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Esercizio 1. Sia α ∈ R. Determinare i coefficienti a

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UNIVERSIT ` A DI ROMA “TOR VERGATA”

Laurea in MATEMATICA ANALISI MATEMATICA 4

25 febbraio 2014 Prof. P. Cannarsa

Esercizio 1. Sia α ∈ R. Determinare i coefficienti a

n

della serie di potenze tale che la somma

y(x) =

X

n=0

a

n

x

n

verifichi y(0) = 1 e risolva l’equazione differenziale

xy

00

(x) + y

0

(x) + αy(x) = 0

nell’intervallo di convergenza. Calcolare, inoltre, il raggio di convergenza di tale serie.

Esercizio 2. Risolvere l’equazione (di Eulero)

t

2

x

00

(t) + tx

0

(t) + αx(t) = 0 (t > 0)

al variare di α ∈ R e determinare i valori di α per i quali essa ammette soluzioni limitate su (0, ∞) non identicamente nulle.

Esercizio 3. Calcolare l’integrale della forma differenziale ω = y

2

dx + xydy + xzdz

lungo la curva γ in R

3

il cui supporto ` e dato dall’intersezione del piano z = y

con la superficie cilindrica di equazione

x

2

+ y

2

= 2x

orientata secondo una qualsiasi delle due orientazioni possibili.

Esercizio 4. Trovare i punti dell’insieme

E = (x, y, z) ∈ R

3

: x + z = 1, 4x

2

+ y

2

= 16

che si trovano, rispettivamente, a distanza minima e massima dall’origine.

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