

(1 + a

) ≥ (1 + a

)  1 +

n

X

k=1

a



= 1 +

n

X

k=1

a

+ a

+ a

n

X

k=1

a

≥ 1 +

n+1

X

k=1

a

e

n+1

Y

k=1

(1 + a

) ≤ (1 + a

)e

≤ e

e

= e

.

b). La successione {b

} `e decrescente e limitata inferiormente, per cui `e convergente. Il limite pu` o non essere zero: per n ≥ 2, b

= Q

k=2

1 −

≥ 1 − P

k=2 1

2^k

=

e {b

} soddisfa (2).

Traccia risoluzione esercizio 3. Il caso n = 2 ` e abbastanza semplice:

lo studente pu` o osservare in vari modi che, se una lista non ` e concorde,

le due liste prodotte dall’algoritmo sono o entrambe concordi oppure una concorde e una non concorde ma in quest’ultima diminuisce il massimo fra i valori assoluti delle coordinate. Questo d` a il via ad una semplice induzione.

Proponiamo adesso una possibile soluzione per il caso n generale (la risposta ` e che la condizione richiesta vale per ogni n ≥ 2).

Cominciamo con il definire il massimo e il minimo di una lista e il numero di indici che realizzano tali massimi e minimi. Data una lista v = (a

, a

, ..., a

) ∈ Z

sia:

M (v) = max{a

, a

, ..., a

} m(v) = −min{a

, a

, ..., a

}

Φ(v) = |{i ∈ {1, 2, ..., n} | a

= M (a) oppure a

= −m(a)}|

Dimostreremo che una strategia che consente di eliminare tutte le liste non concordi in un numero finito di passi ` e quella di sdoppiare le liste non concordi scegliendo come indici i e j quelli che realizzano il massimo e il minimo, d’ora in avanti tutti gli sdoppiamenti saranno intesi di questo tipo.

Sia v = (a

, a

, ..., a

) una lista non concorde siano i e j tali che a

= M (v) e a

= −m(v), supponiamo di sdoppiare v in i e j e di ottenere due nuove liste T e Q. Si verifica facilmente che

M (T ) ≤ M (v) m(T ) ≤ m(v)

se M (T ) = M (v) e m(T ) = m(v) allora Φ(T ) < Φ(v)

Dunque le funzioni M , m e Φ assumono solo valori naturali. Le funzioni M e m da una generazione all’altra non possono aumentare e quando nessuna delle due diminuisce allora diminuisce la funzione Φ. La tesi segue da una induzione multipla su M , m e Φ. (In alternativa ` e possibile definire la funzione ψ(·) := n(M (·) + m(·)) + Φ(·), la funzione ψ ` e a valori in N e decresce strettamente dopo uno sdoppiamento. ` E cos`ı possibile dimostrare la tesi in maniera pi` u semplice con un’unica induzione in ψ(v).)

Soluzione esercizio 4

L’insieme S ` e costituito dai punti del cubo che distano

da uno dei punti di Γ e hanno una distanza superiore o uguale ad

da tutti gli altri.

Sia O il centro del cubo, sia A un vertice del cubo e sia S

l’insieme dei

punti del cubo che distano

da A e pi` u di

dagli altri punti di Γ. Ovvero S

` e l’intersezione tra la sfera di centro A ed il cubo meno i punti che appartengono alle palle di raggio

e centro negli elementi di Γ diversi da A.

S

` e quindi costituito da un ottavo di sfera di raggio

meno la calotta di punti che si ottiene intersecando la sfera di raggio

e centro A con la palla di raggio

e centro O. Sia h l’altezza di tale calotta

h

A

O h = 2r − AO

2 = 1 −

√3

2

2 = 2 − √ 3 4 Sia ora r =

, sia α := 2πrh l’area della calotta e β := 4πr

L’area di una sfera di raggio r. Allora si ha:

Area(S

) = β 8 − α Area(S

) = β − 8α

Quindi Area(S) = 2β − 16α =

= 8πr

− 32πrh = 2π − 4π(2 − √ 3) Area(S) = (4 √

3 − 6)π

Risoluzione esercizio 5. Per il caso particolare vedi tabellina alla fine.

Per le domande (2) e (3), siano A

= {s ∈ S

: 0 ≤ s ≤ n − 1} e A

= {s ∈ S

: n ≤ s ≤ 2n − 1}. La somma degli elementi di S

` e uguale alla somma Σ

degli elementi di A

pi` u la somma Σ

degli elementi di A

. E facile vedere che ogni classe di resto modulo n ` ` e rappresentata una e una sola volta dagli elementi di S, per cui dato i ∈ {0, . . . , n − 1} abbiamo o i ∈ A

o i + n ∈ A

. Ne segue che Σ

= Σ

+ Σ

` e dato dalla somma dei numeri 0, 1, 2, . . . , n − 1, che ` e uguale a

, pi` u n volte la cardinalit` a di A

. In formule,

Σ

= n(n − 1)

2 + n|A

|.

D’altro canto chiaramente |A

| + |A

| = |S

| = n, per cui |A

| = n − |A

| = n − N

, e quindi

Σ

= n

− n

2 + n(n − N

) = 3n

− n

2 − nN

.

Definiamo B

, B

come sopra, ma relativamente all’insieme S

. Ripe- tendo il ragionamento precedente abbiamo Σ

=

− nN

, quindi basta dimostrare N

= N

. Dimostriamo questa uguaglianza stabilendo una bigezione fra gli insiemi A

e B

. Notiamo che a

` e un elemento di A

se e soltanto se esiste un intero i per cui siano verificate le seguenti condizioni:



 

 

1 ≤ a

≤ n 1 ≤ i ≤ n

a

= ai mod 2n

Mostriamo che i ` e un elemento di B

. In effetti, i appartiene a B

se e solo se esiste un intero j per cui



 

 

1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ n

i = bj mod 2n ⇔ ai mod 2n = j,

e queste condizioni sono certamente soddisfatte per j = a

. Osserviamo che nello stabilire l’equivalenza i = bj mod 2n ⇔ ai = j mod 2n si ` e usato il fatto che ab mod 2n = 1. Viceversa, se b

∈ B

, allora (per qualche intero i) abbiamo



 

 

1 ≤ i ≤ n 1 ≤ b

≤ n b

= bi mod 2n,

e queste sono esattamente le condizioni che garantiscono che i sia un ele- mento di A

. In altri termini, la bigezione ` e data da

f : A

→ B

ai mod 2n 7→ i , g : B

→ A

bj mod 2n 7→ j

Esempio. Consideriamo il caso n = 7, a = 3, b = 5. I multipli di a che ci interessano sono i seguenti:

i 1 2 3 4 5 6 7

ai mod 2n 3 6 9 12 1 4 7

Fra questi, i membri di A

sono 3, 6, 1, 4, in corrispondenza di i =

1, 2, 5, 6. Ora consideriamo i multipli di b:

i 1 2 3 4 5 6 7 bi mod 2n 5 10 1 6 11 2 7

Quelli in B

sono esattamente 5, 1, 6, 2, ovvero i valori di i tali che ai

appartiene ad A

.